甘肃省白银市靖远县联考2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，则（）A. B. C. D.3.若一个正n棱台共有18条棱，则（）A.3 B.4 C.6 D.84.从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.5.已知向量，，实数x，y满足，则（）A.， B.， C.， D.，6.已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（）A. B. C. D.7.如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.8.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C.的虚部为 D.10.设事件A，B是互斥事件，，，则（）A. B.C. D.11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，则该圆台的侧面积是______.13.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________．14.为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平行四边形中，，．（1）用向量，表示，；（2）若，且B，P，E三点共线，求x的值．16.如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）求异面直线与所成角的大小．17.某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费．已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，．每日停车时长/小时合计收费标准/元061218（1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率；（2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率．18.在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，且边上的中线，求的面积；（3）求的最小值，并指出此时的形状．19.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点．（1）设平面平面，证明：．（2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由．（3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：在复平面内对应的点为，位于第二象限．2.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．3.若一个正n棱台共有18条棱，则（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：C解析：解答过程：正棱台共有条棱，所以，解得．4.从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为．5.已知向量，，实数x，y满足，则（）A.， B.， C.， D.，答案：A解析：思路：由平面向量的坐标运算求解．解答过程：由题可得，则解得6.已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：中边长为的边所对的角最大，设其为，由余弦定理得，因为，所以．7.如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解．解答过程：取的中点H，连接，则．因为平面，平面，所以．又平面，所以平面，则即为与平面所成的角．设，则，，，则．8.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由得，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.解答过程：由，得．由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有种情况，其中满足的的情况为、、、、、、、、、、、，共有种等可能情况，所以所求概率为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C.的虚部为 D.答案：AD解析：解答过程：，A正确；，B错误；，所以的虚部为3，C错误．，D正确．10.设事件A，B是互斥事件，，，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于选项A，因为，，所以，故A正确；对于选项B，因为，，所以，故B正确；对于选项C，事件A，B互斥，所以，故C错误；对于选项D，事件A，B互斥，所以，故D正确.11.（多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（）A.平面平面 B.的最小值为C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为答案：ABD解析：思路：对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径.解答过程：几何体共有7个面，C错误；因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，A正确；因为，，，所以，所以，则，同理可证，可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体，其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确；连接，，将平面与平面展开至同一平面，如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值.因为，，，所以平面，则，在图3中过作，与的延长线交于点，则，，所以，B正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，则该圆台的侧面积是______.答案：解析：思路：套用圆台侧面积公式求解.解答过程：因为圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，所以圆台的侧面积.故答案为：.13.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________．答案：解析：解答过程：设与的夹角为，则．因为，所以，因为，所以，则，故与的夹角为.14.为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数）答案：85解析：解答过程：，在中，由正弦定理得，所以，得,解得米，因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以，则米，故该大楼的高度AD约为85米．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平行四边形中，，．（1）用向量，表示，；（2）若，且B，P，E三点共线，求x的值．答案：（1），（2）6解析：思路：（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，；（2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值.（1）由，且；（2）因为B，P，E三点共线，可设，，由（1）可得，因为，所以，解得，故x的值为6.16.如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）求异面直线与所成角的大小．答案：（1）证明：连接BD．因为E，F分别是CD，BC的中点，所以EF是的中位线，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）证明：根据正三棱柱的性质可得平面．因为平面，所以．因为为等边三角形，所以．因为，平面，面，所以平面．（3）．解析：思路：（1）连接BD，由中位线得到，再根据线面平行的判定定理即可证得平面；（2）利用正三棱柱的性质结合线面垂直的性质得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直；（3）先确定异面直线EF与所成的角即为（或其补角），再根据（2）得，利用勾股定理计算得到，进而求得即可求解.（1）略（2）略（3）由（1）得，所以异面直线EF与所成的角即为（或其补角）．因为平面，所以由（2）可得．因为，所以，，，则，所以是以D为顶点的等腰直角三角形，所以，即异面直线EF与所成的角为．17.某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费．已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，．每日停车时长/小时合计收费标准/元061218（1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率；（2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意求得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为，进而利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可；（2）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.（1）根据题意可得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为，则甲、乙两人当日停车时长均未超过2小时的概率为，所以甲、乙两人当日至少有一人停车时长超过2小时的概率为．（2）由题意可知，每人每日停车费用为18元的概率为．设甲、乙两人当日停车费用之和为24元的事件为D，甲当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，，乙当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，，则．因为两人停车时长是相互独立的，所以．18.在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，且边上的中线，求的面积；（3）求的最小值，并指出此时的形状．答案：（1）；（2）；（3）最小值为，此时为等边三角形．解析：思路：（1）先根据正弦定理，将边化角，再结合三角恒等变换，即可求解；（2）利用三角形的中线性质，结合三角形余弦定理，列出关于的方程组，再根据三角形的面积公式即可求解；（3）先化简原式，再结合三角函数的运算，求得最值，进而可判断三角形的形状.（1）因为，根据正弦定理可得，，代入原式，可得，又因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，解得．（2）因为为的中点，所以，则，因为，，所以，整理得①，又根据余弦定理，，且，所以，即②，由①②得③，又因为，且，，所以④，联立③④，解得，所以的面积为．（3）由题意，，又为的内角，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以，所以，所以，所以，即的最小值为，此时，即，解得，又，所以，所以为等边三角形．19.如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点．（1）设平面平面，证明：．（2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由．（3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围．答案：（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以．因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PCD，平面平面，所以．（2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．因为F为PD上靠近点P的三等分点，所以F为PM的中点，所以．因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO．同理可证平面AMO．因为，所以平面平面AMO．因为平面平面，平面平面，所以．因为F为PM的中点，所以H为PC的中点．（3）解析：思路：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证；（2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通