数论初步（二）质数与合数分解质因数-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第22讲数论初步（二）：质数与合数,

分解质因数

I知识点梳理i

一、核心概念与性质

质数与合数的定义

质数（素数）：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数（即只

有1和它本身两个因数）。

最小的质数是2（唯一的偶质数），其他质数均为奇数（如3、5、7、11等）。

合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还能被其他自然数整除的数（即至少有三个

因数）。

最小的合数是4,合数可以是奇数（如9、15）或偶数（如6、8）。

特殊数：1既不是质数也不是合数；0不在质数与合数的讨论范围内（0除以任何非零数都得0,

因数个数无限）。

分解质因数

定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：12=2X2X3（或写成标准形式：12=2?X3）,其中2和3都是12的质因数。

性质：

①任何一个合数都可以唯一分解为若干个质数的乘积（不计质因数的顺序），称为“算术基

本定理”。

②质数的因数只有1和它本身，无法再分解；合数必须分解到所有因数都是质数为止。

核心公式与工具

短除法：分解质因数的常用方法，从最小质数（2、3、5……）开始除，直到商为质数为止。

例如分解12：用2除12得6,再用2除6得3,3是质数，所以12=2X2X3=2?X3。

质因数分解的标准形式：若正整数n分解质因数为n=p/Xpz^X…Xp3k（其中P2,…，P

是不同的质数，a2,…,a是正整数），则n的因数个数为（a/l）S2+I）…（a+1）（因数

个数定理）。

二、核心题型与技巧

题型1:质数与合数的判断

技巧：

①对于较小的数（100以内），直接记忆质数表（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、

31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97）。

②对于较大的数（如n>100）,只需判断n是否能被小于等于Jn的质数整除：若不能，则n

是质数；若能，则n是合数。

示例：判断143是否为质数？

解：价方有11.9,只需检查2、3、5、7、llo1434-11=13,故143是合数（/X13）。

题型2：分解质因数（短除法应用）

技巧：

①从最小质数（2）开始除，除尽后换下一个质数（3、5……）,直到商为质数。

②结果写成质因数相乘的形式，相同质因数用指数表示（标准形式）。

步骤示例：分解12

短除法：用2除12得6,再月2除6得3,3是质数，所以12=2X2X3=2?X3。

题型3：利用分解质因数解决实际问题

技巧：

①求一个数的因数个数：分解质因数后，各质因数指数加1相乘（因数个数定理）。

示例：12=22X3,,因数个数=（2+1）（1+1）=6（1、2、3、4、6、12）。

②已知乘积求原数：将乘积分解质因数，再按要求组合质因数。

示例：两个质数的积是91,求这两个质数？

解：91=7X13,故质数为7和13«

三、常见错误提醒

1.混淆“1”的分类：误将1当作质数（1既不是质数也不是合数）。

2.分解质因数不彻底：如将18分解为2X9（9是合数，需继续分解为3X3,正确结果为2X

32）o

3.忽略偶质数“2”：判断质数时，忘记2是唯一的偶质数，如误将2排除在质数外，或认为

所有偶数都是合数（2是例外）。

4.判断质数时检查不全面：对较大数（如221）,仅检查到个位数质数（2、3、5）,未检查7、

11等，导致误判（221=13X17,是合数）。

i例题讲解!

题型1:质数与合数的判断

例题L判断下列数是否为质数：73、117、169。

答案：73是质数，117、169是合数。

解析；

①73：773^8.5,需检查小于等于8.5的质数（2、3、5、7）。73是奇数（非2的倍数），

各位数字和7+3=10（非3的倍数）,末位非。或5（非5的倍数），73+7^10.4（不能整除）,

故73是质数。

②117：各位数字和1+1+7=9（3的倍数），117=3X39=3X3X13,有除1和本身外的因数，

是合数。

③169=13X13,有除1和本身外的因数13,是合数。

跟踪练习1：判断53、121、179是否为质数。

答案：53、179是质数，121是合数。

解析：

①53：同仁7.3,检查质数2、3、5、7。53是奇数（非2的倍数），各位和5+3=8（非3

的倍数），末位非0或5（非5的倍数），534-7^7.57（不能整除），故53是质数0

②121：121=11X11,有除1和本身外的因数11,是合数。

③179：J179比13.38,检查质数2、3、5、7、11、13。179是奇数（非2的倍数），各位和

1+7+9=17（非3的倍数），末位非0或5（非5的倍数），179+7弋25.57（不能整除），179

H6.27（不能整除），1794-13^13.77（不能整除），故179是质数。

题型2：分解质因数（短除法应用）

例题2：用短除法分解质因数：144、210o

答案：144=24X32；210=2X3X5X7。

解圻：

①144：短除法从最小质数2开始除，144+2=72,724-2=36,364-2=18,184-2=9（2共除4

次，指数4）；94-3=3,3+3=1（3除2次，指数2）,商为1停止，故144=24X32。

②210：210是偶数，先除2得105；105各位和1+0+5=6（3的倍数），105・3=35；35末位

是5（5的倍数），35:5二7（7是质数），故210=2X3X5X7。

跟踪练习2：分解质因数：180、315o

答案：180=22X32X5；315=32X5X7。

解析：

①180：短除法从2开始，180+2=90,904-2=45（2除2次，指数2）；45各位和4+5=9（3

的倍数），454-3=15,154-3=5（3除2次，指数2）；5是质数，故180=22义3?X5。

②315：非偶数，各位和3+1+5=9（3的倍数），315+3=105,105+3=35（3除2次,指数2）；

35末位是5（5的倍数），354-5=7（7是质数），故315=32X5X7。

题型3：利用分解质因数解决实际问题

例题3：4个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四

位数中，最大的一个是多少？

【答案】8533

【洋解】将360分解质因数得360-2“2乂2乂3工3乂5,它是6个质因数的乘积。因为题述的四个数

中只有一个是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一

位数，所以这4个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533。

跟踪练习3：一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的

长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？

【答案】52厘米

【分析】根据K方体的体积公式：V=abh,个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积

是1998立方厘米，首先把1998分解质因数，因为我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定

时，它们相互越接近，和越小，据此把1998的质因数适当调整计算即可求出长、宽、高，进

而求出它的长、宽、高的和的最小可能值，据此解答。

【洋解】1998=2X3X3X3X37,37是质数，不能再分解，所以2X3X3X3对应的二个数应

越接近越好，有2X3X3X3=6X9时，即1998=6X9X37时，这三个自然数最接近，所以长

方钵的长、宽、高分别为6厘米、9厘米、37厘米，它们的和为6+9十37=52（厘米），即

长方体的长宽高的和的最小值可能是52厘米。

【点睛】此题考查的是分解质因数，解题的关键是利用分解质因数的方法求出长方体的长、宽、

局。

i提升练习i

1.判断439、943这两个数是合数还是质数.

【答案】439是质数，943是合数

【详解】解：因为20?=400<439,212=441>439,所以找到了大于439且接近439的平方

数2俨.21以内的质数有2、3、5、7、11、13、15、17、19.根据整除的特征，很容易判断

出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、19试除439,均不能整除.所以439是质

数.

因为30?■900<943，312-961>943.所以找到了大于943且接近943的平方数3。.31以

内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十个.很容易推断出2、3、5、7、11

均不能整除943；再用13、17、19、23、29试除943,发现943能被23整除.所以943是合

数.

2.判断391、123456789是质数还是合数.

【答案】391是合数，123456789是合数

【分析】在自然数中，除了1以外的数，若不是质数，则必是合数.要判断一个数是质数还是

合数，根据合数的定义，只要找到一个既不是1乂不是这个数的本身的约数即可.一般方法

只要把2、3、5、7、…这些质数按由小到大的次序，逐一去除所要判断的那个数：如果有某

个质数恰好是它的约数，则所给的自然数为合数；如果这样的质数不存在，则所给的自然数

为质数.

【详解】解：将质数2、3、5、7、11、…这些质数逐一去除391,发现391能被17整除，所

以391是合数.

将质数2、3、5、7、11、…这些质数逐一去除123456789,发现123456789是3的倍数，所以

123456789是合数.另外，根据能被3整除的数的特征，也可以证明123456789是3的倍数，

故123456789是合数.

3.数a是质数，且a+10、a+14也都是质数，数a是多少？

【答案】3

【洋解】解：任何自然数除以3的余数只有3种情况：余1、余2、余0（即能被3整除）.

因为10除以3余1,14除以3余2.所以a不能是被3除余1的数，否则a+14能被3整除，

就不是质数了."也不能是被3除余2的数，否则a+10能被3整除，也不是质数.

因此a只能是能被3整除的数，a本身又是质数，因此a只能是3.

答：数a是3.

【点睛】如果两个数除以3的余数相加的和能被3整除，那么这两个数的和也能被3整除.

4.一个长方形的周长是40cm,它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成的，它的

面积最大可能是多少？最小瓦能是多少？

【答案】它的面积最大可能是99平方厘米，最小可能是36平方厘米.

【详解】略

5.A和B都是质数，A+B小于50且是7的倍数，如果A+B又是奇数，那么AXB可能是多少？

【答案】因为A+B是奇数，因此A和B中一定有一个数是偶数，只有偶数2是质数,所以符合

题目中条件的有:7=2+5,21=2+19,49=2+47,AXB可能是10,38,94.

【详解】略

6.小明的生口是3月30F1,你能把30分成两个不同的质数吗？请你写出所有分法.

【答案】30=7+23；30=11+19；30=13+17

【详解】略

7.爸爸、妈妈和小红三人今年的年龄都是质数，且爸爸比妈妈大，他们的年龄相乘得1334,

他们三人今年各多少岁？

【答案】1334=2X23X29

爸爸29岁，妈妈23岁，小红2岁.

【详解】略

8.观看演出时，有一个节目是小朋友排成一个方阵表演，小丽的4个好朋友分别数出了4种

不同答案，其中有1个人数对了，你知道是谁吗？为什么？

小花：43人小芳：49人小强：41人小

刚：47人

【答案】小芳数对了，因为43,41,47都是质数，只有49是合数.

【详解】略

9.小丽发现好朋友小花还没来，她想给小花打个电话.小花家的电话号码ABCDEFG是一个七

位数，其中A是最小的质数，B是一位数中最大的合数，C是自然数中最小的奇数，D是3的

最小倍数，E是5的最大因数，F在非零自然数中，既不是质数，也不是合数，C既是2的倍

数又是3的倍数，你能告诉小丽，小花家的电话号码是多少吗？

【答案】小花家的电话号码是2913516.

【详解】略

10.如果N是1,2,3,1998,1999,2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇

数的积？

【答案】10个

【详解】因为2KM024,2"=2048>2000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其

中2的个数不多于10个，而1024=2叫所以，N等于10个2与某个奇数的积.

11.有3张扑克牌，牌面数字都在10以内.把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光

3人.每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自

记录的数字的和顺次为13,15,23.问：这3张牌的数字分别是多少？

【答案】3,5和9

【详解】13+15+23=51,51=3X17.

因为17>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3张扑克牌数字之和是17,可能的情况

有下面15种:

①1,6,10②1,7,9③1,8,8

©2,5,10⑤2,6,9⑥2,7,8

⑦3,4,10⑧3,5,9⑨3,6,8

⑩3,7,7(11)4,4,9(12)4,5,8

(13)4,6,7(14)5,5,7(15)5,6,6

只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23.

所以，这3张牌的数字分别是3,5和9.

答:这3张牌的数字分别是3,5和9.

12.小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强

打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用

完，问红笔、蓝笔每支各多少元？

【答案】红笔：13元蓝笔：4元

【详解】35=5X7.

红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5=12（元）和17-7

10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.

对笔价来说，己排除了5,7,10,12这四个数.

笔,介不能是3577=18（元）的因数.如果笔价是18的因数，就能把18元恰好都买成笔，再把

17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的因数：1,2,3,6,

9.

当然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.现在笔价又排除了：1,

2,3,6,8,9,11,14,15,16.

综合两次排除，只有4与13未被排除，而4+13=17,就知道红笔每支13元，蓝笔每支4

元.

答：红笔每支13元，蓝笔每支4元.

13.2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数的突积.

【答案】2000年的3月7日、3月15日、5月9日、7月3日、9月5日、10月21日

【详解】解：因为2000・24x5'，它是有二个5的乘积的倍数，只需使另外二个数中要含有4

个因数2,因此，根据题目要求，三个数中必须含有40或80.即：

30X35X40=21X2000

35X40X45=63X1000

40X45X50=45X2000

显然，35X40X45不符合题意，其余两个均符合，从而2000年3月7日或7月3日，2000

年3月15日、5月9日、9月5日符合题目要求.

同理，在70X75X80、75X80X85、80X85X90中，只有70X75X80=210X2000,可以找出

相应的日期是10月21日，其余两个都不行.

所以，2000年的3月7日、3月15日、5月9日、7月3日、9月5日、10月21EI这六天符

合题意.

14.船夫用几只船分三次把90名同学渡过河去，已知每只船载的人数都相等，并且至少我2

人.

【答案】（1）用2只船，每只船载15人.

（2）用3只船，每只船载10人.

（3）用5只船，每只船载6人.

（4）用6只船，每只船载5人.

（5）用10只船，每只船载3人.

（6）用15只船，每只船载2人.

【详解】解：因为每只船载的人数都相等，月.3次就把90人全渡过河去.所以每次渡过河的

总人数相等，均为90+3=30（人），又每次渡过河的总人数30应为每只船上载的人数与船数

的积，也就是说，每只船上载的人数与每次载过河的船数都是30的约数.

把30分解质因数：30=2X3X5,因为每只船载的人数都相等，且至少载2人，所以每次渡河

的船数与每只船上所载的人数应有以下几种情况：

（1）用2只船，每只船载15人.

（2）用3只船，每只船载10人.

（3）用5只船，每只船载6人.

（4）用6只船，每只船载5人.

（5）用10只船，每只船载3人.

（6）用15只船，每只船载2人.

15.把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多

少？

【答案】2、7、11、17.

【分析】如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数

（1除外）越多，积越大.

【洋解】假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39,大于37,

所以37不能拆成五个质数的和.不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个

必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的

五个最小质数，当取3、5、7、11、13这五个质数时和就大于37了，所以六个以上质数的和

更不可能为37.

假没把37拆成是四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取2,否则四个奇数的和为偶数,

不可能得到和为37,这样剩下三个数的和为37—2=35,拆的方法有下列几种：

37=2+7+5+23相对应的积为2X7X5X23=1610

37=2+5+11+19相对应的积为2X5X11X19=2090

37=2+5+13+17相对应的积为2X5X13X17=225

37=2+7+11+17相对应的积为2X7X11X17=2618

37=2+3+13+19相对应的积为2X3X13X19=1482

在这五组不同的拆分方法中，不难发现2X7X11X17=2618的乘积最大，并且我们发现，这

四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定的情况下，拆成的数越多（1除外），

越接近，则乘积越大这一经验性常识.

这样，把37拆成三个不同质数的和.两个不同质数的利的乘积均不会大于2618,所以也不必

再试验了.

当把37拆成2、7、11、17这四个数的和时，乘积最大

37=2+7+11+172X7X11X17=2618

答：这几个质数分别为2、7、11、17.

16.将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数

的乘积相等，应该怎样分？

【答案】第一组有14,75,169,33；第二组有35,30,39,143.

或：第一组：14,75,39,143：第二组：35,30,169,33.

【分析】要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相

同.为此，我们先将八个数分解质因数：

14=2X7

33=3X11

35=5X7

30=2X3X5

75=3X5X5

39=3X13

143=11X13

169=13X13

通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以

每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个.

【详解】首先将14=2X7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2X3X5和35=5X

7就应分在第二组.这样，在第二组中不仅有2与7,还有两个5,所以另外两个质因数5就

应分在第一组，即75=3X5X5归在第一组中.其次，将169=13X13分在第一组，含有13的

另外两个数39=3X13和143=11X13就应分在第二组.由于质因数11只有两个，因而含有11

的另一个数33=3X11就应分在第一组.

在上述分组过程中没有考虑过质因数3,所以，应核对一下两组中的质因数3,结果是各含有

两个，所以分组结果是正确的，即

第一组有14,75,169,33；第二组有35,30,39,143.

在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，

因此，还可得到另外的一种分组方法：

第一组：14,75,39,143；第二组：35,30,169,33