2026年浙江省苏教版高中数学高二下册第10单元函数图像与性质习题

2026年浙江省苏教版高中数学高二下册第10单元函数图像与性质习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，下列关于其图像的说法正确的是（）A．图像关于直线x=π/6对称B．图像关于点(π/3,0)中心对称C．图像向左平移π/3个单位后与y=x对称D．图像向右平移π/3个单位后与y=sin(x)图像重合解析：f(x)=sin(x+π/3)的图像可由y=sin(x)向左平移π/3得到，故选项A错误；正弦函数的对称中心为(π/2+kπ,0)，代入x=π/3时y≠0，故选项B错误；向左平移π/3后得到g(x)=sin(x+2π/3)，其图像与y=x不重合，故选项C错误；向右平移π/3后得到h(x)=sin(x-π/3)，其图像与y=sin(x)不重合，故选项D错误。正确答案为B。解题思路：考查正弦函数图像变换性质，需掌握平移、伸缩及对称性。对称性需区分中心对称与轴对称，正弦函数图像中心对称点为(π/2+kπ,0)。选项迷惑性设计上，A选项利用π/6为余弦函数周期的一半产生干扰，C选项利用平移后函数类型变化迷惑考生。评分标准：全对得2分，选A/B/C得1分，选D不得分。解析需说明平移变换公式及对称中心性质，对错误选项给出反例证明。2.函数g(x)=|cos2x|在[0,2π]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π解析：g(x)=|cos2x|在[0,2π]上周期为π，每个周期内图像与x轴围成面积S=2×(1/2×π×1)=π，故总面积为2π。正确答案为B。解题思路：考查绝对值函数图像及周期性，需掌握余弦函数图像特征。关键点在于理解绝对值不改变对称轴但消除负值部分，导致面积翻倍。评分标准：全对得2分，选A/C/D得1分，选B不得分。解析需说明绝对值对周期函数面积的影响，给出分段函数表示式g(x)=cos2x（x∈[kπ,(k+1/2)π]）或直接计算面积。3.若函数f(x)=logₐ|x|在x→0时极限存在且为-1，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,2)C．(1,∞)D．(0,1)∪(1,2)解析：f(x)在x→0时极限存在需a>0且a≠1，左极限limₓ→₀⁻logₐ(-x)=-1，右极限limₓ→₀⁺logₐx=-1，故logₐ1=-1，即a=1/2。正确答案为A。解题思路：考查对数函数极限性质，需掌握绝对值函数对数表示及左极限计算。关键点在于理解|x|的对称性导致左右极限相等。评分标准：全对得2分，选B/C/D得1分，选A不得分。解析需给出左极限计算过程logₐ(-x)=-1⇔logₐ1=-1，说明a必须为正数且不等于1。4.函数y=3sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,√3)，则φ的可能取值为（）A．π/6B．2π/3C．7π/6D．5π/6解析：代入x=π/4得3sin(π/2+φ)=√3，即sin(π/2+φ)=√3/3，故π/2+φ=π/6+k2π或π/2+φ=2π/3+k2π，解得φ=-π/3+k2π或φ=π/6+k2π。正确答案为A。解题思路：考查三角函数图像过定点问题，需掌握同角三角函数关系及周期性。关键点在于将点坐标转化为三角方程。评分标准：全对得2分，选B/C/D得1分，选A不得分。解析需说明sin(π/2+φ)=sinφ，给出两种解法：和角公式或单位圆法。5.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A．8，-8B．8，-4C．8，-8/27D．8，-4/27解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-8，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值为8，最小值为-8。正确答案为A。解题思路：考查三次函数最值问题，需掌握导数法求极值。关键点在于比较端点值与极值点函数值。评分标准：全对得2分，选B/C/D得1分，选A不得分。解析需给出导数计算过程及驻点分类讨论，说明端点值与极值点值比较。6.函数y=2cos²x-sin(2x)的图像关于点(π/2,0)中心对称的充要条件是（）A．sinx=0B．cosx=0C．tanx=1D．cotx=-1解析：y=2cos²x-sin(2x)=cos(2x)+1，若图像关于(π/2,0)中心对称，需满足f(π/2+x)+f(π/2-x)=0，代入得cos(x-π)+cos(x+π)+2=0，即-2cosx+2=0，cosx=1，故x=2kπ。正确答案为A。解题思路：考查三角函数中心对称条件，需掌握余弦函数对称性。关键点在于利用中心对称性质构造方程。评分标准：全对得2分，选B/C/D得1分，选A不得分。解析需说明余弦函数中心对称性质f(a+x)+f(a-x)=0，给出cosx=1的周期解。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴围成的封闭图形的面积为（）A．3B．4C．5D．6解析：f(x)分段为x<-2时-2x-1，-2≤x≤1时3，x>1时2x+1，图像为V形，顶点(1,3)，面积S=1/2×4×3=6。正确答案为D。解题思路：考查绝对值函数图像及面积计算，需掌握分段函数表示。关键点在于将绝对值函数转化为折线函数。评分标准：全对得2分，选A/B/C得1分，选D不得分。解析需给出分段函数表达式及顶点坐标，说明V形面积计算公式。8.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π/2，且f(0)=1，则φ的可能取值为（）A．π/6B．5π/6C．7π/6D．11π/6解析：周期T=2π/ω=π/2，ω=4，f(0)=sinφ=1，故φ=2kπ+π/2。正确答案为A（取k=0）。解题思路：考查三角函数周期与初相，需掌握周期公式及特殊角值。关键点在于区分φ的多个解。评分标准：全对得2分，选B/C/D得1分，选A不得分。解析需说明ω=4的推导，给出φ的通解及特解。9.函数y=3-2cos(3x+π/4)的图像向左平移m个单位后与y=3sin(3x)图像重合，则m的取值范围是（）A．[π/6,2π/3]B．[π/12,7π/12]C．[π/4,3π/4]D．[π/3,2π/3]解析：平移后y=3-2cos(3(x+m)+π/4)=3sin3x，即-2cos(3m+π/4)=1，cos(3m+π/4)=-1/2，3m+π/4=2kπ±2π/3，m=2kπ/3±π/12。取k=0时m=π/12，k=1时m=7π/12。正确答案为B。解题思路：考查三角函数平移关系，需掌握相位变换公式。关键点在于利用余弦函数对称性构造方程。评分标准：全对得2分，选A/C/D得1分，选B不得分。解析需说明相位差计算过程，给出m的通解及取值范围。10.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,1]上的最小值恒为1，则实数a的取值范围是（）A．[0,1]B．(-∞,0)∪(1,∞)C．[0,2]D．(-1,2)解析：f(x)对称轴x=a，①a≤0时f(0)=1，f(1)=2-a>1，满足；②a≥1时f(1)=1，f(0)=a²+1>1，满足；③0<a<1时需f(a)=1，即a²-2a+2=0无解。正确答案为B。解题思路：考查二次函数最值问题，需掌握对称轴与区间关系。关键点在于分类讨论对称轴位置。评分标准：全对得2分，选A/C/D得1分，选B不得分。解析需说明对称轴与区间位置关系，给出三种情况下的不等式推导。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(2x-π/3)的图像向右平移π/4个单位后，其对称轴方程为_________。参考答案：x=π/4+3kπ/2（k∈Z）解析：平移后g(x)=sin[2(x-π/4)-π/3]=sin(2x-5π/6)，对称轴为2x-5π/6=kπ+π/2，x=7π/12+kπ/2。正确答案为x=7π/12+kπ/2（k∈Z）。2.若函数f(x)=|x-1|+|x+a|的最小值为3，则实数a的值为_________。参考答案：-4解析：f(x)分段为x<-1时-2x-1-a，-1≤x≤1时a+2，x>1时2x-1-a，最小值在x=1时取得，a+2=3，a=1。但需考虑x<-1时-2x-1-a=3⇒a=-4。正确答案为-4。3.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于原点对称的充要条件是_________。参考答案：sinx=0解析：y=cos2x+2sinx，若关于原点对称需满足f(-x)=-f(x)，即cos(-2x)+2sin(-x)=-cos2x-2sinx，化简得cos2x=0，即sinx=0。正确答案为sinx=0。4.函数f(x)=logₐ(2x+1)在x→-1⁺时极限存在且为-2，则实数a的取值范围是_________。参考答案：(0,1)解析：limₓ→-1⁺logₐ(2x+1)=-2⇔logₐ-1=-2⇔a=-1/2，但a>0，故无解。需改为limₓ→-1⁺logₐ(1-2x)=-2⇔logₐ1=-2⇔a=1/2。正确答案为(0,1)。5.函数y=3sin(2x+φ)的图像经过点(π/3,0)，则φ的可能取值为_________。参考答案：2kπ-π/6（k∈Z）解析：3sin(2π/3+φ)=0⇒2π/3+φ=kπ，φ=kπ-2π/3。正确答案为φ=kπ-2π/3（k∈Z）。6.函数f(x)=x³-px+1在x∈[-1,1]上单调递增，则实数p的取值范围是_________。参考答案：p≤2解析：f'(x)=3x²-p，若单调递增需f'(x)≥0在[-1,1]上恒成立，即p≤3x²在[-1,1]上最小值0，故p≤0。正确答案为p≤0。7.函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期为_________。参考答案：π解析：f(x)=|sinx|+|cosx|，f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x)，故最小正周期为π。正确答案为π。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|的图像与x轴围成的封闭图形的面积为_________。参考答案：10解析：f(x)分段为x<-2时-3x+4，-2≤x≤1时-x+6，1<x≤3时x+4，3<x时3x-6，图像为V形，面积S=1/2×(6-4)×3+1/2×(6-4)×2=10。正确答案为10。9.函数y=2cos(3x+π/4)的图像向右平移m个单位后与y=2sin(3x)图像重合，则m的取值范围是_________。参考答案：[π/6,2π/3]解析：2cos[3(x-m)+π/4]=2sin3x⇒cos(3m-π/4)=0⇒3m-π/4=kπ+π/2⇒m=kπ/3+3π/12，取k=0,1,2得m=π/12,7π/12,13π/12，取值范围[π/6,2π/3]。正确答案为[π/6,2π/3]。10.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,1]上的最大值与最小值之差为1，则实数a的取值范围是_________。参考答案：(-∞,-1)∪(1,∞)解析：f(0)=a²+1，f(1)=2-a，若最大值与最小值之差为1需|f(1)-f(0)|=1⇔|1-a-a²|=1⇔a²+a-2=0⇒a=-2或a=1。正确答案为(-∞,-2)∪(1,∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像与y=sin(x)图像关于直线x=π/6对称。（×）解析：f(x)图像向左平移π/6得到g(x)=sinx，与y=sin(x)重合，故关于x=π/6对称。正确答案为√。2.若函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π，则ω一定等于2。（×）解析：周期T=2π/|ω|，ω可正可负，如ω=-2也满足周期为π。正确答案为√。3.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是一条折线，其斜率在x=-1处不连续。（×）解析：f(x)在x=-1处切线斜率由-1变为1，连续但不可导。正确答案为√。4.函数y=3sin(2x+π/4)的图像向左平移π/8个单位后与y=3cos2x图像重合。（√）解析：3sin[2(x+π/8)+π/4]=3sin(2x+π/2)=3cos2x。正确答案为√。5.函数f(x)=x³-3x+1在x∈[-2,2]上的最大值与最小值分别为8和-8。（√）解析：f(-2)=-8，f(1)=-1，f(2)=8，极值点f(-1)=1，f(1)=-1。正确答案为√。6.函数f(x)=|cos2x|在[0,π]上的图像与x轴围成的封闭图形的面积等于π。（×）解析：面积S=2×(1/2×π×1)=π，但[0,π]包含两个周期，面积应为2π。正确答案为√。7.函数y=2cos²x-sin(2x)的图像关于点(π/2,0)中心对称。（√）解析：y=2cos²x-sin(2x)=cos(2x)+1，对称中心为(π/2+kπ,0)。正确答案为√。8.函数f(x)=logₐ|x|在x→0时极限存在且为-1，则a一定等于1/2。（√）解析：logₐ1=-1⇔a=1/2。正确答案为√。9.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,1]上恒为常数。（×）解析：f(0)=a²+1，f(1)=2-a，若恒为常数需a=1且a²+1=2-a⇔a=1。正确答案为√。10.函数y=3-2cos(3x+π/4)的图像向左平移π/12个单位后与y=3sin(3x)图像重合。（×）解析：平移后y=3-2cos[3(x+π/12)+π/4]=3-2cos(3x+π/2)=3sin3x。正确答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,1)，且周期为π，求f(x)的表达式。解析：周期T=2π/ω=π⇒ω=2，f(π/4)=sin(π/2+φ)=1⇒φ=2kπ，f(x)=sin(2x+2kπ)=sin2x。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？此时x取何值？解析：f(x)分段为x<-2时-2x-1，-2≤x≤1时3，x>1时2x+1，最小值3在x∈[-2,1]时取得。3.函数y=3sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称，求φ的可能取值。解析：对称需3sin(2(-x)+π/3)=3sin(2x+π/3)⇒sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)，即-2x+π/3=2x+π/3+2kπ⇒x=0，φ=2kπ。4.函数f(x)=x³-px+1在x∈[-1,1]上单调递减，求实数p的取值范围。解析：f'(x)=3x²-p，单调递减需f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立，即p≥3x²在[-1,1]上最大值3，p≥3。5.函数y=cos²x-sin²x+cosx的图像关于原点对称，求x的取值集合。解析：f(-x)=-f(x)⇒cos²(-x)-sin²(-x)+cos(-x)=-cos²x+sin²x-cosx⇒2cosx=0⇒x=kπ+π/2。6.函数f(x)=|x-1|+|x+a|的最小值为4，求实数a的值。解析：f(x)分段为x<-1时-2x-1-a，-1≤x≤1时a+2，x>1时2x-1-a，最小值在x=1时取得，a+2=4⇒a=2。但需考虑x<-1时-2x-1-a=4⇒a=-6。7.函数y=2cos(3x+π/4)的图像向右平移m个单位后与y=2sin(3x)图像重合，求m的值。解析：2cos[3(x-m)+π/4]=2sin3x⇒cos(3m-π/4)=0⇒3m-π/4=π/2⇒m=3π/12=π/4。8.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,1]上的最大值与最小值之差为2，求实数a的取值范围。解析：f(0)=a²+1，f(1)=2-a，若最大值与最小值之差为2需|f(1)-f(0)|=2⇔|1-a-a²|=2⇔a²+a-3=0⇔a=-3或a=2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,√3/2)，且周期为π/2，求f(x)的表达式。解析：周期T=2π/ω=π/2⇒ω=4，f(π/3)=sin(4π/3+φ)=√3/2⇒4π/3+φ=2kπ+π/3⇒φ=2kπ-7π/9，f(x)=sin(4x+2kπ-7π/9)=sin(4x-7π/9)。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值是多少？此时x取何值？解析：f(x)分段为x<-2时-3x+4，-2≤x≤1时-x+6，1<x≤3时x+4，3<x时3x-6，最小值4在x=1时取得。3.函数y=3sin(2x+π/4)的图像关于直线x=π/6对称，求φ的可能取值。解析：对称需3sin[2(π/6)+φ]=±3⇒sin(π/3+φ)=±1⇒π/3+φ=kπ+π/2⇒φ=kπ+π/6。4.函数f(x)=x³-px+1在x∈[-1,1]上恒为非负数，求实数p的取值范围。解析：f(0)=1>0，f(1)=2-p≥0⇒p≤2，f(-1)=-1+p≥0⇒p≥1，故1≤p≤2。5.函数y=cos²x-sin²x+sinx的图像关于点(π/2,0)中心对称，求x的取值集合。解析：f(π/2+x)+f(π/2-x)=0⇒cos(π+2x)+cos(π-2x)+sin(π/2+x)+sin(π/2-x)=0⇒-2cos2x+2cosx=0⇒cosx(cosx+1)=0⇒x=kπ±π/2。6.函数f(x)=|x-1|+|x+a|的最小值为3，且a>0，求a的值。解析：f(x)分段为x<-1时-2x-1-a，-1≤x≤1时a+2，x>1时2x-1-a，最小值在x=1时取得，a+2=3⇒a=1。7.函数y=2cos(3x+π/4)的图像向右平移m个单位后与y=2sin(3x)图像重合，求m的取值范围。解析：2cos[3(x-m)+π/4]=2sin3x⇒cos(3m-π/4)=0⇒3m-π/4=π/2+kπ⇒m=π/6+kπ/3，取值范围[π/6,2π/3]。8.函数f(x)=x²-2ax+a²+1在x∈[0,1]上的最大值与最小值之差为3，求实数a的取值范围。解析：f(0)=a²+1，f(1)=2-a，若最大值与最小值之差为3需|f(1)-f(0)|=3⇔|1-a-a²|=3⇔a²+a-4=0⇔a=-2或a=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.A5.A6.A7.D8.A9.B10.B二、填空题1.x=7π/12+kπ/2（k∈Z）12.-413.sinx=014.(0,1)2.φ=kπ-2π/3（k∈Z）16.p≤017.π18.103.[π/6,2π/3]20.(-∞,-2)∪(1,∞)三、判断题1.×22.×23.×24.√25.√26.×27.√28.√2.×30.×四、简答题1.f(x)=sin2x2.最小值3，x∈[-2,1]3.φ=2kπ（k∈Z）4.p≥35.x=kπ+π