甘肃省庆阳市华池县第一中学2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学考试时间：120分钟满分150分．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意）1.以下结论错误的是（）A.命题：“，”的否定为“，”B.设随机变量服从正态分布，若，则C.用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D.回归直线一定过样本中心2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.14 B.0.36 C.0.64 D.0.723.若向量，，且，则的值是（）A. B.5 C.3 D.4.设函数，则（）A. B. C. D.5.东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（）A. B. C. D.6.对于三维向量，，定义，，，则（）A. B. C. D.以上选项均不正确7.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.8.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．）9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（）A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件B互为对立C.事件A与事件相互独立 D.事件A与事件B互斥10.在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（）A.为梯形 B.为五边形C.平面 D.平面11.设，，则下列说法正确的是（）A.是偶函数B.在处取得最小值C.方程有且仅有一个实根D.对任意，都有第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X服从二项分布，若且，则________．13.天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________．四、解答题（共77分）15.某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生

女生

合计

附：．16.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份20192020202120222023购买量（万辆）0.400.701.101.501.80（1）计算与的相关系数（保留三位小数）；（2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．参考公式：．参考数值：．17.某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品．（1）求第一次抽到的是A商品的概率；（2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率．18.如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线AC两侧．（1）求证：平面；（2）已知，，求平面与平面夹角的余弦值．19.已知函数，，其中，e为自然对数的底数．（1）证明：；（2）若对任意恒成立，求实数a的值；（3）设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数n．

数学考试时间：120分钟满分150分．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意）1.以下结论错误的是（）A.命题：“，”的否定为“，”B.设随机变量服从正态分布，若，则C.用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D.回归直线一定过样本中心答案：C解析：思路：对于A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断；对于B，根据正态分布的特征判断；对于C，根据决定系数的意义判断；对于D，根据回归直线的特征判断.解答过程：对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么，所以，，故B正确；对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误；对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确.2.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A.0.14 B.0.36 C.0.64 D.0.72答案：A解析：解答过程：由题意.3.若向量，，且，则的值是（）A. B.5 C.3 D.答案：B解析：思路：由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论.解答过程：因为，所以存在实数，使得，又，，所以，，，解得，，，因此.4.设函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：5.东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可．解答过程：设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，；，，．6.对于三维向量，，定义，，，则（）A. B. C. D.以上选项均不正确答案：A解析：思路：根据题意得到，结合空间向量运算的坐标表示即可求解.解答过程：已知，，根据题意，，因此.7.五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果.解答过程：若甲体验儒家文化，则有：当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有：当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1；当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为；综上所述：不同的选法种数为，即；所以.8.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数求解函数最值，进而得到参数的范围解答过程：由题意，即，令，求导得，令，故在单调递增，且，令，解得（舍）或，当时，单调递减；当时，单调递增；在处取得极小值（也是最小值）：，所以．故选：A．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．）9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（）A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件B互为对立C.事件A与事件相互独立 D.事件A与事件B互斥答案：AC解析：思路：根据相互独立事件的概念可判断AC；根据对立事件的概念可判断B；根据互斥事件的概念可判断D.解答过程：由题意可得事件“第二枚硬币正面朝上”，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，有如下基本事件，正正，正反，反正，反反，所以，，，对于A，因为，所以事件A与事件B相互独立，故A正确；对于B，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是对立事件，故B错误；对于C，因为，所以事件A与事件相互独立，故C正确；对于D，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，故D错误.故选：AC10.在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（）A.为梯形 B.为五边形C.平面 D.平面答案：BD解析：思路：以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过可判断D.解答过程：如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为:选项A：延长交于点，交于，连接交于，连接交于，则共面，由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确；选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的，，，此时，则与平面并不垂直，选项C错误；选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且，又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确.11.设，，则下列说法正确的是（）A.是偶函数B.在处取得最小值C.方程有且仅有一个实根D.对任意，都有答案：ABC解析：思路：对A，直接用偶函数的定义判断可得；对B，用导数判断函数的极小值及最值可得；对C，将方程的根转化为函数的零点，再结合零点存在性定理判断可得；对D，直接构造函数，求导，再构造函数，再求导，进而可判断当时，，故可判断D错误.解答过程：对于A，由知函数的定义域为，所以函数的定义域为，，所以是偶函数，因此A正确；对于B，由求导得，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故在处取得极小值，也是最小值，因此B正确；对于C，令，求导得，所以函数在上单调递减，且当时，；当时，，由零点存在定理，有且仅有一个零点，即方程有且仅有一个实根，故C正确；对于D，令，.则，.再令，则，所以在上单调递减，且，故当时，，即函数在上单调递减，且，所以当时，，即，因此，对任意，都有错误，故D错误.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X服从二项分布，若且，则________．答案：##解析：解答过程：由题设，则，，所以，可得，所以.13.天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________．答案：##解析：思路：直接由全概率公式即可求解.解答过程：设事件表示“选中的学生选了物理”，事件分别表示“选到甲、乙、丙学校的学生”，，，，，，，由全概率公式可知，，所求概率为或.14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________．答案：##0.3125解析：思路：由题得出的递推式，构造等比数列求解即可．解答过程：由题意得，时，，即，设，故，所以，其中，即是首项为，公比为的等比数列，故，即，所以．四、解答题（共77分）15.某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生

女生

合计

附：．答案：（1），人（2）表格如下：

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．解析：（1）由各组频率之和为，得，解得，则属于“优等生”的有人.（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．所以得到列联表如下：

属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．根据表中数据，计算得．根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．16.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：年份20192020202120222023购买量（万辆）0.400.701.101.501.80（1）计算与的相关系数（保留三位小数）；（2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．参考公式：．参考数值：．答案：（1）；（2），2.9万辆．解析：（1）由题意，，则，，则．故与的相关系数为．（2）由（1），则，故关于的线性回归方程为，令，则，故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆.17.某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品．（1）求第一次抽到的是A商品的概率；（2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望；（3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率．答案：（1）（2）分布列见解析，（3）．解析：思路：（1）根据全概率公式求解即可；（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布，再根据离散型随机变量的期望公式，求得期望；（3）分别求出和则，再根据条件概率公式求得在第二次抽到的是B商品的情况下，第一次抽到的是A商品的概率．（1）设“第次抽到的是A商品”，“第次抽到的是B商品”，“选取到第个超市”，．由题意得第一次抽到的是A商品的概率．（2）的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012所以．（3）从甲超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为；从乙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为；从丙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为.所以.，则，所以在第二次抽到的是商品的情况下，第一次抽到的是商品的概率为．18.如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线AC两侧．（1）求证：平面；（2）已知，，求平面与