2025-2026学年湖南省长沙市某中学高一（下）期末数学试卷（含简略答案）

2025-2026学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设集合4={x|x21},5={x|-l<x<2}»贝ijACiB=()

A.{x|x>-l}B.{小21}C.{x|-l<x<l}D.31«2}

2.若复数z满足z（1-/）=1+3则团=()

A.IB.y/2C.iD.-/

3.已知直线m和平面a,仇若〃ya,则“a_Lp”是Ip”的1)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

点七是。。的中点，记而_W，而_了，「比.N，则屁)

1T1B-H+：7；+：/C.1+：/D.-：7r+石+：w

A2+2

5.在。中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面积为5则

△幺的周长为o

A.8+y/2lB.9+同C.10+后D.14

6.已知单位向量了,了满足|7f+T|=；,则向量了在向量"上的投影向量为（

)

17T

A.B.D-16

7.已知等腰梯形/14CQ,AB=2,CD=6,圆。为梯形川5CO的内切圆，并与

AB，。分别切丁点石，F,如图所示，以石厂所在的直线为轴，圆O旋转

周形成的曲面I韦I成的几何体体积为匕则/的值为（）

9

A.127rB•/C.1\/37r

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8.如图，四边形力8CZ),4B=BD=D4=y/H，BC=CD=\,将△/18D沿6D折起，当二

面角44Q-C的值属于区间［J；］时，直线力8和CO所成角为a,则cosa的最小值

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知函数/")Jv3fO5.r,则()

AJG)的最小正周期为27rB.若/(0)=2,则瓜

CJG)在区间心［上单调递增D./(x)的图象关于点(［，())中心对称

0M

10.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1,2,3,4的4张卡牌，现从中依次不放回

摸出两张卡牌，记事件力="第一次摸出的K牌的编号为奇数”，事件8="摸出的两张卡牌的编号之和为

5"，事件C=”摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是()

A.P(C)：B.事件4与事件8相互独立

C.P(A+B)ID.事件B与事件C为互斥事件

11.如图，在长方体由CiDi中，4B=2,AA\=AD=\,动点M在体对

角线SD(含端点)上，则下列结论正确的是()

A.当点M为丛。的中点时，Z8MG为钝角

11—

B.当点M为夕。的中点时，四棱锥〃$4|CiC的外接球的表面积为’.

C.存在点使得平面

D.直线6M与平面86CC所成隹的最大正切值为八

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:7,8,13,15,17,18,18,a,25,27,若该组数据的

70%分位数是19,则a=—.

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13.已知/(x)的定义域为R,周期为4,当码0,4)时，/(己=2、1,则/(2027)=

14.如图，是边长为人片的正三角形/8C的一条中位线，将△4OE沿。后翻

折至AJQE,当三棱锥CM山K的体枳最大时，四棱锥小-4CQE外接球的表面

积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(/)23〃rcosi+/.

(I)求/(》的值；

()

(U)求函数/(工)的最小正周期；

(HI)求函数/(x)在区间(。，孑上的最大值及相应的x的值.

16.(本小题15分)

在△力^。中，角4B,C所对的边分别为a力,c,若acos8+/?cos%=2ccos4

(1)求力的大小；

(2)若a—7,"x-13,求△46C的面积.

17.(本小题15分)

某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介

于50至100之间,将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,1()0]的分组作出频率

分布直方图如图所示.

(I)求频率分布直方图中〃的值，并估计本次竞赛成绩的中位数(保留1位小数)；

(2)若按照分层随机抽样从成绩在①0,90),[90,10U」的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2

人，求至少有1人的成绩在[90,100]内的概率.

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18.(本小题17分)

如图，在四棱锥中，PA=PD=4,PC=\叵，底面力8C。是直角梯形，ABLAD,ABWC,

AD=DC=2AB=4.

(1)求证：平面P4O1平面48CD；

(2)求证：PCLBD-,

(3)求平面尸力。与平面尸4c所成锐二面角的正切值.

19.(本小题17分)

在梯形48C。中，力创。。，乙BAD='；,AB=2AD=2CD=4,0为.44的中点，线段4C与。尸交于。点(如

图I).将△4CO沿4C折起到△力C»的位置，使得平面。’4C1平面胡C(如图2).

(1)求证：8cli平面POZ)'；

(2)求二面角C-AB-D'的余弦值；

(3)线段P。'上是否存在点。，使得C。与平面8C。'所成角的余弦值为巫？若存在，求出盥的

、jL/

值；若不存在，请说明理由.

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1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

II.【答案】BC

12.【答案】20

13.【答案】7.

14.【答案】137r

15.【答案】瓜it最大值为2,尸石

A一

7T

16.【答案】A=彳；

17.【答案】4=0.020,中位数为74.3

3

”5

18.【答案】证明见解答过程

证明见解答过程

1

19.【答案】因为在梯形/也C。中，力例8,AB-2CD-4,尸为/心的中点,

所以CDIMP,CD=AP,

所以四边形AP