安徽省宣城市2025~2026学年高一下册期末测试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知一组数据12，10，8，6，15，8，这组数据的中位数是（）A.7 B.8C.9 D.102.已知，则（）A. B.C. D.3.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B. C. D.4.已知事件，满足，，，则（）A.0.8 B.0.6C.0.2 D.0.125.如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（）

A.点 B.点C.点但不过点 D.点和点6.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m7.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（）A. B.C. D.8.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为偶数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（）A.与为对立事件B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件D.与为互斥事件二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.10.下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（）A.B.C.平面D.平面11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（）A.的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点B.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率等于的概率C.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为D.若，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中有两个0的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则实数的值为________．13.设为的重心，，，则____（用，表示），实数____．14.点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．16.已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且（1）求;（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长．17.义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．（1）求直方图中的值和上四分位数；（2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率；（3）样本中有10名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差．18.如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为．（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成角正切值大小．19.若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且记．如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得．（1）证明：为的中点；（2）已知，．①若，求的最大值；②若，，求的值．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知一组数据12，10，8，6，15，8，这组数据的中位数是（）A.7 B.8C.9 D.10答案：C解析：解答过程：将这组数据按从小到大的顺序进行排序得6,8,8,10,12,15，故中位数为.2.已知，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由得，所以.3.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合单位向量的方向、长度以及数量积的定义进行判断.解答过程：对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；对于D，，所以，故D错误.故选：B.4.已知事件，满足，，，则（）A.0.8 B.0.6C.0.2 D.0.12答案：B解析：解答过程：因为，所以，所以.5.如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（）

A.点 B.点C.点但不过点 D.点和点答案：D解析：解答过程：∵直线，且，所以，由，则；又因为且.所以.所以与的交线必通过点和点.6.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m答案：A解析：思路：根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果.解答过程：在中，，.在中，.在中，.故选：A7.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：建立直角坐标系，将各点坐标求出，则点为直线与直线的交点，利用直线的交点公式求出点，从而求出的长度，最后根据与的长度求出t.解答过程：以为原点，为轴正方向，为轴的正方向，则，设点坐标为，则，由题可得，根据点的位置可得，故直线为，因为直线为轴，设点为代入直线中，得，解得，又，所以，解得.8.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为偶数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（）A.与为对立事件B.与为相互独立事件C.与为相互独立事件D.与为互斥事件答案：B解析：思路：用列举法得到样本空间，即可逐个选项判断.解答过程：由题知，以有序数对作为发生的结果，则样本空间为，则事件发生概率，事件发生的概率，事件发生的概率，事件发生的概率，事件发生的概率，事件发生的概率，所以B正确，C错；所以与不是对立事件，A错；因为与有共同结果，所以D错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.答案：AC解析：思路：应用余弦定理可判断A，D，应用面积公式可判断B，应用正弦定理判断C．解答过程：对于A，根据余弦定理，得，因此，故A正确；对于B，根据三角形面积公式，故B错误；对于C，根据正弦定理，可得，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确．10.下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（）A.B.C.平面D.平面答案：BCD解析：解答过程：将展开图折成正方体，对于A，为异面直线，故A错误；对于B，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为四边形为正方形，所以，所以，B正确；对于C，因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；对于D，因为四边形为正方形，所以，又因为底面，所以，又平面，所以平面，所以，同理可证，又平面，所以平面，D正确.11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（）A.的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点B.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率等于的概率C.若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为D.若，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中有两个0的概率为答案：BD解析：思路：应用分步乘法计数求样本点个数判断A，应用独立乘法公式求对应概率判断B，分析事件组成，应用互斥事件加法求概率判断C，综合独立事件乘法、互斥事件加法求概率判断D.解答过程：A：的所有试验结果构成的样本空间中共有个样本点，故错误；B：,，所以，故正确；C：记为“中各位数字之和是4”，则，故错误；D：启动一次出现的数字中有两个0的概率为，故正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则实数的值为________．答案：4解析：思路：根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可.解答过程：若复数，,解得,所以实数的值为4.13.设为的重心，，，则____（用，表示），实数____．答案：①.②.##解析：思路：答题空1：利用三角形重心的向量性质，直接写出用线性表示的式子；答题空2：先对三角式通分结合诱导公式、正弦定理化简得到；再把重心对应的用基底展开，由数量积为推导出，代入式子算出．解答过程：在中，，因为，所以，所以，整理得，由正弦定理得，由为的重心，得，，由，得，所以，则，即，所以，即，所以，解得．14.点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________．答案：解析：思路：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹即可求轨迹长度.解答过程：因为直线与平面所成的角为，由平面，得直线与所成的角为，因为，故点不能在平面和平面内；若点在平面内，则点的轨迹是；若点在平面内，点的轨迹是；若点在平面内，作平面于点，如图所示，因为，所以，又因为，则，故，所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆，此时点的轨迹长度为，综上，点的轨迹的总长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根．（1）设、满足方程，求，；（2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解；（2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围.（1）由于，是实系数一元二次方程的两个虚根，故，互为共轭复数设，则代入可得，即，则有故，；（2）设，则，故，那么，由于向量与的夹角为钝角那么且向量与不共线则解得且故实数的取值范围为16.已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且（1）求;（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长．答案：（1）（2）12解析：思路：（1）先切化弦，再交叉相乘，可得，根据三角形内角的范围可得角之间的关系，从而得出（2）借助面积公式和余弦定理即可得出周长（1）由切化弦得得所以，得又，，所以或（舍去）或（舍去）所以，解得（2）由已知，得①由余弦定理，得②由①②可得所以三角形的周长17.义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．（1）求直方图中的值和上四分位数；（2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率；（3）样本中有10名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差．答案：（1），上四分位数为82（2）（3）平均值为，方差为解析：思路：（1）利用频率分布直方图所有组频率和为1的性质求；再通过“前序累计频率判断百分位数所在组，列比例式求解”的方法求四分位数；（2）先根据频率比用分层抽样确定两组抽取人数，再用古典概型，通过列举样本空间或间接法计算“至少1人在”的概率；（3）先利用原平均数求剩余数据的均值，再借助方差公式变形，通过原数据平方和计算剩余数据的方差.（1）由题意知，，解得；因为前四组的频率和为，所以第75百分位数在第五组，设为，则，所以上四分位数为82；（2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中编号为1、2，4人成绩在中编号为、、、，从6人中选取2人的方法情况如下：，即样本空间中有15个样本点，至少有1人成绩在中有9种情况，根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为；（3）剩余8人成绩的平均值为，由10个人成绩的标准差，则，即，于是剩下8人的成绩的方差为，18.如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为．（1）证明：为的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若，，梯形的面积为，求平面与底面所成角正切值大小．答案：（1）因为四棱柱中，四边形为梯形，，所以平面平面，所以平面与面和平面的交线平行，所以，，所以，所以为的中点；（2）（3）解析：思路：（1）利用直四棱柱两组对边平行得到平面平面，由面面平行交线平行得，证明得出，结合的相似比