广东省深圳市外国语学校高中园2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

广东深圳外国语学校高中园2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．2．已知函数是奇函数，则（

）A．3 B． C．1 D．3．的展开式中的系数为（

）A．20 B．40 C．60 D．804．已知定义在R上的函数满足是偶函数，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（

）A． B． C． D．6．记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．107．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．二、多选题9．已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（

）A．圆心坐标为 B．C．抛物线的准线与圆相切 D．过抛物线焦点的直线与圆相交10．已知正实数a，b满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为2 D．的最小值为11．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A．当时， B．是的极大值点C．当且仅当 D．关于x的方程的解有6个三、填空题12．某中学高三年级学生有1000人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布，已知，则本次考试数学成绩大于135分的人数约为________．13．曲线在点处的切线方程为________．14．甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片．记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为________．四、解答题15．记是公差不为的等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求．16．如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足．(1)求证：平面；(2)求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值．17．随着新能源储能与新能源汽车行业高速发展，动力电池容量稳定性是衡量电池品质的核心指标．某新能源工厂规模化生产车用储能锂电池，为严格把控出厂品质、降低人工质检成本、提升检测效率，工厂采用「智能初筛人工精准复检」双层质检流程．现质检部门从生产线随机抽取大批量成品锂电池进行专业精准容量检测，以电池容量综合评分为检测标准（满分100分，分数越高容量性能越好），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图：

行业质检标准规定：评分不低于60分为实际合格电池，可正常投入市场使用；低于60分为实际不合格电池，存在容量衰减、续航不足等质量问题．以样本频率估计总体概率．与此同时工厂引入的智能检测系统存在固定检测误差，误差规则如下：若对于实际合格的锂电池，将其判定为不合格的概率为；若对于实际不合格的锂电池，将其判为不合格的概率为．(1)根据频率分布直方图估计这批锂电池综合评分的中位数；(2)该企业将智能质量检测投入使用．①任取一块锂电池进行智能质量检测，求这块锂电池被判定为不合格的概率；②从该批已经被检测过的锂电池中随机抽取4件，记被抽取的这4块锂电池中被判定为不合格的件数为X，求X的期望；(3)工厂检测流程：若判为合格，则直接出厂；若判为不合格，则一律进行人工复检，复检可识别是否合格．已知：每块实际合格电池出厂获利120元；每块实际不合格电池出厂将造成损失180元；每块电池需要人工复检其成本为20元，复检后实际合格电池正常出厂，不合格电池报废处理（为便于计算，电池成本忽略不计）．若该工厂按此流程运行，设Y为每块锂电池收益，求Y的分布列和期望．18．已知椭圆的离心率为，点在C上.(1)求C的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（A，B均不与P重合）.（ⅰ）证明：直线AB恒过定点；（ⅱ）求面积的最大值.19．已知函数（），.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，对任意，都有；(3)若方程没有实根，求整数的最小值.参考答案题号12345678910答案CDBBAAADBCDAD题号11答案AB12．13．14．/15．(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为()，由，得，即，解得或（舍去），故，所以数列的通项公式为.（2）由得，当为奇数时，；当为偶数时，.因此数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列.即，.所以.因此.16．(1)因为三棱柱是直三棱柱，所以，又因为，，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，平面平面，所以平面；(2)【详解】（1）略（2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，因为，所以，解得，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．(1)72分(2)①

②期望是1(3)Y的分布列为:期望为：元.【详解】（1），这批锂电池综合评分的中位数在区间内，设批锂电池综合评分的中位数为，则，解得分.（2）①设事件分别表示锂电池实际合格与锂电池被判为不合格，则，，，，，故任取一块锂电池进行智能质量检测，这块锂电池被判定为不合格的概率为.②，故X的期望为：，（3）若实际合格，判定合格，则，概率；若实际合格，判定不合格，则，概率；若实际不合格，判定合格，则，概率；若实际不合格，判定不合格，则，概率，则Y的分布列为:期望为：元.18．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）依题意，点在椭圆上，故，解得.又离心率，则，即，解得，故C的方程为（2）（ⅰ）证明：依题意，直线PA，PB的斜率必存在且不为0，设直线PA的方程为，则直线PB的方程为，联立，得，解得，，代入直线方程得；同理，用替换k可得，，所以，所以直线AB的方程为，令，得，故直线AB恒过定点.（ⅱ）由（ⅰ）可知，，同理可得，故，令，则，当且仅当时，等号成立，则；当（即）时，，故面积的最大值为.19．(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)证明如下：当时，，要证，即证，即.设，则，令（），则，故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减.故，所以当时，，当时，，所以在处取最小值，故恒成立，原不等式得证.(3)1【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，在区间上单调递增；当时，令，得，在区间上单调递增，在区间上单调递减.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）略（3）方程可化为，所以.记，，则