广东省珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2.的展开式的第6项的系数是（）A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.74.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.25 C.30 D.335.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A.12种 B.18种 C.24种 D.36种6.抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（）245682045607580A.100 B.106 C.110 D.1167.有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（）A.26种 B.32种 C.38种 D.44种8.已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.有三个零点 B.有两个极值点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线11.设函数，且记，则（）A.数列的首项为 B.数列的前项和为C.数列的前项和为 D.数列的前项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的所有极值点之和为______．13.某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______.14.若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.16.某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.（1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程；（2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；（3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若是函数的极值点，证明：．18.记为数列的前项和，已知.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.19.已知函数，其中.（1）若，求的单调区间；（2）若，（i）证明：在区间内有且仅有1个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.解答过程：，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.方法提示：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题2.的展开式的第6项的系数是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先写出二项式展开式的通项，通过通项即可求解.解答过程：由题得，令，所以，所以的展开式的第6项的系数是.故选：C.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7答案：D解析：思路：利用正态分布的对称性求解即可.解答过程：已知随机变量服从正态分布，且，由于正态分布关于均值对称，所以对称轴为，，所以.故选：D.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.25 C.30 D.33答案：B解析：解答过程：法1：设的公差为，由，得，即.由，得，所以.所以，所以.法2：设的公差为，由题意，得，即，解得，.所以.5.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案：D解析：解答过程：4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.6.抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（）245682045607580A.100 B.106 C.110 D.116答案：B解析：思路：线性回归直线方程过样本中心点，求出，即可得回归直线方程，当时，求出即可.解答过程：由题可知，，，代入回归直线方程，则，当时，.7.有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（）A.26种 B.32种 C.38种 D.44种答案：C解析：思路：分3种情况进行求解，结合排列组合知识得到答案.解答过程：三个盒子放球的个数如下：1号盒子：，2号盒子：，3号盒子：，4个不同的小球全部放入盒子，不同的组合放法如下；，即1个盒子放入1个球，另一个盒子放入3个球，显然3个球只能放入3号盒子，有种情况，，即2个盒子分别放入2个球，显然只能放入2号和3号盒子，有种情况，，即放入3个盒子中，其中1个盒子放入2个球，另外2个盒子分别放入1个球，放入2个球的盒子从2号和3号盒子中选，剩余2个球和2个盒子进行全排列，有种情况，综上，共有种情况.故选：C8.已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解.解答过程：由，得，所以在R上单调递增,由，得，且，所以在上单调递增因此，对任意，和都是唯一的，由题意：，，即，则，故，故，根据的是唯一的，得，即，故，令，，则，由得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故当时，取得最小值：，因此，即：.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：对于A，由题意得：，，正确；对于B，，，错误;对于C，，正确；对于D，，错误.10.已知函数，则（）A.有三个零点 B.有两个极值点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线答案：ABC解析：思路：利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.解答过程：，，令，解得：或，时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；的极小值为：，的极大值为：，有三个零点，有两个极值点，A、B正确；对于C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，C正确；对于D，，解得：，当时，，当时，，切线方程为：或，D错误.故选：ABC.11.设函数，且记，则（）A.数列的首项为 B.数列的前项和为C.数列的前项和为 D.数列的前项和为答案：BCD解析：思路：根据二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可．解答过程：由题意知，是常数项，是的系数，……，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数．对于A，令，则，故A错误；对于B，数列的前项和等于，即展开式中所有项的系数之和，令，则，故B正确；对于C，数列的前项和等于，令，则，而，则数列的前项和为2187，故C正确；对于D，数列的前项和等于，令，则，因为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的所有极值点之和为______．答案：解析：解答过程：，令，解得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为.13.某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______.答案：解析：思路：按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，首先设出基本事件，根据题意利用古典概型求出对应的概率，1班未抽到“黄金赛道”，即1班在除第③道和第④道外的其余6道，3班抽到“黄金赛道”，即需要讨论它前面抽签的2班的赛道，最后由条件概率公式求解.解答过程：记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”，3班抽到“黄金赛道”，则需要讨论它前面抽签的2班的赛道，2班未抽到“黄金赛道”和2班抽到“黄金赛道”的情况，由题意知,，所以.故答案为：.14.若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.答案：解析：思路：根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程，过点，则，构造函数，确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围.解答过程：解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，故切线方程为：，又切线过点，则，设，则得，或，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，又时，，时，，所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据已知及等比数列的通项公式求基本量，进而写出等比数列的通项公式；（2）应用分组求和及等差等比的前n项和公式求和.（1）由，得，，因为是等比数列，设的公比为，所以，得，则，则；（2）记的前项和为，则.16.某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.（1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程；（2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；（3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望.答案：（1）（2）（3）随机变量的分布列如下表所示：Y305580P数学期望为.解析：思路：（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解；（2）通过条件概率公式即可求解；（3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可.（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下：根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件，则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种，因此.（2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”，由于事件是事件的子事件，所以，而，，根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为.（3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用，因此随机变量的可能取值为，，，由于，，，因此，，，所以随机变量的分布列为：数学期望为，即随机变量的数学期望为.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若是函数的极值点，证明：．答案：（1）（2），，，因为是函数的极值点，所以且，即，因为，所以，所以，解得，，将代入得：，令，，，令，，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，所以.解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线在坐标轴上的截距即可求解；（2）根据是函数的极值点可得，然后结合定义域得出的范围并化简，构造函数，，然后利用导数得出的单调性即可证明.（1）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即，令，解得，令，解得，所以三角形的面积是：.（2）略18.记为数列的前项和，已知.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题中递推公式令运算求解即可；（2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可；（3）设，可得，利