广东省广州市天河区2025~2026学年高二下册学业水平调研数学试卷【附解析】

数学满分为150分，调研时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从8名男运动员和4名女运动员中选出一男一女参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（）A.12种 B.32种 C.66种 D.132种2.下列求函数的导数运算正确的是（）A. B. C. D.3.袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中恰有个红球的概率为（）A. B. C. D.4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若，则，．）A.0.0456 B.0.1359 C.0.2718 D.0.31745.随机变量的分布列为．若的均值为，则（）A. B. C. D.6.某地的中学生中有70%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，90%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，如果已知该同学爱好滑雪，那么该同学也爱好滑冰的概率为（）A. B. C. D.7.在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（）A. B. C. D.8.若，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，则（）A. B.，C. D.10.已知变量，的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（）1234559121519（参考公式：样本相关系数．）A.B.样本中变量与正相关C.当时，的预测值为22.2D.将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，样本相关系数不变11.已知函数，以下结论正确的是（）A.在区间单调递增B.有最小值，且最小值不大于0C.存在实数，当时，D.若，则方程有一个负实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的二项展开式中，的系数为__________．13.已知函数在处取得极小值，则__________．14.甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，．（1）求和；（2）若，求数列的前项和．16.某校开展学生科普读物阅读推广活动，为了解学生的阅读情况，现抽取名学生进行问卷调查，得到学生阅读科普书目的情况，经统计绘制成如下频率分布直方图．现规定阅读书目数不低于的同学获优秀奖．（1）若抽取的名学生中有名男生，其中名男生未获优秀奖，请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，能否认为是否获奖与性别有关．性别是否获奖合计获优秀奖未获优秀奖男生

女生

合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现从全校中随机抽取名学生，记被抽取的3名学生中的获优秀奖的人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．参考公式及数据：17.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．18.已知双曲线的渐近线方程，上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在第一象限，点为的左顶点，点为的右焦点．（i）求证：；（ii）延长线段与的右支相交于点，求的最小值．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的极值点个数；（3）若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．

数学满分为150分，调研时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从8名男运动员和4名女运动员中选出一男一女参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（）A.12种 B.32种 C.66种 D.132种答案：B解析：思路：依据分步乘法计数原理，分别计算选取男、女运动员的选法数，二者相乘即可得到总选法数.解答过程：根据分步乘法计数原理，第一步：从8名男运动员中选取1名，共有种选法；第二步：从4名女运动员中选取1名，共有种选法；因此不同的选法总共有种.2.下列求函数的导数运算正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用基本初等函数求导公式与复合函数求导法则对各选项逐一验证.解答过程：选项A：，A正确；选项B：根据余弦函数求导公式，，B错误；选项C：为常数，常数的导数为0，即，C错误；选项D：令，由复合函数求导法则，，D错误.3.袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中恰有个红球的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依据古典概型概率公式，结合超几何分布的计数逻辑，计算符合条件的取法数与总取法数的比值即可．解答过程：袋中共有个球，从袋中任取个球，取法有种，若取出的个球中恰有个红球，则剩余个为白球，取法有种，所以所求概率为．4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若，则，．）A.0.0456 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3174答案：B解析：思路：利用正态分布曲线的对称性，结合给定的一倍标准差区间和两倍标准差区间的概率，计算目标区间的概率.解答过程：由题意，该正态分布的均值，标准差，由题设，，结合正态分布曲线的对称性，则.5.随机变量的分布列为．若的均值为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合离散型随机变量分布列的概率和为1的性质、数学期望计算公式列方程组求解参数，再计算的值即可.解答过程：根据离散型随机变量分布列的性质，所有取值对应的概率之和为1，可得：，代入，化简得：根据离散型随机变量数学期望的定义，结合已知，可得：，代入概率表达式，化简得：联立解得，因此.6.某地的中学生中有70%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，90%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，如果已知该同学爱好滑雪，那么该同学也爱好滑冰的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过概率的加法公式求出同时爱好滑冰和滑雪的概率，再代入条件概率公式计算所求概率．解答过程：设事件表示“该同学爱好滑冰”，事件表示“该同学爱好滑雪”，由题意得：，，，由，得，解得，所以．7.在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：计算出6个数中选4个数放入方格表的种数，再分两种情况，得到每行、每列所填数之积都是偶数的个数，从而求出概率解答过程：1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入方格表中，共有个，每行、每列所填数之积都是偶数，①当4个方格有3个偶数时满足要求，从3个奇数中选一个，和3个偶数进行全排列，共有个，②当4个方格表有2个偶数且分布在对角线上时，满足要求，从3个偶数中选2个，且放在某一条对角线上，有种选择，再从3个奇数中选两个，放在剩余的对角线上，有种选择，故此时有个，综上，共有个，所以每行、每列所填数之积都是偶数的概率是.8.若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：通过构造辅助函数，，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合单调性比较函数值大小即可判断选项正误解答过程：对AB选项，构造函数，，求导得：，令，则，所以在上单调递增，且，，故存在使得，即在上单调递减，在上单调递增.因为不能判断与函数的单调区间的位置关系，因此不能判断的大小关系.即不能确定与的大小关系，故不能确定与的大小，对CD选项，构造函数，，求导得：

，令，，求导：

，当时，，，故，即在上单调递减，，因此对任意，，即，故在上单调递减，因为，所以，即，所以，因此C正确，D错误.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知，则（）A. B.，C. D.答案：ACD解析：思路：令，求出的值，即可判断A；令，求出的值，即可判断B；先求出的二项展开式的通项，进而判断展开式各项系数的正负，从而去掉绝对值符号，令，可求出的值，即可判断C；先令，再将式子左右两边同时乘以，从而求出的值，即可判断D.解答过程：已知，令，可得，故A正确；令，可得，故B错误；令，可得.的展开式的通项为，当时，，所以，当时，，所以，所以，故C正确；令，可得，将上式左右两边同时乘以，可得，故D正确.10.已知变量，的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为，则（）1234559121519（参考公式：样本相关系数．）A.B.样本中变量与正相关C.当时，的预测值为22.2D.将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，样本相关系数不变答案：BCD解析：思路：先求出，再根据回归直线必过样本中心点，求出，即可判断A，B；将代入经验回归方程，求出，即可判断C；设，，求出，再代入样本相关系数公式求出，进而得到与的关系，即可判断D.解答过程：因为，，回归直线必过样本中心点，所以，解得，故A错误；因为，说明增大时，的预测值也随之增大，所以样本中变量与正相关，故B正确；将代入经验回归方程，可得，即的预测值为22.2，故C正确；将的每个数据都加上2，的每个数据都乘以2，设，，则，，则，，代入样本相关系数公式可得，即样本相关系数不变，故D正确.11.已知函数，以下结论正确的是（）A.在区间单调递增B.有最小值，且最小值不大于0C.存在实数，当时，D.若，则方程有一个负实根答案：ABD解析：思路：求导，分析函数的单调性，可判断A的真假；确定函数的最小值，设辅助函数，可求最小值的最大值，判断B的真假；分析当时，函数值的符号，可判断C的真假；利用函数的单调性及函数零点存在性的判定方法，可判断D的真假.解答过程：对A：因为，所以，由可得，由可得.所以在上单调递减，在上单调递增.所以在区间单调递增，故A正确；对B：由函数的单调性可知，有最小值，为，.设，，则.由可得，由可得.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以有最小值，且最小值不大于0，故B正确；对C：若，则当时，，此时不存在实数，当时，，故C错误；对D：当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，且，且当时，，，所以唯一存在，使得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的二项展开式中，的系数为__________．答案：6解析：思路：利用二项展开式的通项公式，令的指数等于4求出对应参数值，代入计算即可得到系数.解答过程：的二项展开式的第项为通项，其中，通项公式为：

整理可得：

，令的指数为4，即，解得,将代入系数项，得，故的系数为6.13.已知函数在处取得极小值，则__________．答案：解析：思路：由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可.解答过程：由，又函数在处取得极小值，则，解得，或，当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极小值，故时符合题意；当时，，令，则，或，当时，，当时，，则处取得极大值，故时不符合题意.故答案为：.14.甲、乙进行一场台球比赛，每一局甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．两人约定：若一人比另一人多获胜2局，则比赛结束，该人获胜．比赛局数为4局的概率是__________．甲获得比赛胜利（不清楚比赛局数）的概率是__________．答案：①.②.##解析：思路：根据独立重复试验的概率公式可求得答案．解答过程：比赛局数为4局说明：前两局比分为，第3、4局甲或乙连胜.设比赛局数为，则.因为每两局，比分为的概率为，每两局甲连胜的概率为.设甲获得比赛胜利的概率为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，．（1）求和；（2）若，求数列的前项和．答案：（1），.（2）解析：（1）设等差数列的公差为，则，由等差数列求和公式得，化简得，因为且,所以是常数，因此是等比数列，设其公比为，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列通项公式得，所以，.（2）因为，设数列的前项和为，则所以数列的前项和为.16.某校开展学生科普读物阅读推广活动，为了解学生的阅读情况，现抽取名学生进行问卷调查，得到学生阅读科普书目的情况，经统计绘制成如下频率分布直方图．现规定阅读书目数不低于的同学获优秀奖．（1）若抽取的名学生中有名男生，其中名男生未获优秀奖，请完成下列列联表．根据小概率值的独立性检验，能否认为是否获奖与性别有关．性别是否获奖合计获优秀奖未获优秀奖男生

女生

合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现从全校中随机抽取名学生，记被抽取的3名学生中的获优秀奖的人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．参考公式及数据：答案：（1）列联表性别是否获奖合计获优秀奖未获优秀奖男生女生合计不能认为是否获奖与性别有关.（2）的分布列为：；解析：思路：（1）由频率分布直方图得获优总人数，补全列联表，计算卡方后对比临界值得结论；（2）由频率得获优概率，判断服从二项分布，利用二项分布性质求解即可.（1）由频率分布直方图可知，组距为，阅读书目数不低于的频率为．所以名学生中获优秀奖的人数为，未获优秀奖的人数为．因为男生名，其中名未获优秀奖，所以男生获优秀奖的人数为．则女生获优秀奖的人数为，女生未获优秀奖的人数为.列联表如下：性别是否获奖合计获优秀奖未获优秀奖男生女生合计零假设：是否获奖与性别无关.，因为，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即不能认为是否获奖与性别有关．（2）由（1）知，从全校中随机抽取名学生，获优秀奖的概率为．由题意可知，的所有可能取值为，且．，，

，，所以的分布列为：因为，所以期望，方差．17.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．答案：（1）取的中点为，连接，.因为为的中点，所以是的中位线，所以，，因为与均为等腰直角三角形，且，，所以，所以，所以，且，所以，所以，所以，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）2解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理可知，需证明线线平行，取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，可证明；（2）根据线面垂直及线面平行，得出直线与平面所成角等于直线与平面所成角，进而得出那么.（1）略（2）因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，过做，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，取的中点为，因为，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面，所以A到平面的距离等于M到平面的距离，又因为，所以是平行四边形，所以，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，在中，设，所以，所以，所以，所以.18.已知双曲线的渐近线方程，上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在第一象限，点为的左顶点，点为的右焦点．（i）求证：；（ii）延长线段与的右支相交于点，求的最小值．答案：（1）；（2）（i）证明：由题意得，，设，则，即，当时，，故，此时，此时，故，满足，当时，，其中，，，所以，又为锐角，，即，，综上，；（ii）36解析：思路：（1）根据渐近线方程和双曲线定义可得方程组，求