安徽省滁州市部分校2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数，则（）A. B. C. D.3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（）A. B. C. D.4.某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组数据如表所示：5789111420222529由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则当新产品投入金额为12万元时，估计该产品的收益为（）A.28万元 B.30万元 C.31万元 D.32万元5.已知数列，都是等差数列，且，，，则数列的前20项的和为（）A.400 B.600 C.800 D.12006.已知向量，，，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.7.某品牌洗衣机售后服务中心需要安排四个区域的售后维修服务，现有甲、乙、丙三位技术员可选派，要求每个区域只能有一个技术员负责，每位技术员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（）A.80种 B.72种 C.54种 D.36种8.已知且，且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列说法正确的有（）A.B.C.若越大，则越小D.不随的变化而变化10.设，则下列说法正确的是（）A. B.C.，，，…，中最大的是 D.11.已知直线：与抛物线：交于，两点，圆过，两点，且圆与抛物线仅有三个公共点，则的纵坐标可能为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量服从两点分布，其中，则_____________．13.设，，若函数满足，且，则____________．14.已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，求b的值．16.如图，在直三棱柱中，，点D为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．17.设，，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的极大值点，求a的取值范围．18.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某班级举行猜歌名闯关游戏，游戏规则如下：班级内学生组队参加游戏，每队由三名队员组成．三名队员排好出场顺序后，依次出场猜歌名，且每名队员只猜一次．如果一名队员猜中，则游戏停止；如果这名队员没有猜中，则派出下一名队员，直至有队员猜中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止．现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们猜中的概率分别为，，，且每次每人猜中与否相互独立．（1）若，，，求该队闯关成功的概率；（2）若，现在小队计划用两种方案参加游戏．方案一：按照甲、乙、丙的顺序出场；方案二：按照丙、甲、乙的顺序出场．（ⅰ）若采用方案一，记需要派出人员的数目为随机变量，求的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小．19.已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且．（1）求的方程；（2）点是直线：上的一点，直线交于另外一点（异于点），直线交于另外一点．（ⅰ）求证：直线经过定点；（ⅱ）记和的面积分别为，，求的最大值．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由集合，，则2.若复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：复数，所以3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：双曲线的渐近线方程为，依题意，，所以.4.某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组数据如表所示：5789111420222529由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则当新产品投入金额为12万元时，估计该产品的收益为（）A.28万元 B.30万元 C.31万元 D.32万元答案：D解析：思路：根据线性回归和最小二乘法知识进行求解即可.解答过程：根据表中数据可求得：，.因为经验回归方程经过点，得.解得，令，则，所以当新产品投入金额为12万元时，估计该产品的收益为32万元5.已知数列，都是等差数列，且，，，则数列的前20项的和为（）A.400 B.600 C.800 D.1200答案：B解析：解答过程：由数列，都是等差数列，得数列是等差数列，且，而，所以数列的前20项的和为.6.已知向量，，，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用向量共线、垂直的坐标运算求出的值，得到和，再代入投影向量公式计算即可.解答过程：由得，解得，即，由得，解得，即，则，则，则向量在向量上的投影向量为，7.某品牌洗衣机售后服务中心需要安排四个区域的售后维修服务，现有甲、乙、丙三位技术员可选派，要求每个区域只能有一个技术员负责，每位技术员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（）A.80种 B.72种 C.54种 D.36种答案：C解析：思路：先计算出没有任何限制的总分配方案数，再从中减去某位技术员负责了3个或4个区域的情况即可求解.解答过程：每个区域都可以自由分配给3位技术员中的任意一位，4个区域相互独立，总共有种，①若某位技术员负责了全部4个区域，有种，②若某位技术员负责了3个区域，先选出负责3个区域的技术员，有种，再从4个区域中选出3个分配给他，有种，最后，剩下的1个区域分配给另外2位技术员中的1位，有种，这种情况的总数为种，所以符合条件的方案数为种.8.已知且，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过构造函数，研究函数的图象和性质，比较两个数的大小．解答过程：由，整理可得：，；令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且；则图象如图所示因为，，，由图象可知．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列说法正确的有（）A.B.C.若越大，则越小D.不随的变化而变化答案：ACD解析：解答过程：，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由越大，得正态曲线越矮胖，则越小，C正确；对于D，，根据原则知不随的变化而变化，D正确.10.设，则下列说法正确的是（）A. B.C.，，，…，中最大的是 D.答案：AC解析：思路：令，将原等式化为，再利用赋值法、二项式系数的性质求解判断ABC；两边求导并赋值计算判断D.解答过程：令，则原等式化为，对于A，，则，A正确；对于B，，B错误；对于C，当为小于25的偶数时，，当为不大于25的奇数时，，而时，且最大，因此最大，C正确；对于D，由两边求导得，当时，D错误.11.已知直线：与抛物线：交于，两点，圆过，两点，且圆与抛物线仅有三个公共点，则的纵坐标可能为（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：联立直线与抛物线方程求出点A、B的坐标从而求出线段AB的垂直平分线方程，由题意知点E在线段AB的垂直平分线上，设，写出圆的方程并与抛物线方程联立得关于的一元四次方程，由圆过，两点可将方程因式分解，对因式分解后的方程根的个数进行讨论即可.解答过程：联立直线与抛物线方程，得到，解得或，所以，因为圆过，两点，所以点在的垂直平分线上，因为的中点坐标为，，所以的垂直平分线的斜率为，则的垂直平分线方程为：，设，则，圆E的方程：，将抛物线方程代入圆的方程可得①，由题意知或是上述方程的根，因此将①式因式分解为：，若方程②只有一个根，则，解得，代入②式得，解得，满足条件；若方程②有两个根，由题意知4或中有且仅有一个为②的解，将代入方程②得：，解得，此时方程②的另一个根为，对应点，满足条件，将代入方程②得：，解得，此时方程②的另一个根为，对应点，满足条件.所以的纵坐标可能为、、.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量服从两点分布，其中，则_____________．答案：解析：思路：先利用概率和为1求出，再将其代入两点分布的方差公式即可算出结果.解答过程：由题意得，则，则.13.设，，若函数满足，且，则____________．答案：解析：思路：先利用指数函数的单调性确定底数，再对已知等式两边同取以3为底的对数解出的值，最后结合取值范围即可求解.解答过程：由题意得在定义域上是单调递减的，故，，即，则，此时不满足，故舍去，或，此时满足，综上，.14.已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____．答案：解析：思路：先根据递推关系分别求出等差、等比数列通项，将两数列所有数值升序合并得到；利用分组求和分别计算等差、等比片段和，依次检验临近分界点，对比与大小确定最小正整数．解答过程：由，，得是以为首项，为公差的等差数列，所以，时，，解得，时，，整理得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，将、全部项从小到大不重复排列得新数列：观察分界：小于的等比数列的项仅有，共项；其余项为等差数列的项．设前项中包含个等比项、个等差项，则，等比数列的前项和，等差数列的前项和，观察指数增长，小于的等比项仅有个，前项内无新等比项，临界点集中在附近，①验证，前项包含个等比项、个等差项（），，，所以，不等式不成立．②验证，前项在前项基础上增加等差项，，，所以，不等式成立．故不满足，满足，故满足的最小正整数为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，求b的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用同角公式求解.（2）由已知，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦求解.（1）在中，由，得，即，解得，而，所以.（2）由（1）得，由正弦定理得，而，则，，，所以.16.如图，在直三棱柱中，，点D为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．答案：（1）证明：连接，与相交于点，连接，则为的中点，因为点D为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两法向量夹角余弦值，进而得到面面角的正弦值（1）略（2）直三棱柱中，，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，故，，设平面的法向量为，则，令得，故，设平面的法向量为，则，令得，故，故，设平面与平面夹角大小为，则平面与平面夹角的正弦值为.17.设，，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的极大值点，求a的取值范围．答案：（1）；（2）解析：思路：（1），求导，得到，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）根据得到，从而，分，，和四种情况分类讨论，得到答案（1）时，，，，故，故在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为，，是的极大值点，故，即，故，故，若，则恒成立，此时无极值点，舍去；若，令得或，令得，故是的极大值点，满足要求；若，令得或，令得，此时是的极小值点，不满足要求，舍去；若，则恒成立，令得，令得，此时是的极小值点，不满足要求，舍去；综上，18.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某班级举行猜歌名闯关游戏，游戏规则如下：班级内学生组队参加游戏，每队由三名队员组成．三名队员排好出场顺序后，依次出场猜歌名，且每名队员只猜一次．如果一名队员猜中，则游戏停止；如果这名队员没有猜中，则派出下一名队员，直至有队员猜中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止．现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们猜中的概率分别为，，，且每次每人猜中与否相互独立．（1）若，，，求该队闯关成功的概率；（2）若，现在小队计划用两种方案参加游戏．方案一：按照甲、乙、丙的顺序出场；方案二：按照丙、甲、乙的顺序出场．（ⅰ）若采用方案一，记需要派出人员的数目为随机变量，求的分布列和期望；（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小．答案：（1）（2）（ⅰ）的分布列为：数学期望为；（ⅱ）采用方案一，可使所需派出人员数目的期望更小解析：思路：（1）将闯关成功进行事件拆解，进而求解概率即可.（2）（ⅰ）结合题意求出对应事件的概率，进而求解分布列，得到数学期望即可，（ⅱ）分别算出每个方案的期望值，再进行比较即可.（1）设该队闯关成功的概率为，当甲猜中时，概率为，当甲没猜中，乙猜中时，概率为，当甲，乙都没猜中，丙猜中时，概率为，则该队闯关成功的概率为.（2）（ⅰ）由题意得，，，则分布列如下，则数学期望为，（ⅱ）设方案二需要派出人员的数目为随机变量，则由题意得，，，由期望公式得，则，化简得，因为，所以，可得，得到，故采用方案一，可使所需派出人员数目的期望更小.19.已知椭圆：的离心率为，左