2025年四川省人教版高中数学第10章三角函数习题集

2025年四川省人教版高中数学第10章三角函数习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.3√2B.3√3C.2√6D.4√2解析：由正弦定理可得：AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2，解得AC=3√2。故选A。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像关于哪个点中心对称？（）A.(π/12,0)B.(π/6,0)C.(π/4,0)D.(π/3,0)解析：函数y=2sin(3x+π/4)的对称中心满足3x+π/4=kπ，k∈Z，解得x=(kπ-π/4)/3。当k=1时，x=π/12，故对称中心为(π/12,0)。故选A。3.已知点P(x,y)在单位圆上运动，且满足x+y=1，则角∠POA（O为原点，A为(1,0)）的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：由x+y=1，结合单位圆方程x²+y²=1，代入可得x²+(1-x)²=1，解得x=1/2，y=1/2，即P(1/2,1/2)。∠POA的斜率为tanθ=1/2，θ=45°。故选B。4.函数y=cos²x-sin²x的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.π/2解析：y=cos²x-sin²x=cos(2x)，周期T=2π/2=π。故选A。5.已知α是第三象限角，且sinα=-3/5，则cosα的值为（）A.-4/5B.4/5C.-3/4D.3/4解析：由sin²α+cos²α=1，且α为第三象限角，cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-9/25)=-4/5。故选A。6.函数y=3sin(2x-π/3)+1的振幅、周期、初相位分别为（）A.3，π，π/3B.3，π/2，-π/3C.1，π，π/3D.3，π/2，-π/3解析：振幅为3，周期T=2π/2=π，初相位为-π/3。故选A。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，代入a²=b²+c²-bc，可得-2bc×cosA=-bc，cosA=1/2。故选A。8.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像向右平移多少个单位可得到函数y=2sinx的图像？（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3解析：令x+π/6=t，则y=2sin(x+π/6)-1=2sin(t)-1，需y=2sin(t)，即-1=0，无解。需平移π/2使相位相同，即x+π/6=x+π/2，解得平移π/3。故选B。9.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,√3)，且周期为π，则A和φ的可能取值为（）A.A=2，φ=π/6B.A=1，φ=π/3C.A=2，φ=π/3D.A=1，φ=π/6解析：周期为π，ω=2，y=2sin(2x+φ)，代入(π/3,√3)，√3=2sin(2×π/3+φ)，即sin(2π/3+φ)=√3/2，解得φ=π/6。故选A。10.函数y=cos|x|的图像（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.是周期函数D.是奇函数解析：cos|x|=cosx，图像关于y轴对称。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=1/2，α为第二象限角，则tanα的值为______。解：sinα=1/2，α=5π/6，tanα=tan(π-π/6)=-tan(π/6)=-√3/3。参考答案：-√3/32.函数y=3cos(2x-π/4)的最小值为______。解：振幅为3，最小值为-3。参考答案：-33.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=√2，则边c的长度为______。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-30°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，c=a×sinC/sinA=√2×(√6+√2)/4÷(1/2)=√3+1。参考答案：√3+14.函数y=2sin(π/3-x)+1的对称轴方程为______。解：令π/3-x=kπ+π/2，k∈Z，解得x=π/3-(kπ+π/2)，对称轴方程为x=π/6+kπ，k∈Z。参考答案：x=π/6+kπ，k∈Z5.已知点P(x,y)在直线x+y=1上，且x²+y²=1，则sinx+siny的最大值为______。解：由x+y=1，x²+y²=1，可得2xy=0，即x=0或y=0。若x=0，y=1，sinx+siny=sin0+sin1=sin1；若y=0，x=1，sinx+siny=sin1+sin0=sin1。最大值为sin1。参考答案：sin16.函数y=cos²x-sin²x+1的最小正周期为______。解：y=cos(2x)+1，周期T=2π/2=π。参考答案：π7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=4，则△ABC的面积为______。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，c=4×sin75°/sin60°=4×(√6+√2)/4÷√3/2=2(√2+1)，面积S=1/2×4×2(√2+1)×sin60°=4(√2+1)×√3/2=2√3(√2+1)。参考答案：2√3(√2+1)8.函数y=2sin(3x+π/4)-1的振幅为______，初相位为______。解：振幅为2，初相位为π/4。参考答案：2，π/49.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为2π，则Aωφ的值为______。解：周期为2π，ω=1/2，y=sin(1/2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=sin(1/2×π/4+φ)，即sin(π/8+φ)=√2/2，π/8+φ=π/4，φ=π/8，A=√2，Aωφ=√2×1/2×π/8=√2π/16。参考答案：√2π/1610.函数y=cos|x|在区间[-π,π]上的值域为______。解：cos|x|在[-π,π]上取值范围为[-1,1]。参考答案：[-1,1]三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=sinβ，则α=β。（）解：sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z，故错误。参考答案：×2.函数y=3sin(2x-π/3)的图像关于点(π/4,0)中心对称。（）解：令2x-π/3=kπ，k∈Z，x=(kπ+π/3)/2，当k=1时，x=5π/6≠π/4，故错误。参考答案：×3.函数y=cos²x-sin²x是偶函数。（）解：y=cos(2x)，cos(2(-x))=cos(-2x)=cos(2x)，是偶函数。参考答案：√4.在△ABC中，若a²=b²+c²，则角A=60°。（）解：由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，若a²=b²+c²，则cosA=0，A=90°，故错误。参考答案：×5.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像向左平移π/3可得到函数y=2sinx的图像。（）解：令x+π/6=t，y=2sin(t)-1，需y=2sin(t)，即-1=0，无解。参考答案：×6.函数y=cos|x|是周期函数。（）解：cos|x|=cosx，周期为2π，故是周期函数。参考答案：√7.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像可由函数y=sinx的图像先向上平移1个单位，再周期变换得到。（）解：y=3sin(2x-π/3)+1≠3sin(2x)+1，故错误。参考答案：×8.函数y=2sin(π/3-x)是奇函数。（）解：y=-2sin(x-π/3)，-y=-2sin(-x+π/3)=2sin(x-π/3)=y，是奇函数。参考答案：√9.函数y=cos²x-sin²x的最小正周期为π/2。（）解：y=cos(2x)，周期T=2π/2=π，故错误。参考答案：×10.函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为2π，则φ=π/8。（）解：ω=1/2，y=sin(1/2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=sin(1/2×π/4+φ)，即sin(π/8+φ)=√2/2，π/8+φ=π/4，φ=π/8。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知α是第四象限角，且cosα=3/5，求sinα和tanα的值。解：sin²α=1-cos²α=1-9/25=16/25，sinα=-4/5（第四象限sin<0），tanα=sinα/cosα=-4/5÷3/5=-4/3。参考答案：sinα=-4/5，tanα=-4/32.函数y=2sin(3x+π/4)的最小正周期是多少？解：周期T=2π/3。参考答案：2π/33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2√3，求边b的长度。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，2√3/sin60°=b/sin45°，b=2√3×√2/2÷√3/2=2√2。参考答案：2√24.函数y=cos²x-sin²x+1的最小值是多少？解：y=cos(2x)+1，cos(2x)∈[-1,1]，最小值为0+1=1。参考答案：15.函数y=3sin(2x-π/3)的对称轴方程是什么？解：令2x-π/3=kπ+π/2，k∈Z，x=(kπ+π/2+π/3)/2，对称轴方程为x=(kπ+5π/6)/2，k∈Z。参考答案：x=(kπ+5π/6)/2，k∈Z6.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像如何平移可得到函数y=2sinx的图像？解：令x+π/6=t，y=2sin(t)-1，需y=2sin(t)，即-1=0，无解。参考答案：无法平移7.函数y=cos|x|的奇偶性是什么？解：cos|x|=cosx，cos(-x)=cosx，是偶函数。参考答案：偶函数8.函数y=Asin(ωx+φ)的振幅、周期、初相位分别是什么？解：振幅为|A|，周期T=2π/|ω|，初相位为φ。参考答案：振幅|A|，周期2π/|ω|，初相位φ五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边BC=6，求△ABC的面积。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-30°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，c=6×sin75°/sin60°=6×(√6+√2)/4÷√3/2=3(√2+1)，面积S=1/2×6×3(√2+1)×sin60°=9(√2+1)×√3/2=9√3(√2+1)/2。参考答案：9√3(√2+1)/22.函数y=2sin(3x+π/4)+1的图像如何平移可得到函数y=2sin3x的图像？解：令3x+π/4=t，y=2sin(t)+1，需y=2sin(t)，即1=0，无解。参考答案：无法平移3.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为2π，求A和φ的值。解：ω=1/2，y=sin(1/2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=sin(1/2×π/4+φ)，即sin(π/8+φ)=√2/2，π/8+φ=π/4，φ=π/8，需满足周期为2π，√2sin(1/2x+π/8)=√2sinx，φ=π/8，A=√2。参考答案：A=√2，φ=π/84.函数y=cos²x-sin²x的图像的对称轴方程是什么？解：y=cos(2x)，对称轴方程为2x=kπ，x=kπ/2，k∈Z。参考答案：x=kπ/2，k∈Z5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=4，求边c的长度。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，c=4×sin75°/sin60°=4×(√6+√2)/4÷√3/2=2(√2+1)。参考答案：2(√2+1)6.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像如何平移可得到函数y=3sin2x的图像？解：令2x-π/3=t，y=3sin(t)+1，需y=3sin(t)，即1=0，无解。参考答案：无法平移7.函数y=cos|x|的图像的对称中心是什么？解：cos|x|=cosx，图像关于y轴对称，无中心对称点。参考答案：无8.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像的振幅、周期、初相位分别是什么？解：振幅为2，周期T=2π，初相位为π/6。参考答案：振幅2，周期2π，初相位π/6【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.A10.B解析：2.正弦定理应用，α=45°，sinA=1/√2，BC=6，sinB=√3/2，AC/sinB=BC/sinA⇒AC=6×√3/2÷1/√2=3√2。3.函数y=2sin(3x+π/4)的周期T=2π/3，对称中心满足3x+π/4=kπ，k∈Z，当k=0时，x=-π/12，对称中心为(π/12,0)。4.点P(x,y)在直线x+y=1上，且x²+y²=1，代入可得x²+(1-x)²=1，解得x=1/2，y=1/2，∠POA的斜率为tanθ=1/2，θ=45°。5.函数y=cos²x-sin²x=cos(2x)，周期为π。6.α为第三象限角，sinα=-3/5，cos²α=1-sin²α=16/25，cosα=-4/5。7.函数y=3sin(2x-π/3)+1的振幅为3，周期T=2π/2=π，初相位为-π/3。8.由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，若a²=b²+c²-bc，则cosA=1/2。9.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像向右平移π/2可得到函数y=2sinx的图像。10.函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为π，ω=2，y=2sin(2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=2sin(π/2+φ)，φ=π/6。11.函数y=cos|x|的图像关于y轴对称。二、填空题1.-√3/32.-33.√3+14.x=π/6+kπ，k∈Z5.sin16.π7.2√3(√2+1)8.2，π/49.√2π/1610.[-1,1]解析：2.sinα=1/2，α=5π/6，tanα=-√3/3。3.函数y=3cos(2x-π/4)的振幅为3，最小值为-3。4.由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin75°=(√6+√2)/4，c=a×sinC/sinA=√2×(√6+√2)/4÷1/2=√3+1。5.函数y=2sin(x+π/6)的对称轴满足x+π/6=kπ+π/2，k∈Z，x=kπ+π/3，对称轴方程为x=π/3+kπ，k∈Z。6.由x+y=1，x²+y²=1，可得x²+(1-x)²=1，解得x=1/2，y=1/2，sinx+siny=sin1+sin0=sin1。7.函数y=cos²x-sin²x=cos(2x)，周期为π。8.由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4，c=4×sin75°/sin60°=4×(√6+√2)/4÷√3/2=2(√2+1)，面积S=1/2×4×2(√2+1)×sin60°=4(√2+1)×√3/2=2√3(√2+1)。9.函数y=3sin(2x-π/3)+1的振幅为3，初相位为π/4。10.函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为2π，ω=1/2，y=sin(1/2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=sin(1/2×π/4+φ)，即sin(π/8+φ)=√2/2，π/8+φ=π/4，φ=π/8，A=√2，Aωφ=√2×1/2×π/8=√2π/16。11.函数y=cos|x|在区间[-π,π]上取值范围为[-1,1]。三、判断题1.×2.×3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√解析：2.sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z，故错误。3.函数y=3sin(2x-π/3)的图像关于点(π/4,0)中心对称需满足2×π/4-π/3=kπ，k∈Z，π/2-π/3≠kπ，故错误。4.函数y=cos²x-sin²x=cos(2x)，cos(2(-x))=cos(-2x)=cos(2x)，是偶函数。5.由余弦定理a²=b²+c²⇒cosA=0，A=90°，故错误。6.函数y=2sin(x+π/6)-1的图像向左平移π/3可得到函数y=2sin(x+π/6+π/3)-1，即y=2sin(x+π/2)-1=2cosx-1≠2sinx，故错误。7.函数y=cos|x|的周期为2π。8.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像可由函数y=sinx的图像先向上平移1个单位，再周期变换得到。9.函数y=2sin(π/3-x)=-2sin(x-π/3)，-y=-2sin(-x+π/3)=2sin(x-π/3)=y，是奇函数。10.函数y=cos²x-sin²x=cos(2x)，周期为π，故错误。11.函数y=Asin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,√2)，且周期为2π，ω=1/2，y=sin(1/2x+φ)，代入(π/4,√2)，√2=sin(1/2×π/4+φ)，即sin(π/8+φ)=√2/2，π/8+φ=π/4，φ=π/8。四、简答题1.sinα=-4/5，tanα=-4/3解：sin²α=1-cos²α=1-9/25=16/25，sinα=-4/5（第四象限sin<0），tanα=sinα/cosα=-4/5÷3/5=-4/3。2.2π/3解：周期T=2π/3。3.2√2解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，2√3/sin60°=b/sin45°，b=2√3×√2/2÷√3/2=2√2。4.1解：函数y=cos²x-sin²x=cos(2x)，cos(2x)∈[-1,1]，最小值为0+1=1。5.x=(kπ+5π/6)/2，k∈Z解：函数y=3sin(2x-π/3)的对称轴满足2x-π/3=kπ+π/2，k∈Z，x=(kπ+5π/6)/2，对称轴方程为x=(kπ+5π/6)/2，k∈Z。6.无法平移