直线的交点坐标与距离公式【讲义】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版+解析）

直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点坐标

(I)两条宜线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组J'若方程组有唯一解，则两条直线相

I4x+当)，+。2=。，

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线：4x+Bxy+C,=0(Jr+8m0),直线L4X+B2y+C2=0(加+比#0).

方程组'4x+8y+G=0的解

一组无数组无解

42'+生），+。2=。

直线人和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和/2的位置关系相交重合平行

【考点1直线的交点坐标问题】

【例1.1](2023•全国•高二专题练习)直线％+2丫-4=0与直线2%-、+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

[ft1.2](2023秋•高二单元测试)若直线y=x+2k+1与直线y=-1+2的交点在第一象限，则实数A

的取值范围是()

A.（-UB.（一|金）C-|一/

【变式1.1］（2023•全国•高二专题练习）若三条直线2%+y-4=0.x-y+1=。与ax-y+2=0共有两

个交点，则实数a的值为（）

A.1B.-2C.1或-2D.-1

mx

【变式1.2】（2023・全国•高二专题练习）若三条直线L：4x+y=3,l2"+y=0»h'-x-my=2不能围成三

角形，则实数m的取值最多的（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

【考点2直线交点系方程及应用】

【例2.1］（2023春•海南海口•高一校考期末）过两直线I1:％-3y+4=0和+y+5=0的交点和原点

的直线方程为（）

A.3x-19>,=0B.19x-3y=0

C.19x+3>-=0D.3x+19y=0

【例2.2］（2023•全国•高三专题练习）经过两条直线2x+3y+l=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直

线3x+4y-7=0的直线方程为（）

A.4x-3y+9=0B.4x+3y+9=0

C.3x—4y+9=0D.3x+4y+9=0

【变式2.1】（2023秋•高二课时练习）过直线3%-2y+3=0与x+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0

平行的直线方程为（）

A.2x+y-5=0B.2x-y+1=0

C.x+2y-7=0D.x-2y4-5=0

【变式2.2］（2022•高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的

截距相等的直线方程为（）

A.x+y+1=0B.%—y+1=0

C.第+y+1=0或3%+4y=0D.%—y+1=0或％+y+1=0

1.两点间的距离公式

*22

平面内两点Pi（XQ1）,R（》2,g）间的距离公式为出221=V（X2—XI）+（V2—y1）.

特别地，原点O到任意一点P（XJ）的距离为|OP|=，F”.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点P到直线/的距离，就是从点尸到直线/的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

（2）公式：

已知一个定点P（x°，M），一条直线为/:Ar+8y+C=0,则定点P到直线/的距离为d=。

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

（2）公式

设有两条平行直线/14丫+约，+G=0,/2：Jx+^+C2=O,则它们之间的距离为公尸厂口

7A-+B~

4.中点坐标公式

IX|+X2

Xo=-2-

公式：设平面上两点尸|（汨,凹），尸2（必/2），线段尸102的中点为"（工0,%），则〈..

一凹十乃

J'。一O

【考点3点到直线的距离公式的应用】

【例3.1]（2023・全国•高三专题练习）已知直线/的倾斜角为60。，在y轴上的截距与另一条直线％+2y+3=0

在x轴上的截距相同，则点P（百,2）到直线，的距离为（）

A.2B.-C.1D.-

24

【例3.2]（2023,全国•高三专题练习）已知直线/经过两直线。：3x）H-12=0,l2：3x+2y-6=0的交点,

且与直线x-2），-3=0垂直，则坐标原点0到直线Z的距离为（）

A.等B.V2C.yD.V3

【变式3.1]（2023•全国•高二专题练习）在平面直角坐标系％Oy中，已知直线I：mx+ny=0（mn>0）,点

4（1,2）,则点A到直线/的距离的取值范围为（）

A.[0,2]B.（1,V5]C.（1,2]D.[0,V5]

【变式3.2]（2023春・辽宁本溪•高二校考阶段练习）已知a>0,直线匕:％+ay=2a+4与丁轴的交点为A,

Z2:2X+ay=2a+8与x轴的交点为从匕与的交点为C当四边形OACB的面积取最小值时，点3到直线21

的距离是()

A.YB."C.y[2D.2a

【考点4两条平行直线间的距离公式的应用】

【例4.1](2023•全国•高二专题练习)已知直线一3x+4y-3=0与直线6%+抽、-14=0平行，则它们之

间的距离是()

A.1B.2C.-D.4

2

[ft4.2](2023秋・高二课时练工)已知直线一2x+4y+2=0与％-2y-c=0的距离为2遮：则。的值为

()

A.9B.11或一9C.-9D.9或-11

【变式4.1](2023•全国•高三专题练习)已知两条直线kQ+2)%+(l-a)y+2/l-5=0,l2:(k+l)x+

(l—2〃)y+k—5=0,山i〃，2,当两平行线距离最大时，A+k=()

A.3B.4C.5D.6

【变式4.2](2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为

%+2y+l=0和x+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3%-4y+q=0,3x-4y+c2=0,则|人一0|二()

A.2V3B.2V5C.2D.4

【考点5与距离有关的最值问题】

【例5.1](2023.全国•高二专题练习)点M(2,l)到直线I:(22+l)x+(1-A)y+3=0,(2GR)的距离的最

大伟为()

A.B.V5C.3D.3四

【例5.2](2023秋・贵州黔西•高二统考期末)若P,。分别为直线3%+4y—12=0与直线6x+8y+l=0

上任意一点，则|PQ|的最小值为•)

A.-B.-C.-D.-

25102

【变式5.1](2023•全国•高二专题练习)已知实数Q>0,bV0,则粤W的取值范围是()

va2+d2

A.[—2,—1)B.(—2,—1)

C.(一2・-1]D.[-2,—1]

【变式5.2](2023•全国•高二专题练习)已知0WxWl,0WyW1,则"不子+"不G=W+

V(l-%)2+y2+J(1-%产+(1-y)2的最小值为()

A.2B.2V2C.2+V2D.3

1.点关于点的对称

求点?关于点力3,b）的对称点P的问题，主要依据力是线段尸尸’的中点来求解.

设尸Go,j，o）,对称中心为力（氏6）,则夕关于力的对称点为户（2。-X。,26一%）.

2.直线关于点的对称

求直线/关于点4（。/）对称的直线/'的步骤：

⑴由平行更线系设出直线r的方程；

（2）在/上任取一点P（x,y）,求产关于力的对称点尸（2。一苍2b-y）;

（3）将P的坐标代入直线［的方程，求出参数，得到厂的方程.

3.两点关于某直线对称

设点力（入,必）关于直线/的对称点为8aM.

X+Xo=

⑴直线/的斜率不存在时，设直线/:》=/,则2

y=y(>

（2）直线/的斜率为0时，设直线切=/，则＜夕+%_.

-2-=/

⑶直线/的斜率存在且不为0时，设点/（几,凡）关于直线+为+C=0的对称点为8（x,），）.

k.AB-k,=-\

则小三产+4・审+c=。,由此可求出

（4）几种特殊位置的对称:

点对称轴对称点坐标

X轴（4,一方）

y轴(“份

尸

P(a,b)

尸XGb,-a)

(2m-a,b)

尸〃（〃邦）(a^ln-b)

4.直线关于直线的对称

直线关于直线对称有两种类型：

⑴若已知直线。与对称轴/相交于点P,则交点P必在6关于/对称的直线右上，再求出人上除点P外

任意一个已知点尸I关于/对称的点P2,那么经过交点尸及点尸2的直线就是J

（2）若已知直线。与对称轴/平行，贝“关于/对称的直线k到直线/的距离和。到直线/的距离相等，由

平行直线系和对称点即可求出人关于/对称的直线匕

【考点6点、线间的对称问题】

【例6.1]（2022•高二课时练习）若直线ky=忆。一4）与直线i2关于点（2,1）对称，则直线/2过定点

A.(0,4)B.(0,2)

C.(-2,4)D.(4,-2)

【例6.2］（2023•全国♦高二专题练习）点P（2,0）关于直线，:“+），+1=0的对称点Q的坐标为1）

A.（-1,-3）B.（-1,-4）C.（4,1）D.（2,3）

【变式6.1］（2023•全国•高二专题练习）直线I:无+2y-l=0关于点（1,一1）对称的直线［的方程为（）

A.2x-y-5=0B.x+2y-3=0C.x+2y4-3=0D.2x-y-l=0

【变式6.2］（2023•全国•高二专题练习）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白bl登山望烽火，

黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下

某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的

位置为3（-1,0）,若将军从山脚下的点0（0,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最

短总路程是（）

A.2B.3C.4D.5

【考点7直线关于直线的对称问题】

【例7.1］（2023・全国•高二专题练习）己如宜.线：l1-.y=ax+3与％关于直线y=x对称,，2与，3：x+2y—1=0

平行，则Q=（）

A.——2B.—2C.-2D.2

【例7.2］（2022秋・四川达州•高二校考阶段练习）一条光线沿直线2x-y+l=0入射到直线x+y-5=0

后反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A.4x+y-9=0B.x—2y+6=0

C.x—y+3=0D.x+4y—9=0

【变式7.1］（2023•全国•高三专题练习）若两条平行直线，i：%-2y+m=0（m>0）与，2：2x+-6=0

之间的距离是2石，则直线。关于直线％对称的直线方程为（）

A.x—2y-13=0B.x—2y+2=0

C.x-2y+4=0D.x-2y-6=0

【变式7.2］（2023•全国•高三专题练习）如图，在直角坐标系中，三角形A8C的顶点坐标分别为4（0,b）、

8（-1,0）、C（l,0）,。为原点，从。点出发的光线先经AC上的点心反射到边上，再由4B上的点P2反射

回到8C边上的点P3停止，则光线OPi的斜率的范围为（）

C.[V3,3V3]D.[75,2两

1.（2022.高二课时练习）过两直线匕:x-3y+4=0和％：2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为

A.19x-9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3y=0D.3x4-19y=0

2.（2023・全国•高三专题练习）若直线=依一四与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线

/的倾斜角的取值范围是（）

A•图BY

D•职）

3.（2023秋•高二课时练习）以4（5,5）,8（1,4）,。（4,1）为顶点的448。的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形

4.（2023•全国•高二专题练习）若三条直线，I：ax+y+1=0,%：%+ay+1=0/3：%+V+a=0能构成三

角形，则。应满足的条件是（）

A.Q=1或Q=—2B.Q工±1

C.aH1且QH—2D.Q工±1•且QH-2

5.（2023•全国•高二课堂例题）已知直线，:kx+y+2-k=0过定点点P（%,y）在直线2X-y+1=。上,

则|MP|的最小值是（）

A.5B.V5C.辿D.它

6.（2023秋.高二课时练习）若倾斜角为45。的直线m被直线匕:不+y-1=0与0x+y-3=0所截得的线

段为40,贝IJ/W的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

7.(2023秋•高二单元测试)已知直线n:5x+y+2=0,点4(1,0)关于直线*+y+3=0的对称点为B,直

线加经过点B,且m〃九，则直线m的方程为()

A.5x+y+19=0B.x-5y-17=0

C.5x+y-5=0D.5x+y4-10=0

8.(2023・全国•高二专题练习)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马

傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马''问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，

先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为

5(-2,0),若将军从山脚下的点41,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总

路程为()

A.V27B.5C.V15D.V29

9.(2023春・湖南长沙•高二校考阶段练习)已知4(-3,0),3(3,0),C(0,3),一束光线从点尸(-1,0)出发经

AC反射后，再经8c上点。反射，落到点E(l,0)上.则点。的坐标为()

A.B.信］C.(1,2)D.(2,1)

10.(2023•全国•高三专题练习)已知％+y=0,则J*+y2-2%-2y+2+J(x-2尸+y?的最小值为()

A.V5B.2V2C.V10D.2遍

II.<2023秋•高二单元测试)已知直线匕的方程为％+2y-3=0,若，?在工轴上的截距为：，且，i1

⑴求直线L和％的交点坐标；

(2)己知直线“经过。与。的交点，且在y轴上截距是在％轴上的截距的2倍，求。的方程.

12.(2023秋・湖北黄冈•高二统考期末)已知直线A：(2a-2)%-y-2a=04：轨一ay+a-1=0,且。II以

(1)求，1与k之间的距离；

⑵一束光线从P(2,3)出发经匕反射后平行于％轴射出，求入射光线所在的直线方程.

13.(2023•全国•高三专题练习)已知三条直线；G：2x-y+a=0,/2:4%-2y-1=。，公％+V-1=。，

且原点到直线。的距离是手.

⑴求。的值；

(2)若Q>0,能否找到一点，，使〃同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点，到I2的距离是点〃到匕的

距离的2倍；③点P到，1的距离与点尸到%的距离之比是鱼：花，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

14.(2023•全国•高二专题练习)已知点4(-3,5),8(2,15)直线1:3%一4丫+4=0.

(1)在Lt求一点P,使|PA|+|PB|的值最小；

(2)在2上求一点Q,使|Q4一QB|的值最大.

：22

15.(2023•上海•高二专题练习)已知两条直线人:ax4-y—a-2=0J22x—ay+2a—2=0(a>1),

(1)若直线L与两坐标轴分别交于力、8两点，又匕过定点P,当Q为何值时，|AP『+|8P|2有最小值，并求此

时，i的方程；

(2)若a22,设，1、。与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积S的最大值；

(3)设a=1,直线。与x轴交于点4匕、，2的交点为P，如图现因三角形。PA中的阴影部分受到损坏，经过点

Q(l,l)的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线MN的斜率々W0,求保留部分三角形面积的取值范

围.

直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点坐标

⑴两条宜线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组I=若方程组有唯一解，则两条直线相

(42X+4丁+02=0,

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

2

设两直线/1：4x++G=0(Ji+8;R0),直线，2：HX+*2了+。2=0(出+度#0).

方程组'4x+8y+G=0的解

一组无数组无解

力2》+义卜+G=0

直线人和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和/2的位置关系相交重合平行

【考点1直线的交点坐标问题】

【例1.1](2023•全国•高二专题练习)直线％+2丫-4=0与直线2%-、+2=0的交点坐标是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

【解题思路】解方程组即可得解.

(4X-yI乙一U

【解答过程】解方程组仁:多;7:得忧;‘

即直线％+2y-4=0与直线2%-y+2=0的交点坐标是（0,2）.

故选：C.

【例1.2］（2023秋•高二单元测试）若直线y=%+2攵+1与直线y=-：x+2的交点在第一象限，则实数k

的取值范围是（）

A-(-肃B.(一涌C,[-p-1]D.卜得

【解题思路】联上两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.

y=x4-2/c+1一2。-2外

【解答过程】联立方程组解得《‘-3

y=一1+22k+5

y二=

因为直线y=无+2k+1与直线y=+2的交点在第一象限,

所以,解得k<-

1215,所以一3＜攵＜/即实数k的取值范围是（一

—>0k>--

故选：A.

【变式1.1］（2023•全国•高二专题练习）若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与QX-y+2=0共有两

个交点，则实数a的值为（）

A.IB.-2C.I或-2D.-1

【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.

【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，

•••直线％-y+1=0和直线2%+y-4=0不平行，

，直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2%+y-4=0和直线ax-y+2=0平行，

•・•直线》-丫+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a,

.*.G=1或a=-2.

故选：C.

mx

【变式1.2］（2023•全国•高二专题练习）若三条直线+y=3,l2-+y=0，b：无-my=2不能围成三

角形,则实数m的取值最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.

【解答过程】•.•三条直线不能构成三角形•••至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.

若2I〃，2，则m=4；若，i〃，3，则一4m=1,m=—；；

若白〃％，则一m?=1m的值不存在；

若三条直线相交于同一点，

_3

直缎网2联立：信"瑟••・[瓦，・・♦直线，网2交点为尸岛，含)；

m-4

_3mI2

:二强,直线2"叫交点'为Q(篝,就〉

yl+4m

!r3_3m+2

•••三条直线相交于同一点」.P、Q法点重合，愉二牙・•.m=l或一申

,m-4l+4m

故实数m的取值最多有4个.

故选:C

【考点2直线交点系方程及应用】

【例2.1](2023春•海南海口•高一校考期末)过两直线。:工一3?+4=0和％：2x4-y+5=0的交点和原点

的直线方程为()

A.3x-l9y=0B.19x-3y=0

C.19x+3y=0D.3.r+19y=0

【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为％-3y+4+A(2x+y+5)=0,代入原点坐标,得4+5入=0,

求解即可.

【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为％-3y+4+A(2x+y+5)=0,

代入原点坐标，得4+5/1=0,解得4=一支

故所求直线方程为％-3y+4-(2x+y+5)=0,即3%+19y=0.

故选:D.

[ft2.2](2023•全国•高三专题练习)经过两条直线2x+3y+1=0和x—3y+4=()的交点，并且垂直于直

线3x+4y-7=()的直线方程为()

A.4x—3y+9=0B.4x+3y+9=0

C.3x—4y+9=0D.3x+4y+9=0

【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.

2"…解得X=

【解答过程】-3

x—3y-A4=0*

因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直

所以所求直线方程：4x-3y+9=0

故选A.

［变式2.1］（2023秋.高二课时练习）过直线3x-2y+3=0与%+y-4=0的交点，与直线2x+y-1=0

平行的直线方程为（）

A.2x4-y—5=0B.2x-y+1=0

C.x+2y-7=0D.%-2y4-5=0

【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，达而即得.

【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：（3x-2y+3）+/l（x+y-4）=0,

即0+3）x+（A-2）y+3-4A=0,

又因为此直线与直线2x+y-l=0平行，

匚厂［］

所以♦：—2+3A-23-4A

解得：2=7,

所以所求直线的方程为：10x+5y-25=0,即2%+y-5=0.

故选:A.

【变式2.2］（2022.高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和拉+5y-7=。的交点，且在两坐标轴上的

截距相等的直线方程为（）

A.x+y+1=0B.x-y+1=0

C.x+y+1=0或3%+4y=0D.%-y+1=0或x+y+1=0

【解题思路】设直线方程为3x+2y+6+/l(2x+5y—7)=(),求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解

方程即可求出结果.

【解答过程】解：设直线方程为3x+2y+6+/l(2x+5y-7)=0,

即(3+2A)x+(2+5A)y+6-7/=0

俎7』-6

令x=0,

得X-土£

令y=0,母X3+2A-

由葛7入—6

3+ZA

m=;或a=提

所以直线方程为％+y+1=。或3》4-4y=0.

故选：C.

1.两点间的距离公式

平面内两点R（M,凹），（工2/2）间的距离公式为|R=，（》2—占点+（72—必）2.

特别地，原点。到任意一点P（x»）的距离为|。尸|=，炉+".

2.点到直线的距离公式

（1）定义：

点。到直线/的距离，就是从点。到直线/的垂线段。。的长度，其中。是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

（2）公式:

|43+4为+。|

已知一个定点PQo,必），一条直线为/:Ar+By+C=（）,则定点P到直线I的距离为d=

3.两条平行直线间的距离公式

（1）定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

（2）公式

IG—C2I

设有两条平行直线h4+J+G-O，/2：4+句，+。2—。，则它们之间的距离为

VA2+B2•

4.中点坐标公式

M+x2

2

公式：设平面上两点P,（X1,凹），P2（小,必），线段户18的中点为加（工0,泗），则

凹十必.

%=2

考点剖析

【考点3点到直线的距离公式的应用】

【例3.1]（2023・全国•高三专题练习）已知直线，的倾斜角为60。，在y轴上的截距与另一条直线x+2y+3=0

在x轴上的截距相同，则点P（6,2）到直线，的距离为（）

A.2BlC.1D.5

4

【解题思路】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线，在y轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用

点斜式方程，结合点到直线的距离公式，川得答案.

【解答过程】由直线方程％+2y+3=0,令y=0,解得.％=-3,则直线，过(0,-3),

由直线/的倾斜角为60。，则该直线的斜率A=Un60°=瓜

故直线方程为：y+3=V5(x-0),化简可得：V3x-y-3=0,

则点P(百,2)到直线Z的距离d==1.

故选：C.

【例3.2](2U23•全国•高三专题练习)已知直线/经过两直线〃：3.V-y+12=0,/2：3x+2)，-6=。的交点，

且与直线x・2)，・3=0垂直，则坐标原点。到直线I的距离为()

A.当B.V2C.YD.V3

【解题思路】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线/的斜率，从而求得直线/的方程，进而

利用点线距离公式即可得解.

【解答过程】联立方程组可得二o，解得｛短蓝，故交点A的坐标为(一2,6),

因为直线x・2)，・3=0的斜率为右又直线/与直线2)，-3=0垂直，所以直线/的斜率为-2,

故直线/的方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0；

所以原点。到直线1的距离为d==胃

V22+l2S

故选:A.

【变式3.1](2023.全国•高二专题练习)在平面直角坐标系xOy+»,已知直线!：7几丫+=0(m?i>0),点

4(1,2),则点A到直线I的距离的取值范围为()

A.[0,2]B.(1,V5]C.(1,2]D.[0,V5]

【解题思路】由题意可确定直线I：7nx+ny=0(7nn>0),则直线过原点，且斜率为一三<0,由此可确定

点4(1,2)到直线/的距离大于1,再确定当/与。4垂直时，点A到直线/的距离最大，即可求得答案.

【解答过程】由题意直线，：mx+ny=0(mn>0),则直线过原点，且斜率为一彳V0,

当直线/无限靠近于)，轴时，点力(1,2)到直线/的距离无限接近于1,

故点4(1,2)到直线/的距离大于1,

当/与04垂直时，点A到直线/的距离最大，最大值为

故点A到直线!的距离的取值范围为(1,遮],

故选：B.

【变式3.2](2023春・辽宁本溪•高二校考阶段练习)已知la>0,直线匕:工+ay=2a+4与)，轴的交点为A,

Z2：2X+ay=2Q+8与x轴的交点为B,匕与。的交点为C.当四边形0AC8的面积取最小值时，点8到直线，1

的距离是()

A.—B.—C.V2D.2V2

33

【解题思路】求出直线所过定点为(4,2)得C点坐标，再求出八，8点坐标，写出四边形面积，利用均值不等

式求最小值，确定时a=2a,再由点到直线距离求解即可.

【解答过程】如图，

直线占％-4=-a(y-2),l2：2a-4)=-a(y-2)都过点(4,2),

即点C的坐标是(4,2).

在<+。丫=2。+4中，令％=0,得y=2+/,所以4(0,2+/),

同理可■得B(4+a,0),

所以S四边形0"8=SAOAC+S^QCB=：(2+()・4+](4+a)・2=8+(Q+，)N8+21a./=8+4V2,

当且仅当a="即a=2混时等号成立.

所以当a=2或时，四边形OACB的面积取最小值.

此时，点8的坐标为(4+2企,0)，直线。的方程是％+2ay-4-4/=0,

点B到直线匕的距离是此誓上幽=苧.

故选:B.

【考点4两条平行直线间的距离公式的应用】

【例4.1](2023•全国•高二专题练习)已知直线—3x+4y—3=0与直线6%+my—14=0平行，则它们之

间的距离是()

A.IB.2C.D.4

【解题思路】根据两直线平行求由参数m的值，再将直线方程化为％、y对应系数一致，最后利用距离公式

计算可得.

【解答过程】因为直线一3%+4y-3=0与直线6%+my-14=0平行，

所以—3m=4x6,解得m=—8,

所以直线6x+my—14=U,即6x-8y—14=U,即一3x+4y+7=。，

所以两平行线之间的距离d=尸丁2=2.

,(-3)2+42

故选：B.

【例4.2](2023秋•高二课时练习)己知直线一2%+4y+2=0与x-2y-c=0的距离为2代，则c的值为

()

A.9B.11或一9C.-9D.9或一11

【解题思路】化简直线方程，再利用平行间距离公式求解作答.

【解答过程】直线一2%+4y+2=0,即无-2y-l=0,因为它与直线％-2y-c=0的距离为2遥，

所以整=2遥，解得c=ll或c=-9,

所以c=11或。=—9.

故选:B.

【变式4.1](2023•全国•高三专题练习)已知两条直线卬(；1+2)++(l-；l)y+22-5=0,Z2:(k+l)x+

(l—2k)y+k—5=0,且6〃①当两平行线距离最大时，X+k=()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】求出2恒过的定点4氏故，1/2距离的最大值为团8|=圾,所以一咎=-篝=-3=2,

1一41-2KKAR

求解即得出答案.

【解答过程】Z1：A(x-y+2)+2z+y-5-0,由，

解得:3,故人过定点力(1，3).

Z2:Jc(x-2y+1)+x+y-5=0?由｛:+y-S=Q,

解得｛；：；，故12过定点以3,2),

故4,。距离的最大值为14臼=遥.

此时,一售=一点=2,则"4,k+1

l-2k=2,

解得k=1,故2+k=5.

故选：C.

【变式4.2](2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为

x+2y+l=0和％+2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3%-4y+q=0,3x-4y+c2=0,则|c「C2l=()

A.2V3B.2V5C.2D.4

【解题思路】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.

【解答过程】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，

直线%+2y+l=0和x+2y+3=0之间的距离为：手，

3x-4y+C]=0和3x—4y+C2=0之J瓦的距离为：

于是有：『=竺，

解得心一。2|=24,

故选:B.

【考点5与距离有关的最值问题】

【例5.1](2023・全国•高二专题练习)点M(2,l)到直线3(22+l)x+(1-2)y+3=0,5€R)的距离的最

大值为()

A.1V5B.V5C.3D.3V2

【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.

【解答过程】由直线，:(2/l+l)x+(l-/l)y+3=0,(/lER),整理可得(2%—y)4+x+y+3=0,

令]2;二;品，解得｛;二屋

点M(2,l)到直线，距离的最大值为点M(2,l)到定点(-1,-2)的距离，则J(2+1)2+(1+2产=3vL

故选：D.

【例5.2](2023秋・贵州黔西•高二统考期末)若P,。分别为直线3无+4y-12=0与直线6%+8y+1=0

上任意一点，则|PQ|的最小值为：)

【解题思路】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.

【解答过程】解：因为:=9工一¥,所以两直线平行，

681

将直线31+4），-12=0化为6A+8V-24=0,

由题意可知IPQI的最小值为这两条平行直线间的距离，

即粽=蒋竹，所以IPQI的最小值为

故选：D.

【变式5』】（2。23・全国•高二专题练习）已知实数则繇的取值范围是（）

A.[-2,-1)B.(-2,-1)

C.（-2.-1]D.[—2,—1]

【解题思路】根据题意设直线人以+”=0,点力（1,-遥），利用点到直线的距离公式得点A到直线总勺距

离为d=写得,