广东省梅州市丰顺县华侨中学2025~2026学年高二上册开学考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.复数在复平面的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数的定义域是（）A. B. C. D.4.设命题：，，则的否定是（）A.， B.，C.， D.，5.已知函数，则正确的是（）A. B.C. D.6.已知向量，，若，则（）A. B.1 C. D.47.为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下：8593959288929590据此估算该年级数学考试第25百分位数为（）A.88 B.89 C.90 D.948.已知，则（）A. B. C. D.9.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.已知，且，则的最大值为（）A. B.2 C. D.411.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知若函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.已知事件与事件相互独立，且，，则______．14.如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______．15.______．16.不等式的解集为______.17.已知，则______．18.圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为______．三、解答题：本大题共4个大题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.已知函数的图象经过．（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并说明理由．20.为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6（1）求这10户居民月度用水量的平均值；（2）求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数．21.在中，已知，，．（1）求；（2）如为的中点，求的长．22.如图，三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求侧面与底面所成二面角的正切值．

数学一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助交集定义即可得.解答过程：由，集合，则.故选：A.2.复数在复平面的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的几何意义可得出结论.解答过程：复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对数的真数大于零列不等式求解即可.解答过程：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域是，故选：B.4.设命题：，，则的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：根据全称命题的否定是特称命题求解即可.解答过程：因为命题：是全称命题，所以命题的否定是，故选：D.5.已知函数，则正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：分别计算出、、、即可得.解答过程：对A、B：，，故A、B错误；对C、D：，，则，故C正确、D错误.故选：C.6.已知向量，，若，则（）A. B.1 C. D.4答案：A解析：思路：根据向量平行的坐标表示列方程求解即可.解答过程：因为向量，，且，所以，解得，故选：A.7.为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下：8593959288929590据此估算该年级数学考试第25百分位数为（）A.88 B.89 C.90 D.94答案：B解析：思路：先对数据进行从小到大排序，然后根据数据集的大小计算出第25百分位数在排序后数据中的位置，对于偶数个数据点，第25百分位数将是排序数据中的一个特定位置或两个相邻数据点的平均值.解答过程：对8位学生的数学考试分数进行从小到大的排序，得到的序列如下：85，88，90，92，92，93，95，95共8个数据点的数据集，第25百分位数的位置为，所以第25百分位数为.故选：B方法提示：关键点点睛：在计算百分位数时，特别要注意数据点的排序和百分位数位置的计算。当数据点个数为偶数时，百分位数的位置会落在两个数据点之间，此时百分位数应取这两个数据点的平均值。这一原则是准确估算数据集百分位数的关键.8.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用诱导公式化简可得的值.解答过程：由诱导公式可得.故选：A.9.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度答案：C解析：思路：借助平移变换的性质计算即可得.解答过程：由，故想要得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点向左平移个单位长度.故选：C.10.已知，且，则的最大值为（）A. B.2 C. D.4答案：B解析：思路：直接利用基本不等式求解即可.解答过程：因为，所以，可得，当且时，即时等号成立，所以的最大值为.故选：B.11.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.12.已知若函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解.解答过程：由函数在上单调递增，且值域为，故必有唯一解，故当时，有两不同根，即有两不同非正根，即有，解得，由，则，解得，故.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.已知事件与事件相互独立，且，，则______．答案：0.3##解析：思路：利用相互独立事件概率乘法公式求解即可得.解答过程：因为事件与事件相互独立，所以.故答案为：14.如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______．答案：解析：思路：借助向量线性运算法则计算即可得.解答过程：.故答案为：.15.______．答案：解析：思路：利用指数和对数的运算性质计算可得所求代数式的值.解答过程：原式.故答案为：.16.不等式的解集为______.答案：或解析：思路：直接求解一元二次不等式即可.解答过程：，解得或，故解集为或.故答案为：或.17.已知，则______．答案：##解析：思路：利用弦化切可得出所求代数式的值.解答过程：因为，则.故答案为：.18.圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为．求母线与底面的正切值为______．答案：解析：思路：利用侧面积与轴截面面积的比值以及勾股定理找出母线长为，圆锥的高为，从而求出母线与底面所成角的正切值.解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，母线与底面所成角为，根据题意，圆锥的侧面积和轴截面面积的比值为，由侧面积，轴截面面积，因此，简化得，由勾股定理得，代入得到，从而，解得，由定义知，将代入得：.故答案为：.三、解答题：本大题共4个大题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.已知函数的图象经过．（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性，并说明理由．答案：（1）（2）函数为奇函数，理由见详解解析：思路：（1）把点代入解析式求出后可得答案；（2）利用奇偶性的定义判断即可.（1）因为函数的图象经过，所以，解得，所以；（2）函数为上的奇函数.由（1）可知，由于，其定义域关于原点对称，，所以为奇函数.20.为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6（1）求这10户居民月度用水量的平均值；（2）求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数．答案：（1）（2）；解析：思路：（1）计算平均值即可求解；（2）先计算出这10户居民月度用水量落在区间的概率，最后用样本估计总体去计算该小区居民月度用水量落在区间的户数即可.（1）将每个数据乘以10减去81得：所以平均值为：，所以，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨（2）因为，所以落在区间的概率为，据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为.21.在中，已知，，．（1）求；（2）如为的中点，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角；（2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解.（1）因为，且，，根据正弦定理可得，解得；又，且，故.（2）由（1）可知，，由可得.因为D为AC的中点，所以，在中，由余弦定理可得，则，从而.22