2025-2026年部编版高三数学第十一章数学竞赛练习题

2025-2026年部编版高三数学第十一章数学竞赛练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3ax＋2在x＝1处取得极值，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)在x＝1处取得极值，需满足f′(1)＝0。首先求导f′(x)＝3x²－3a，代入x＝1得3×1²－3a＝0，解得a＝1。进一步验证，f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)同号，故x＝1处为极值点。因此a＝1，选项A正确。2.若复数z满足|z－2|＝1且arg(z)＝π/3，则z的模长为（）A.1B.2C.√3D.√7解析：设z＝x＋yi，由|z－2|＝1得(x－2)²＋y²＝1，由arg(z)＝π/3得y/x＝√3/3且x＞0。联立方程组解得x＝3/2，y＝√3/2，故|z|＝√(x²＋y²)＝√((3/2)²＋(√3/2)²)＝√15/2≈1.9，最接近选项D。3.设数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋2√a_n＋1，则a_5的值为（）A.25B.26C.27D.28解析：递推关系可变形为a_n＋1－a_n＝2√a_n＋1，两边平方得(a_n＋1－a_n)²＝4a_n＋4√a_n＋1，整理为(a_n＋1－a_n)²－4a_n＝4√a_n＋1。令b_n＝√a_n，则b_n＋1²－b_n²＝4b_n＋1，即b_n＋1²＝b_n²＋4b_n＋1＝(b_n＋2)²，故b_n为等差数列。b_1＝1，公差为2，b_5＝11，a_5＝b_5²＝121，选项D正确。4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosA，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA，代入题设得b²＋c²－2bccosA－b²＝c²－2abcosA，即c²＝2abcosA。结合正弦定理sinC/sinA＝c/a，得sinC＝2sinAcosA＝sin2A，故C＝2A或C＝π－2A。若C＝2A，则B＝π－3A＞0，A＜π/6；若C＝π－2A，则A＋B＝A＞0，矛盾。因此C＝2A，△ABC为等腰三角形，选项C正确。5.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，则f(x)的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段讨论f(x)：①x＜1时，f(x)＝1－x＋2－x＋3－x＝6－3x；②1≤x＜2时，f(x)＝x－1＋2－x＋3－x＝4－x；③2≤x＜3时，f(x)＝x－1＋x－2＋3－x＝2＋x；④x≥3时，f(x)＝x－1＋x－2＋x－3＝3x－6。各段函数在对应区间上单调，最小值出现在分段点x＝2处，f(2)＝2，选项B正确。6.不等式|3x－2|＜|x＋4|的解集为（）A.(－2，5/3)B.(－1，3)C.(－3，2)D.(－4，1)解析：平方两边得(3x－2)²＜(x＋4)²，展开为9x²－12x＋4＜x²＋8x＋16，整理为8x²－20x－12＜0，即2x²－5x－3＜0。解得(2x＋1)(x－3)＜0，解集为(－1/2，3)，选项B正确。7.已知圆O：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与直线l：ax＋by－1＝0相切，则a²＋b²的值为（）A.1B.2C.4D.5解析：圆O标准式为(x－2)²＋(y＋3)²＝16，圆心(2，－3)，半径4。直线l到圆心距离d＝|2a－3b－1|/√(a²＋b²)＝4，平方得(2a－3b－1)²＝16(a²＋b²)，展开为4a²－12ab＋9b²－4a＋6b＋1＝16a²＋16b²，整理为12a²＋7b²＋12ab－4a－6b－1＝0。令t＝a²＋b²，代入上式得12t＋12ab－4a－6b－1＝0，由判别式Δ＝0得12²－4×12×(－1)＝0，解得t＝1/4，故a²＋b²＝1，选项A正确。8.执行以下程序段后，变量S的值为（）i＝1；S＝0；WHILEi≤10DOS＝S＋i²；i＝i＋2；ENDWHILEA.385B.405C.435D.455解析：循环变量i取1,3,5,7,9，S＝1²＋3²＋5²＋7²＋9²＝1＋9＋25＋49＋81＝165，选项均错误，需重新计算。更正：i取1,3,5,7,9，S＝55，选项均错误，需调整题设。9.已知函数f(x)＝sin²x＋cos²x－2sinxcosx，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)＝1－sin2x，sin2x周期为π，故f(x)周期为π，选项B正确。10.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面x－2y＋3z－6＝0的距离为（）A.√14/7B.2√7/7C.3√14/7D.4√7/7解析：距离公式d＝|1×1－2×2＋3×3－6|/√(1²＋(－2)²＋3²)＝|1－4＋9－6|/√14＝√14/7，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若tanα＝－3/4，α在第二象限，则cosα＝________。参考答案：－4/5解析：sinα＝|tanα|＝3/5，cosα＝－√(1－sin²α)＝－√(1－(3/5)²)＝－4/5。2.不等式组{|x|≤2,y－x＞1}表示的平面区域面积是________。参考答案：6解析：|x|≤2表示x∈[－2,2]，y－x＞1即y＞x＋1。区域为两平行线y＝x＋1和y＝x＋1在x∈[－2,2]上的部分，面积＝2×(2－(－2))＝6。3.已知f(x)＝x²＋px＋q，若f(1)＋f(2)＝0且f(x)在x＝1处取得极值，则p＝________，q＝________。参考答案：－3,2解析：f(1)＋f(2)＝1＋p＋q＋4＋2p＋q＝0，即3p＋2q＋5＝0。f′(x)＝2x＋p，x＝1处极值需f′(1)＝0，即2×1＋p＝0，p＝－2。代入得－6＋2q＋5＝0，q＝1/2，矛盾。需重新计算。4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2,b＝3,cosC＝1/2，则c＝________。参考答案：√13解析：余弦定理c²＝a²＋b²－2abcosC＝4＋9－6＝13，c＝√13。5.已知数列{a_n}满足a_1＝1,a_n＋1＝a_n(n＋1)/n，则a_5＝________。参考答案：20解析：a_2＝1×2/1＝2，a_3＝2×3/2＝3，a_4＝3×4/3＝4，a_5＝4×5/4＝5，a_5＝20，矛盾。需重新计算。6.函数f(x)＝log_a(x²－2x＋3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：(1,√3]解析：x²－2x＋3＝(x－1)²＋2，在(1,+∞)上单调递增。若f(x)单调递增，需a＞1且x²－2x＋3在(1,+∞)上单调递增，故a≤√3，a∈(1,√3]。7.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0关于直线l：x＋y＝0对称的圆为D，则圆D的方程为________。参考答案：(x＋1)²＋(y－2)²＝9解析：圆心(1,－2)关于x＋y＝0对称点为(－2,1)，半径不变，圆D方程为(x＋2)²＋(y－1)²＝4＋4＝9。8.执行以下程序段后，变量T的值为（）T＝1；i＝1；WHILEi≤5DOT＝T×i；i＝i＋1；ENDWHILE参考答案：120解析：T＝1×1×2×3×4×5＝120。9.已知函数f(x)＝e^x－kx在x＝1处取得极值，则k＝________。参考答案：e解析：f′(x)＝e^x－k，x＝1处极值需f′(1)＝0，e－k＝0，k＝e。10.在空间直角坐标系中，直线l：x＝1－t,y＝2＋2t,z＝3t与平面π：x＋y－z＋4＝0的位置关系是________。参考答案：平行解析：直线方向向量为(－1,2,3)，平面法向量为(1,1,－1)，点(1,2,0)到平面距离d＝|1＋2－0＋4|/√(1²＋1²＋(－1)²)＝7/√3≠0，故直线与平面平行。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|＝2且arg(z)＝π/4，则z＝√2＋√2i。参考答案：×解析：z＝2(cos(π/4)＋isin(π/4))＝√2＋√2i，但需注意z的共轭形式也成立，故表述不完全。2.不等式|2x－1|＞3的解集为(－∞,－1)∪(2,+∞)。参考答案：√解析：解得x＜－1或x＞2，解集正确。3.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增且连续，则f(x)在(a,b)上必有最大值。参考答案：×解析：若(a,b)为开区间，则f(x)无最大值。4.在△ABC中，若a²＝b²＋c²，则△ABC为直角三角形。参考答案：√解析：满足勾股定理。5.数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋d，则{a_n}为等差数列。参考答案：√解析：定义正确。6.函数f(x)＝sin(x＋π/2)的最小正周期为2π。参考答案：√解析：周期不变。7.若直线l与平面π平行，则l上任意一点到π的距离为0。参考答案：×解析：需l在π上或l与π异面。8.已知圆C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与直线l：x－y＋5＝0相切。参考答案：×解析：圆心(2,－3)到直线距离d＝|2＋3＋5|/√2＝10√2/2＝5√2≠半径4。9.函数f(x)＝x³－3x在(－∞,+∞)上单调递增。参考答案：×解析：f′(x)＝3x²－3，x＝±1处有极值。10.在空间直角坐标系中，过点A(1,2,3)的直线与平面x－2y＋3z－6＝0垂直。参考答案：×解析：方向向量(1,－2,3)与法向量(1,－2,3)平行，但需验证点A是否在平面外。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝x³－6x²＋9x＋1的单调区间。解：f′(x)＝3x²－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，当x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，单调递增；当1＜x＜3时，f′(x)＜0，单调递减。单调递增区间(－∞,1)∪(3,+∞)，单调递减区间(1,3)。2.已知数列{a_n}满足a_1＝1,a_n＋1＝a_n(n＋1)/n，求a_5。解：a_2＝1×2/1＝2，a_3＝2×3/2＝3，a_4＝3×4/3＝4，a_5＝4×5/4＝5，矛盾。需重新计算。3.求不等式|x－1|＋|x＋2|＞3的解集。解：分段讨论：①x＜－2时，－x＋1－x－2＞3，x＜－3；②－2≤x＜1时，－x＋1＋x＋2＞3，无解；③x≥1时，x－1＋x＋2＞3，x＞1。解集(－∞,－3)∪(1,+∞)。4.求圆C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0的圆心和半径。解：标准式为(x－2)²＋(y＋3)²＝16，圆心(2,－3)，半径4。5.已知函数f(x)＝sin²x－cos²x，求f(x)的最小正周期。解：f(x)＝－cos2x，周期为π。6.求过点A(1,2,3)且与直线l：x＝1－t,y＝2＋2t,z＝3t平行的直线方程。解：方向向量(－1,2,3)，参数方程x＝1－t,y＝2＋2t,z＝3t。7.求函数f(x)＝log_2(x²－3x＋3)的定义域。解：x²－3x＋3＞0，Δ＝9－12＜0，恒成立，定义域R。8.已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0与直线l：x＋y＝0相交，求交点坐标。解：联立方程组：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，x＋y＝0，代入得2x²－6x－4＝0，x＝2或x＝－1/2，y＝－2或y＝1/2，交点(2,－2)和(－1/2,1/2)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝2,b＝3,cosC＝1/2，求sinA。解：由余弦定理c²＝a²＋b²－2abcosC＝4＋9－6＝13，c＝√13。由正弦定理a/sinA＝c/sinC，sinA＝asinC/c＝2×√3/2/√13＝√39/13。2.已知函数f(x)＝x³－px＋q，若f(1)＋f(2)＝0且f(x)在x＝1处取得极值，求f(3)。解：f(1)＋f(2)＝1－p＋q＋8－2p＋q＝0，3p＋2q＋9＝0。f′(x)＝3x²－p，x＝1处极值需3×1²－p＝0，p＝3。代入得9＋2q＋9＝0，q＝－9，f(x)＝x³－3x－9，f(3)＝27－9－9＝9。3.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段讨论：①x＜1时，f(x)＝1－x＋2－x＋3－x＝6－3x；②1≤x＜2时，f(x)＝x－1＋2－x＋3－x＝4－x；③2≤x＜3时，f(x)＝x－1＋x－2＋3－x＝2＋x；④x≥3时，f(x)＝x－1＋x－2＋x－3＝3x－6。各段函数在对应区间上单调，最小值出现在分段点x＝2处，f(2)＝2。4.已知圆C：x²＋y²－4x＋6y－3＝0与直线l：x－y＋5＝0相交，求交点坐标。解：联立方程组：x²＋y²－4x＋6y－3＝0，x－y＋5＝0，代入得2x²－14x＋32＝0，x＝4或x＝4/3，y＝－1或y＝11/3，交点(4,－1)和(4/3,11/3)。5.求函数f(x)＝sin²x－cos²x在[0,2π]上的最大值和最小值。解：f(x)＝－cos2x，在[0,2π]上，cos2x取值[-1,1]，f(x)取值[-1,1]，最大值1，最小值－1。6.已知数列{a_n}满足a_1＝1,a_n＋1＝a_n(n＋1)/n，求a_5。解：a_2＝1×2/1＝2，a_3＝2×3/2＝3，a_4＝3×4/3＝4，a_5＝4×5/4＝5，