自动控制理论及应用 习题解答 第6章

习题6答案

6-1

解：（1）系统的能控性矩阵的秩

1

rank。,=rank[bAb]=rank=2

0

满秩，所以系统的状态完全能控。

1001o

(2)B=01，A=001

-11-2-4-3

系统的能控性矩阵的秩

001-I

rank。，=rank^BABA2B1=rank01-111-7=3

-111-7115

满秩，所以系统的状态完全能控。

（3）系统的能控性矩阵的秩

012A

下l

1

24

rank。=rankbAbAbA-b]片

14

14^2

不满秩,所以系统的状态不完全能控。

6-2

解：⑴因为rank[CZ?CABC/5]=2满秩，故系统输出完全能控。

（2）因为rank[cbcAbcA=rank[O01]=1满秩，故系统输出完全能控。

解：（1）系统的能观性矩阵的秩

rankg,=rankcA二3

cA2

满秩，所以系统的状态完全能观。

（2）系统的能观性矩阵的秩

rankQ“=2<3

不满秩，所以系统的状态不完全能观。

6-4

解：（1）根据系统的能控性矩阵和能观性矩阵,

0121

rank2rl=rank[bAb]=rank=2,rank。”=rank=rank_2

1-4-3-2

rankQ2=rank回=rank[1]=1,rankg)2=rank[c]=rank[1]=1

系统2的能控性矩阵和能观性矩阵都是满秩，所以状态既能控又能观;

系统%的能控性矩阵和能观性矩阵都是满秩，所以状态既能控乂能观。

传递函数分别为：

q+2I

G、（s）=q（si-A尸A=-—―;G?（s）=c2（sl-4）-%=--

（s+l）（s+3）5+2

（2）系统Z和系统％串联后，其传递函数为

s+2.11

G（5）=G1（5）G2（5）=(5+1)(5+3)*(54-2)

(5+1)(5+3)

由于在传递函数中出现零极点对消现象，故系统状杰或不能控，或不能观。

（3）系统2和系统％并联后，其传递函数为

5+212s~+8s+7

G(S)=G(S)+G2(S)=-------------1----------------------------

(s+1)(.9+3)(s+2)(5+1)(5+2)(s+3)

由于在传递函数中没有出现零极点对消现象，故系统的状态既能控又能观。

解：根据系统结构图可得:

系统的能控性矩阵和能观性矩阵的行列式值为

」=Ab=

|2M\1—b—d

所以，当akb+4+c\ch0时，系统状态既能控乂能观。

6-6

解：先给出系统的特征多项式

5-1

\sl-A\==S2+«|5+«=S2-5+

-10

即a0=l,a产-1。再计算系统的能控性矩阵为

构造化能控规范型的状态变换矩阵

TC=Q,L=QQ7=

求得其逆矩阵为：T；l=

相应地

,r

o11l,ro

A”？；「=，=,bc=T；b=

—I11

故能控规范型为

1-1”

产+]〃

6-7

解：系统的能观性矩阵为

「。1[-1--

0==2

cX

L'」|_-i0

,,5-1\-

\sl-A==s，-3s+1

1105-2

求A的特征多项式系数，即

%=1,«1=-3,a2=1

状态转换的构造公式为:

3

2

四1c-3,12

T；'=LQ,=a;'Q,,=2

10cA1

0

-1-3

求得，北=

24

3

2

1-1-30-2

A=T~lAT=2，%=叱=[0i]

o(fo043

*2

故能观规范型为

0-2

X。

13

7=1°[]xo

6-8

解：（1）因为系统的能控性矩阵和能观性矩阵

rankg<4,rank。,<4

所以原系统不能控，不能观。

观察系统状态方程可以发现，系统可以分成上下两人两维子系统，状态系数矩阵均为下

三角分块矩阵，相应输入矩阵上半分块为零。这已是能控分解后的表达式，而且其能控和不

能控子系统都是能观性分解标准型。

按照能控规范型分解标准型规定次序重新排列状态

当-20I

尤-344

X001

*2002

_y=[l030]

由上式可知，状态变最大是既能控又能观的；状态变量％是能控但不能观的；状态变

量不是不能控但能观的；状态变量声是既不能控又不能观的。

重新定义状态变量有

0

4

0

0

y=[l030]

（2）因为系统的能控性矩阵和能观性矩阵

rankg.=3,rankg,=3

都是满秩，所以系统既能控又能观，无需分解。

6-9

解：易验证原系统能控且能观。引入长工［31］后,可得闭环系统的状态

空间表达式为

易判断，系统EJA-BKAc）是能控的，但不能观。可见引入状态反馈K=［31］后，闭

环系统能控性保持不变，币不能保持能观性。这反映在传电函数上出现了零极点对消的现象。

6-10

解：（1）根据系统结构图,

（2）系统的能控性矩阵

rankg(=rank[Z>Ab]=rank1=2

系统状态完全能控，所以利用状态反馈〃=+y能任意配置系统的闭环特征值。

设状态反馈阵K=Rk2]

s+1+kk

则(p(s)=\s!-(A-bK)\=1-=s、(3+K—A,)s+2(l+K)

-t1—fK5+2—Af：,

而期望的特征多项式为

*s)=(s-4)(s-4)=(s+3-j5)(s+3+j5)=/+6s+34

比较以上两式s的同次幕系数，可求得

K=[4&卜[1613]

6-11

解：因为原系统无零极点对消，所以系统状态完全能控，故利用状态反馈〃=-Kr+y能

任意配置系统的闭环特征值。对于原系统的能控规范型实现

设状态反馈阵K=%k2&],则有

(pis')=\sl-(A-bK)\=+(3+.)『+k2s+k{

而期望的特征多项式为

(p*(s)=(5-4)(s-4)(s—4)=(s+2)($+2)(5+I)=53+552+8s+4

比较以上两式的s同次塞系数，可求得

K平h止[482]

因为闭环系统的一个极点-1和原来系统的零点-1相同，即状态反馈后闭环传递函数出

现零极点对消现象。又由于极点配置不改变系统的能控性，所得闭环系统一定不能观。

6-12

解：设所需的状态反馈增益阵K为

震一[勺22

经过状态反馈〃=-心+了后，闭环系统的特征多项式为

(pis)=det(s/-A+bK)

=Z+(2+4)1++k2+\)s+化+k2+k3)

根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为

(p(s)=(s+2)(5+1+jx/5)(s+1-jx/5)=s，+4.v2+8s+8

比较两多项式同次辕的系数，有2+勺=4,2勺+&+1=8,仁+右+勺=8。解之得

4=2,&=3£=3。即得状态反馈增益矩阵为K=[233].

6-13

解：方法一：设观测器的反馈阵”二,则有

LwiJ

2

(p(s)=\sl-(A-Mc)\=s+mos+m]

期望的特征多项式为

(p(s)=(s+r)(5+2r)=s2-3rs+2r

比较以上两式s的同次幕系数，可求得

叫叫广]0

[加」㈤

方法二：(1)系统能观性矩阵的秩

fl01

rank。，=rank=rank=2

cA01

所以系统是完全能观的，可构造能任意配置极点的全维状态观测器。

(2)求得开环系统的特征多项式

delk[-A]=s2

(3)观测器的期望特征多项式为

(p(s)=(s+r)(s+2r)=s2-3rs+2r2

(4)求得新状态空间中的偏差反馈矩阵为

aio2产-0

而=西

a；_q3r-()

（5）变换矩阵的逆阵为

4011001

1I：上I00110

并求得变换矩阵7为

001

T=

1010

（6）求得状态反馈矩阵M为

012r2

M=TM=,r>0

103r

观测器的状态方程为

-3r03r

x=(4-Mc)x+bu+My=匕+u+y

-2r2o12r

6-14

解：（1）判断系统的能观性rank©=rank=2

cA

所以系统是完仝能观的，可构造能任意配置极点的仝维状态观测器。

（2）由给定的期望极点看=-10,有=-10,求得期望的特征多项式为

(p(5)=(S-4)(5-■有)=(S+1=$2+20s4-100

（3）设观测器的反馈阵M=,由全维状态观测器方程《二（从-M。）£+6"+/股写

叫一

出观测器的特征多项式

s0-11

夕(S)=det[si-{A-Mc)\-det-叫）[20]

050-2町

s+1+2m-1

1)2

det=s+(2惆+3)s+(4〃?o+2ml+2)

2叫5+2

（4）由夕（s）="（s）,得到联立方程

2.+3=20

’4叫+2+2町=100

解得：“%=8.5,町=32o

・85~

（5）代入M:32，得全维状态观测器为

-1I8.508.5

x=(A-Mc)x+Bu+My=|20]x+u+y

0-232132

即

-18108.5

x+y

-64-2132

6-15

解：（1）C=[l00]

由系统的能观性矩阵满秩可判定其能观，并由rankC=l,所以可知降维观测器的维数为

2o

001

构造非奇异变换矩阵的逆阵广=。=[T=010

100

并求出

00100:I

1

7=(7=01001|o=[工T2]

100100

对系统实施非奇异变换x=7^=Q'x,在新状态空间中的各系数矩阵分别为

001010001000

010001010100

100000I00010

00I0

B=TlB=01000

1000

001

0]010=[()01]

100

1

=0；Bi=,=0,c,=[oo],C2=1o

0

设2x1维偏差反馈矩阵为初二，则降维状态观测器方程为

Z=(4U-mA2l)z+(B1-mB2)«+[i412

00

[0']

0

00

0+[01]

01

°一叫1

，，+fy

1-W）0“叫）一〃；」

降维观测器的特征多项式为

奴s）=卜/一（Ai-帆A1=s"+叫s+

期望特征多项式为

0，(s)=(5+4)(5+5)=s'+9s+20

比较以上两式S的同次辕可得

20

m=

叫9

降维观测器方程

+[4-+(Aj

Z=(An-mA2l+mB2)u12mA22n

0-201-180

Z+U+y

1-90-61

系统状态变量的估计值为

0o14+20yy

my

0GZ2+9yZ2+9.F

I00z,+20>'

（2）带降维状态观测器的系统状态变量图如图6-1所示。

S6-1题6-15带降维状态观测器的系统状态变量图

6-16

解：(1)开坏系统的能控规范型实现为：

o।0ro

其中A=001,B=0,C=[410]o

Y-11-6j[d

(2)因为开环系统是能控规范型实现，所以开环系统的状态完全能控，因此可以任意

配置极点。引入状态反馈阵为K=%h&]，则有

"G)=deHs/—(A—BK)]

=/+(6+&)$2+(&+ll)s+K+6

而期望的特征多项式为

9"($)=(S+2)(5+1+Gj)(s+1-Gj)=s'+4s2+8s+8

比较以上两式s的同次幕系数，可求得

K=[k]k2&]=[2-3-2]

引入状态观测器的状态反馈控制为：

u(r)=-Kx(t)+v(r)=-[2-3-2]x(r)+v(0

（3）因为系统的能观性矩阵:

C410

rank。,，=rankCA=rank041=3

CA2-6-11-2_

可知系统的状态完全能观，因此能够设计状态观测器。设观测器的反馈阵M=町

，儿

则有

(p(s)=det(5/-iA-MC)]

2

=+(4叫+m}+6)5+(24〃q)+10m}+m2+1l),v+(38叫+24叫+4m2+6)

而期望的特征多项式为

6(5)=(5+3)(5+4)(5+5)=『+12s*+47s+60

比较以上两式s的同次塞系数，可求得

观测器的状态方程为:

x(t)=(A-MC)x(t)+Bu(t)+My(t)

-4

-8

26

（4）闭环系统的状态空间表达式为:

x(t)A-BKx(t)B

+v(/)

W)MCA-MC-BK\\x(t)B

x(r)

y(t)=[co]

x(/)

代入数值为

-01000o-0"

0010000

,⑴]_-6-H-6-2321

+v(0

4i0-4000

<

820-8-210

-32—80240-41

'x(r)

y(0=[4100C[0]

_x(t)

闭环传递函数为:

)，(s)_s+4

G(s)=C(s/-A+BK)B

V(5)+4s~+8s+8

6-17

解：（1）系统开环的状态空间表达式为:

-11O-叫

x(0=011-v(r)+o

0-2-3

_v(r)=[l00]x(/)

反馈控制增益为：K=[39233],所以闭环系统的状态空间表达式为:

1100

x(t)=011x(/)+0v(r)

-39-25-6

y(O=[l00]x(r)

闭环系统的传递函数

G($)=翳「。。卜

1

/+4.v2+14S+2()

（2）系统开环的状态空间表达式为:

11°