福建省福州市台江区六校2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（）A.15 B.14.5 C.16 D.183.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（）A. B. C. D.5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.6.在中，角，，对应的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.7.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（）A.4 B.2 C. D.8.已知圆台的上、下底面半径之比为，母线(侧棱)长为，该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，若球的表面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第一象限10.一个盒子中装有标号为、、、、的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为或的号签”，事件“第二次取到标号为的号签”，事件“两张号签标号之和为”，则（）A.与独立 B.与对立C. D.11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是等边三角形B.已知，，若有两解，则的取值范围是C.在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心D.若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.13.现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________．14.已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．16.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数．（1）求事件“为实数”的概率；（2）求事件“”的概率．17.某校高一年级和高二年级分别有学生3000名和2000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图:（1）求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）.（2）两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少?（3）从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）.18.已知向量，设函数．（1）化简并写出的最小正周期；（2）若，且，求的值；（3）在锐角中，若，求周长的取值范围．19.如图，在平面图形中，四边形为菱形，∠BCD=60°, CE=DE=5，将沿边折起，使得点到达点的位置，连接PA, PB，得到四棱锥．（1）证明：．（2）设，且平面平面．（i）求与平面所成角的正弦值；（ii）求点到平面的距离．

数学（满分：150分；考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限.解答过程：由题意得复数，复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.2.一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（）A.15 B.14.5 C.16 D.18答案：A解析：解答过程：先把数据从小到大排序：11，12，15，15，18，20，由于数据共6个（偶数个），故中位数取中间两个数的平均数：．3.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由和两边分别平方，解方程组即得的值.解答过程：由，得，即，①由，得，即，②由①②得.4.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算“恰好击中两次”的三种互斥情况的概率；最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可.解答过程：设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C，甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为：甲：，不命中，乙：，不命中，丙：，不命中，所以共有3种可能的情况：甲、乙击中，丙未击中概率为：，甲、丙击中，乙未击中概率为：，乙、丙击中，甲未击中概率为：，将三种情况的概率相加：.5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数.解答过程：由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值；直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则

；又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即，所以.6.在中，角，，对应的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题设及余弦定理可得，然后由及三角形内角和为可得答案.解答过程：由，可得.由余弦定理可得：，从而.因可得，结合与三角形内角和为，可得.7.如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（）A.4 B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可.解答过程：已知，，所以，化简得.由是中点，，所以，化简得，进而.因为，所以.由基本不等式，且，所以，当且仅当，即，最小值为.8.已知圆台的上、下底面半径之比为，母线(侧棱)长为，该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，若球的表面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可.解答过程：设球的半径为，由题意球的表面积为，所以.设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为，当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，则，消去和得，平方化简得，平方化简得，解得，此时，此时圆台的体积为；当球的球心在圆台内时，则，则，要使由意义，则，则，所以，这与矛盾，所以球的球心不可能在圆台内；综上，该圆台的体积为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.为纯虚数C. D.在复平面内对应的点位于第一象限答案：BCD解析：思路：由复数的四则运算得，由虚部的定义判断A；求得，即可判断B；求得，即可判断C；求得，由复数几何意义判断D.解答过程：因为，则的虚部为，故A错误；因为，为纯虚数，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确．10.一个盒子中装有标号为、、、、的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为或的号签”，事件“第二次取到标号为的号签”，事件“两张号签标号之和为”，则（）A.与独立 B.与对立C. D.答案：AC解析：思路：设第一次、第二次取到号签的标号分别为、，用表示一个样本点，利用独立事件的定义可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；由可判断D选项.解答过程：设第一次、第二次取到号签的标号分别为、，用表示一个样本点，样本点的总数为，则，，，对于A选项，，，，，故与独立，故A正确；对于B选项，，，所以，则与不对立，故B错误；对于C选项，，，故C正确；对于D选项，，故D错误.11.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则是等边三角形B.已知，，若有两解，则的取值范围是C.在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心D.若，则答案：ABD解析：思路：对A，根据条件，利用正弦定理得，即可求解；对B，根据条件得，即可求解；对C，过A作于，根据条件得，即可求解；对于D，根据条件，利用正弦定理及正弦的和角公式，即可求解.解答过程：对于A，因为，则，所以，则，又，则，所以，即，又，所以，即，同理可知，所以，故A正确，对于B，因为，且有两解，则，又，所以，故B正确，对于C，方法一：如图，过作于，则，由，得到，当为中点时，与中线共线，此时动点经过的重心，所以C错误.方法二：由，得到，所以，所以，所以，所以动点经过的垂心，C错误；对于D，因为，则，又，则，所以，又，，所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______.答案：解析：思路：首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得.解答过程：因为，，，所以，因为三点共线，所以，所以，解得.13.现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________．答案：6解析：思路：计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差.解答过程：设甲组数据为，乙组数据为，

甲组平均数，乙组平均数，

混合后的平均数：，

甲组方差，乙组方差，，.14.已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为________．答案：解析：思路：在AB上取点F，使得，连接MF，在上取点G，使得，连接，通过证明平面，说明的边即为点N的轨迹，求出的周长即可得解.解答过程：四棱柱的底面为菱形，，底面，，底面，底面，，，平面，平面，.如图所示，在AB上取点F，使得，连接MF，则，，在上取点G，使得，连接，设MF与BD的交点为O，连接GO，在中，，，，在中，，，，，故，，，平面，的边即为点N的轨迹.在中，，，由余弦定理可得，在中，，，，动点N的轨迹长度为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为，由正弦定理可得：，即，在中，，所以，因为，所以；（2）由（1）知，，因为，，由余弦定理，得：即，得，所以的面积．16.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数．（1）求事件“为实数”的概率；（2）求事件“”的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为；（2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率.（1）若为实数，即为实数，所以，故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关，又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6，故出现的概率为，即事件“为实数”的概率为.（2）由已知，可知，的值只能取1，2，3，当时，，即可取1，2，3，4，当时，，即可取1，2，3，4，当时，，即可取2，由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，故事件“”的概率为.17.某校高一年级和高二年级分别有学生3000名和2000名，该校为了了解本校高一和高二两个年级的学生在五一假期期间的课外阅读情况，利用简单随机抽样的方法在两个年级分别抽取100名学生，记录每人假期期间每天的平均阅读时间（单位:分钟），得到如图所示的频率分布直方图:（1）求高一和高二两个年级的100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数（保留整数）.（2）两个年级的100名学生在五一假期期间平均每天阅读时间超过一个小时的百分比各是多少?（3）从众数和平均数两个角度来分析两个年级的阅读情况（每组的值用该组的中点值作代表）.答案：（1）82，77（2），（3）答案见解析解析：思路：（1）先根据频率分布直方图所有矩形面积和为1求出高一的未知参数，再分别计算高一、高二的累积频率，确定第80百分位数所在分组，最后代入百分位数计算公式求出对应结果；（2）1小时等于60分钟，分别统计高一、高二平均阅读时间超过60分钟的累计频率，即可得到两个年级对应情况的百分比；（3）先根据频率分布直方图得到两个年级阅读时间的众数，再以每组中点为代表计算两个年级的平均阅读时间，最后对比两个年级的众数和平均数结果，分析两个年级的阅读情况.（1）由题可知，，所以.设高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为m，则，解得.设高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的第80百分位数为n，则，解得.（2）高一年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为，高二年级100名学生在五一假期期间，阅读时间超过一个小时的百分比为.（3）由频率分布直方图可知，高一年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为75，平均数为.高二年级100名学生在五一假期期间阅读时间的众数为65，平均数为.由此可以看出，无论从阅读时间的众数来讲，还是从阅读的平均时间来看，高一年级都明显高于高二年级，所以高一学生的阅读情况要好于高