2026人教版九年级数学下册：反比例函数的图像与性质的综合应用【学生版】

反比例函数图像与性质的综合应用

课程标准学习目标

1.掌握求待定系数法求反比例函数解析式的基本步骤，

并能够熟练的求出反比例函数解析式。

①二待定系数法求反比例函数解析式

2.掌握反比例函数中k的几何意义与代数意义，并能对

②反比例函数k的几何意义与代数意义

其熟练应用。

③反比例函数与其他函数交点问题

3.能够熟练解决函数之间的交点问题，以及由交点引出

的其他问题。

设函数解圻式

知识点()1待定系数法求反比例函数解析式

1.待定系数法求反比例函数的具体步骤:

具体步骤如下：①设解析式；②带函数图像上的点；③解方程求比例系数；④写函数

解析式。

题型考点：①利用待定系数法求反比例函数解析式。

【即学即练1】

1.已知函数y含，当X=1时，），=-3,那么这个函数的解析式是＜:)

A.y/B.y二卫C「y=1

-3xD，片3x

X

【即学即练2】

2.已知反比例函数y=K（k#O）的图象经过点4（-2,-8）.

（1）求这个函数的表达式；

（2）点、B（8,2）,C（4,-6）是否在这个函数的图象上？

【即学即练3】

3.已知反比例函数y』图象经过A（1,1）.

（1）求反比例函数解析式；

（2）若点（2,y）,（4,殍）是反比例函数图象上两点，试比较产，”大小.

知识点02反比例函数k的几何意义

l.k的几何意义:

①如图①，在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到

的三角形的面积等于。

推广：在反比例函数图像上任找一点作其中一条坐标轴的三线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例

函数图像上的点与垂足点得到的三角形的面积都是。

②如图②，在反比例函数图像上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面

积为。

题型考点：①反比例函数k的几何意义的应用。

【即学即练1】

【即学即练2】

5.如图，两个反比例函数），1=仁和”=2在第一象限内的图象分别是Ci和C2,设点尸在Ci上，PAA.X

A.4B.2C.1D.6

【即学即练3】

6.如图所示，过反比例函数），=工（后＞0）在第一象限内的图象上任意两点A,B,分别作x轴的垂线，垂

x

足分别为C,D,连接。A,OB,设△AOC与△BOD的面积为Si,S2,那么它们的大小关系是（）

A.Si>S2B.Si=S2C.S1VS2D.不能确定

【即学即练4】

y=^■和C2:q在第一象限内的图象如图所示，设点P在a上，PCX轴于点

7.两个反比例函数Ci：Y_L

C,交C2于点A,尸。_Ly轴于点。，交C2于点B,则四边形外。3的面积为（)

B.2C.3D.4

知识点03反比例函数与具他函数的交点问题

1.函数与函数的交点问题：

解决函数与函数的交点问题，需要把两个函数相等起来建立方程去求解。建立得到的方程的解释函数

交点的，将横坐标带入函数中可求得交点的。从而得到两个函数的交点。

2.反比例函数与正比例函数的交点：

反比例函数是一个中心对称图形，对称中心是原点，正比例函数经过原点，若反比例函数与正比例函

数有交点,则一定是个交点。且这两个交点一定关于对称。反比例函数与正比例函数

的系数若，则两个函数有交点。若，则两个函数无交点。

3.反比例函数与一次函数的交点问题：

反比例函数与一次函数建立方程，得到的方程是一个,若方程有两个不相等的实数

根，这这两个函数有个交点；若方程有两个相等的实数根，则两个函数只有个交点；若

方程没有实数根，则两个函数交点。

题型考点：①利用函数交点求取值范围。

【即学即练1】

8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（1,4）,8（4,I）两点，当一次函数大于反比例函数的

C.x>3D.x>4

【即学即练2】

9.在同一平面直角坐标系中，正比例函数（%工0）的图象与反比例函数y31（k°H0）的图象有

x乙

交点，则下列结论一定正确的是（）

A.人次2VoB.k\k2>0C.k]+k2<0D.k\+k2>0

【即学即练3】

10.如图，正比例函数v=hr的图象与反比例函数V2=±2的图象相交于4、B两点，其中4点的横坐标

x

为3,当yiV”时，x的取值范围是（)

B.x<-3或0<%<3

C.-3<A<0«£0<X<3D.-3VxV0或Q3

【即学即练4】

11.如图，一次函数），=依+方与反比例函数），=.（^>0）的图象交于点A（1,2）,B（〃?，-1）.则关于

.r的不等式ar+%>K的解集是（）

x

A.x<-2或OVxVlB.x<-1或0<%<2

C.-2<x<0n£x>iD.-l«0或x>2

题型01待定系数法求函数解析式

【典例1】

已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y=l.

（1）写出），关于x的函数解析式：

（2）当x=5时，求），的值.

【典例2】

已知），=户+”，户与x成正比例，”与x成反比例，且当x=・l时，y=-4；当％=3时，y=4.

（I）求），关于k的函数解析式；

（2）当x=-2时，求），的侑.

【典例3】

已知），=户+”，yi与（x-1）成正比例，＞2与（x+1）成反比例，当x=0时'，y=-3,当x=l时，y=-1.

（1）求），的表达式；

（2）求当x=-2时），的值.

【典例4】

如图，反比例函数丫4（乂＜0）的图象与直线4=-3交于点P,aAOP的面积等于3.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）利用图象，求当-3VxV0时，），的取值范围.

题型02反比例函数k的几何意义：一个象限内

【典例1】

如图，A为反比例函数y=K（攵>0）图象上一点，A8_Lx轴于点3,若S“O8=3,则k的值为（)

C.V3D.6

【典例2】

如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB_Ly轴于点8,函数y｛（女>0,

,t>0）的图象与线段AB交于点C,且AB=38C.若△A08的面积为12,则A

的值为（）

A.4B.6C.8D.12

【典例3】

在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点。是双曲线），=K（x>0）上的一个动点，PB

轴于点从当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（

A.逐渐增大B.不变

C.逐渐减小D.先增大后减小

【典例4】

如图，矩形48C。的顶点A和对称中心在反比例函数5=区（左*0,x>0）上，若矩形ABC。的面积为8,

A.8B.3aC.272D.4

题型03反比例函数k的几何意义：多个象限内

【典例1】

如图，点P是反比例函数y｛（k#0,x<0）图象上一点，过点尸作用_Ly轴于点A，点3是点A关于

K轴的对称点，连接PB，若ARAB的面积为18,贝必的值为（）

【典例2】

如图，A,8是函数y=工的图象上关于原点。对称的任意两点，AC平行于），轴，交入轴于点C,8。平行

x

于），轴，交x轴于点。，设四边形AQ4C面枳为S,则（）

x

A.5=1B.I<5<2C.5=2D.S>2

【典例3】

如图，4、B是函数y=2的图象上关于原点对称的任意两点,

〃式釉，AC〃y轴，△ABC的面积记为S,

X

则S=_______.

沙

【典例4】

如图，在平面直角坐标系中，过原点0的直线交反比例函数），=K图象于A,B两点,轴于点C,△

k1k

如图，是反比例函数尸」■和尸'9（匕＜上）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于

XX

A、B两点，若S^AOB=2,则k2-ki的值是（）

如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数），=2和），=二的图象的四个分支上，则实数〃的值为（）

XX

A.-3B.--C.—D.3

33

【典例3】

双曲线Ci：y上（k卉0）和Cz：y=」的图象如图所示，点A是G上一点，分别过点A作ABLi•轴，AC

XX

_Ly轴，垂足分别为点B,点C,48与交于点。，若△AOD的面积为2,则大的值（）

如图，函数y」(x〉O)和y=4(x>0)的图象分别是人和，2.设点P在，2上，见〃)，轴交小于点A,PB

XX

84

题型05函数的交点

【典例1】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数尸=丘+力的图象上与反比例函数y2T的图象交于4，B两点,与y

轴交于点C，已知点A(6,2),点5的横坐标为-4.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点D是y轴上一点，且S“5D=15,求点D坐标.

【典例2】

如图，一次函数户=依+人的图象与x轴、），轴分别交于点4,B,与反比例函数”=蚂（乂＞0）的图象交于

点C（1,2）,D（2,〃）.

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接。C,0D,求△COD的面积；

（3）点户是反比例函数上一点，PQ〃x轴交直线A3于。，且PQ=3,求点

P的坐标.

【典例3】

如图，一次函数y\=kx+b的图象与反比例函数y2=-（加"。）的图象交于A（-1,〃），B（3,

-2）两点.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）结合函数图象，直接写出去+b-卫＞0时x的取值范围：

x

（3）点户在x轴上，且满足△A3。的面积等于4,请直接写出点户的坐标.

【典例4】

如图，一次函数产=6+力的图象W反比例函数户=则的图象交于A（-2,1）,B（I,〃）两点.

x

（1）求反比例函数和•次函数的表达式.

（2）求△408的面积.

（3）当），时，直接写出x的取值范围.

1.反比例函数y=K经过点（・1,-4）,则反比例函数的解析式为（）

x

44

A.>'=-4xB.y=—C.y=--D.y=4x

xx

2

2.对于反比例函数y=L2,下列结论正确的是（）

X

A.图象分布在第二、四象限

B.当xVO时，y随x增大而增大

C.从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是9+2

D.若点A（xi>y\）>B（x2,y2）都在图象上，若xi<x2,y\<y2

3.平面直角坐标系中，若点A（xi,2）和8（m，4）在反比例函数y上（k>0）图象上，则下列关系式

X

正确的是（）

A.XI>X2>0B.X2>.VI>0C.Xl<A-2<0D.X2<X1<0

4.在反比例函数y」口的图象的每一支上，、，都随X的增大而减小，且整式，-履+4是一个完全平方式,

X

则该反比例函数的解析式为（）

B.y=—D.

5.如图，两个反比例函数y工和y翼在第一象限内的图象分别是C1和

XX

C2,设点夕在。上，以J_x轴于点A,交C2于点以己知的

面积为4,则攵的值为（）

A.16B.14

C.12D.10

6.如图已知反比例函数。：y=^（k<0）的图象如图所示，将该曲线绕点

X

。顺时针旋转45°得到曲线◎，点N是由曲线C2上一点，点M在直线

y=・x上，连接MN、ON,若MN=ON,/XMON的面积为向，则攵的

值为（）

O

A.-273B.-V3C.-2D.-1

7.如图，直线>，=奴+人与x轴相交于点4（2,0）,与函数,=区的图象交于点8,C,点8的横坐标是8,

X

点C的横坐标是・6,则不等式组0VOX+〃〈区的解集是（)

-6<x<0C.-6<x<8D.0<x<2

8.如图，已知在平面直角坐标系xQy中，直线y.x-l分别交x轴，y轴于点4和点B,分别交反比例函

2

数y]=Ka>0,x>0）,y2=^-（x<0）的图象于点C和点。，过点。作CE_Lx轴于点E,连结OC,

XX

OD,若△COE的面枳与△QOB的面积相等，则女的值是（）

31

A.2B.—C.1D.—

22

9.反比例函数），=且的图象经过点A（利，£•）,则反比例函数的表达式为.

10.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点。，且正方形的一组对边与x