2026初中人教版九年级数学上册第二十六章《二次函数》教案

第二十六章二次函数

第二十六章二次函数是初中数学函数体系的收尾核心内容，承接八年级一次函数、反比例函

数的知识，是初中阶段最高次的函数模型，也是衔接高中函数学习的重要桥梁。木章从二次函数

的概念入手，循序渐进探究二次函数三类解析式的图象、性质及图象平移规律，结合一元二次方

程探究函数与方程的内在联系，最终落地于生活、生产中的实际最值问题。

全章知识逻辑层层递进：概念奠基f基础图象性质探究f图象平移与顶点式性质f一般式配

方与综合性质一函数与方程数形结合一实际应用建模，同时搭配数学活动深化实践探究，最后系

统梳理全章知识体系。通过本章学习，帮助学生建立数形结合、建模思想、转化思想，提升学生

用函数知识解决实际问题的能力，培养学生的数学抽象、逻辑推理与运算核心素养。

26.1二次函数的概念

【教材分析】

本节是二次函数整章的起始课，是学生认识二次函数的基础。教材通过生活中面积、利润、

运动轨迹等真实情境，抽象出二次函数关系式，归纳二次函数的定义、一般形式及自变量取值范

围，区分二次函数与一次函数、反比例函数的差异。本节知识为后续图象性质、方程结合、实际

应用等内容奠定概念基础，是构建二次函数知识体系的核心铺垫内容。

【学情分析】

九年级学生已经熟练掌握一次函数、反比例函数的概念、解析式及辨识方法，具备从实际情

境中抽象函数关系式的基础能力，同时掌握整式、一兀二次方程的相关知识。但学生对于“二次

项的必要性”“二次函数定义中aWO的核心条件”理解容易模糊，容易混淆一次函数与二次函数

的解析式形式，且从复杂生活情境中提炼二次等量关系的能力有待提升。

【教学目标】

1.知识与技能：理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式产ax?+bx+c(a^O),能准确

识别二次函数的二次项、一次项、常数项及对应系数；能根据实际问题列出二次函数解析式，确

定自变量的取值范围。

2.数学思考：经历从实际问题抽象出二次函数关系式的过程，体会函数建模思想，通过对比

一次函数、二次函数的解析式，发展类比推理与数学抽象能力。

3.问题解决：能准确判断一个函数是否为二次函数，能结合生活情境建立二次函数模型，解

决简单的列式问题。

4.情感态度：感受二次函数在生活中的广泛应用，体会数学来源于生活、服务于生活，激发

学生探究函数知识的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。

【教学重点】

L掌握二次函数的概念及一般形式，准确辨识二次函数。

2.确定二次函数解析式的各项系数。

【教学难点】

理解二次言数定义中aWO的核心意义，能从复杂实际情境中抽象出二次函数关系式并确定自

变量取值范围。

【教学准备】

多媒体课件(生活情境视频、习题素材)、长方形纸片、习题单、黑板

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

教师活动：播放两段生活视频，一是正方形花坛边长变化，面积随之变化；二是小球竖直上

抛运动，运动时间与高度的变化关系。提问：1.我们学过的一次函数、反比例函数能描述这两种

变化关系吗？2.这两种变化关系的解析式有什么共同特征？

学生活动：观看视频，独立思考问题，小组交流讨论，发现两种变化关系中自变量的最高次

数为2,区别于一次函数、反比例函数。

1

预设答案：1.不能；2.解析式中含有自变量的平方项。

环节一：情境探究，列式建模

1.教师活动：出示情境1：正方形花坛的边长为xm,面积为ynF,写出y与x的函数关系

式。巡视学生列式情况，指导学困生。

学生活动：独立列式，推导关系式。预设答案：y=x2(x>0)

2.教师活动：出示情境2：某商店销售文具，每件进价5元，售价x元，每天销量为(100-5x)

件，写出每天利润y与售价x的函数关系式。

学生活动：结合利润公式(利润二单件利润X销量)列式计算。预设答案：y=(x-5)(100-5x)-5x

2+125x

3.教师活动：出示情境3：一个直角三角形的一条直角边长为4,另一条直角边长为x,面积

为S,写出S与x的函数关系式。

学生活动：独立列式作答。预设答案：S=2x2(x>0)

4.教师活动：提问：观察以上三个关系式，它们有什么共同特点？

学生活动：小组讨论，归纳共性。预设答案：都是整式函数，自变量最高次数为2,含有自

变量平方项。

［设计意图］通过三个真实生活情境，让学生自主列式，直观感知二次函数的形式特征，为定

义归纳积累素材，渗透建模思想。

环节二：归纳定义，明确形式

1.教师活动：结合学生探究结果，给出二次函数定义：一般地，形如产ax2+bx+c(a、b、c

是常数，a^O)的函数，叫做二次函数。强调核心条件：整式函数、自变量最高次数为2、二次

项系数a不为Oo

学生活动：记录定义，标注核心关键词，对比一次函数y=kx+b(kWO)找出区别。

2.教师活动：讲解各项名称：ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数;

c是常数项。

学生活动：结合之前列出的三个解析式，逐一标注各项及系数。

3.教师活动：提问：为什么定义中必须规定aWO?b、c可以为。吗？

学生活动：思考推理，小组交流。预设答案：a=0时，解析式变为尸bx+c,是一次函数，不

再是二次函数；b、c可以为0,如y=2x?、y=3x?+2都是二次函数。

4.教师活动：总结二次函数三种特殊形式：y=ax2(b=0、c=0)、y=ax2+c(b=OXy=ax2+bx

(c=0)o

学生活动：识记特殊形式，明确二次函数的完整形式与变式形式。

［设计意图］精准归纳定义，突破核心难点aWO,厘清二次函数的结构特征，完善学生的概念

认知。

环节三：概念辨析，巩固辨识

1.教师活动：出示一组函数：①y=3x?②y=2x+l③广1/x?©y=x2+2x-l⑤yEx+ly-x?,让

学生判断哪些是二次函数。

学生活动：独立判断，化简复杂解析式，举手作答。预设答案：①④是二次函数，其余不是。

2.教师活动：提问：⑤化简后是什么函数？为什么不是二次函数？

学生活动：化简计算：y=2xH,最高次数为1,是一次函数。预设答案：化简后无二次项，

因此不是二次函数。

3.教师活动：已知函数y二(m-2)x?+3xT是二次函数，求m的取值范围。

学生活动：独立解题，展示答案。预设答案：m-2W0,即

［设计意图］通过辨析易错题型，深化学生对二次函数定义的理解，规避常见解题误区。

环节四：情境建模，确定范围

1.教师活动：出示问题：用长为20nl的篱笆围成一个矩形菜园，设矩形的长为xm,面积为y

n?,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

学生活动：自主分析边长关系，列式并确定取值范围，预设答案：y=x(10-x)二-严+iOx,自变

量取值范围0<xG0。

2

2.教师活动：引导学生总结：实际问题中，自变量的取值范围需结合生活实际，边长、销量、

时间等均为正数。

学生活动：整理解题思路，识记取值范围的判定方法。

［设计意图］结合实际情境，训练学生建模能力，突破自变量取值范围的易错点，落实重难点。

环节五：课堂小结，梳理体系

1.教师活动：引导学生自主梳理：本节课学习了什么？二次函数的核心是什么？解题注意事

项有哪些？

学生活动：自主总结，互补完善。预设答案：学习了二次函数的概念、一般形式；核心是a

WO;注意化简解析式、结合实际确定自变量范I韦I。

［设计意图］培养学生归纳总结能力，构建完整的知识框架。

【板书设计】

26.1二次函数的概念

L定义：y=ax2+bx+c（a、b^c为常数，aNO）

2.各项：二次项ax?（aWO）、一次项bx、常数项c

3.特殊形式：y=ax2>y=ax2+c>y=ax2+bx

4.关键点：整式、最高次2次、aWO、自变量实际取值范围

【课堂练习】

一、填空题

1.二次函数y=2x2-5x+l的二次项系数是—,常数项是—。（答案：2；1）

2.若函数尸（k+Dx»2x是二次函数，则k的取值范围是—o（答案：k#-l）

二、判断题

l.y=x2+l是二次函数。（J）

2.y=2x?+3/x是二次函数。（X,不是整式函数）

3.若a=O,则y=ax?+bx+c是一次函数。（V）

三、选择题

下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=4xB.y=3x2-lC.y=l/xD.y=2x+3（答案：B）

四、解答题

用长为30cm的铁丝围成矩形，设矩形一边长为xcm,面积为Scnf,求S与x的函数关系式

及自变量取值范围。

答案:S=-x2+15x,0<x<15

【课后作业】

1.变式题：已知函数尸（而-4”2+（01-2以+3,当m为何值时，该函数为二次函数?（答案:m

H±2）

2.生活情境题：某抛物线型喷泉，水流高度h（m）与运动时间t（s）的关系式为h=-0.5t2+23

判断该函数类型，并写出各项系数。（答案：二次函数，二次项系数-0.5,一次项系数2,常数项

0）

3.拓展题：某网店销售纪念品，每件成本8元，售价x元，日销量为（200T0x）件，写出日利

润y与售价x的函数关系式。（答案：y=-10x2+280x-1600）

26.2.1二次函数y二ax?的图象和性质

【教材分析】

本节是二次函数图象与性质的起始内容，是最简单、最基础的二次函数模型。教材通过描点

法画尸ax?的图象，引导学生观察抛物线的形状、开口、对称性、增减性等特征，总结图象性质。

本节课的图象画法、探究方法、性质结论是后续顶点式、一般式二次函数学习的基础，是数形结

合思想的核心启蒙内容。

【学情分析】

3

学生已经掌握一次函数、反比例函数的图象画法(描点法：列表、描点、连线)，具备基本的

数形结合探究能力。但学生首次接触抛物线曲线图象，对曲线的平滑绘制、对称性观察、增减性

分析存在困难，难以自主归纳a的正负、绝对值大小对图象的影响。

【教学目标】

1.知识与技能：会用描点法画y二ax?的图象，认识抛物线、顶点、对称轴；掌握尸ax?的图象

性质，理解a的符号、绝对值大小对图象开口方向、开口大小的影响。

2.数学思考：经历画图、观察、对比、归纳的全过程，体会数形结合思想、分类讨论思想，

提升图象分析与归纳推理能力。

3.问题解决：能利用y=ax?的性质判断函数增减性、最值，能根据图象特征确定参数a的取

值。

4.情感态度：感受函数图象的对称性与几何美感，培养严谨的作图习惯和自主探究的学习意

识。

【教学重点】

1.用描点法绘制y=ax2的抛物线图象。

2.掌握尸ax?的图象性质(开口、对称轴、顶点、增减性、最值)。

【教学难点】

理解参数a的绝对值大小对抛物线开口宽窄的影响，精准分析不同区间内函数的增减性。

【教学准备】

多媒体课件、坐标方格纸、直尺、几何画板动画素材、习题单

【教学课时】2课时

【教学过程】

第一课时：y二axz的图象绘制与基本性质

导入新课

教师活动：播放篮球投篮轨迹、拱桥曲线视频，提问：1.这些曲线是什么形状？2.我们之前

学的直线、双曲线能否描述这类曲线？二次函数y=x2的图象会是什么样子？

学生活动：观察视频，独立思考，大胆猜想图象形状。预设答案：抛物线形状；不能；曲线

形状。

环节一：描点作图，探究kX?图象

1.教师活动：讲解描点法三步骤：列表、描点、连线。指导学生在方格纸中选取x=-3、-2、

-1、0、1、2、3,计算对应y值。

学生活动：自主列表计算：x=-3,y=9；x=-2,y=4；x=-l,y=l；x=0,y=0；x=l,y=l；x=2,y=4；

x=3,y=9o

2.教师活动：指导学生精准描点，强调连线需平滑曲线，不能画折线。

学生活动：规范描点、连线，画出y=x?的图象。

3.教师活动：提问：观察图象，图象是否对称？对称轴是什么？顶点坐标是什么？

学生活动：观察图象作答。预设答案：关于y轴对称；对称轴为y轴(x=0)；顶点(0,0)。

［设计意图］规范学生作图流程，让学生亲手绘制图象，直观感知抛物线的基本特征。

环节二：对比探究y二-Xz的图象

1.教师活动：让学生用同样方法绘制y~x2的图象，对比y=x?图象找差异。

学生活动：自主作图，对比观察。预设答案：y=-x2图象开口向下，产X?开口向上。

2.教师活动：提问：两个图象的对称轴、顶点是否相同？最值有何差异？

学生活动：小组讨论总结。预设答案：对称轴都是y轴，顶点都是(0,0)；y=x?有最小值0,

y二-x2有最大值0o

［设计意图］通过正负a值图象对比，让学生自主发现开口方向与a的符号关系。

环节三：归纳基础性质

1.教师活动：引导学生归纳：当分》0时，yrx?开口向上，顶点是最低点：当时，开口向

下，顶点是最高点。对称轴均为y轴，顶点坐标(0,0)。

学生活动：整理性质，精准识记。

4

［设计意图］初步归纳核心性质，建立数形对应关系。

第二课时：y=ax2的增减性与开口宽窄规律

环节一：探究函数增减性

1.教师活动：结合y=x?图象，提问：当x〉0时，x增大，y如何变化？当x<0时，x增大，y

如何变化？

学生活动：观察图象走势作答。预设答案：x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大

而减小。

2.教师活动：结合尸七2图象，提问：其增减性有何不同？

学生活动：对比分析。预设答案：x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大。

［设计意图］分段探究增减性，突破学生笼统判断的误区，精准掌握区间增减规律。

环节二：探究开口宽窄规律

1.教师活动:出示y=2x?、y=0.5x2、y=-2x2.y-O.Sx?的图象,引导学生对比观察。

学生活动：小组对比图象，总结规律。

2.教师活动：提问：a的绝对值大小与开口宽窄有什么关系？

学生活动：归纳结论。预设答案：|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。

［设计意图］通过多图象对比，突破难点，让学生掌握开口宽窄的变化规律。

环节三：综合应用与小结

1.教师活动：出示例题：已知y二ax?,当x=2时，y=8,求解析式，并说明图象性质。

学生活动：解题作答。预设答案：a=2,解析式y=2x>升口向上，对称釉y轴，顶点（0,0）,

最小值0,|a|大，开口窄。

2.教师活动：引导学生完整梳理尸ax2的全部性质。

学生活动：自主梳理，完善知识体系。

【板书设计】

26.2.1二次函数y二ax?的图象和性质

1.作图方法：列表一描点一平滑连线（抛物线）

2.基本特征:对称轴x=0（y轴）,顶点（0,0）

3.性质：a>0,开口向上，左减右增，有最小值；a<0,开口向下，左增右减，有最大值

4.开口规律：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽

【课堂练习】

一、填空题

1.抛物线产-3x2的对称轴是,顶点坐标是。（答案：y轴；（0,0））

2.抛物线产4x2比y=x?开口__（填宽/窄）。（答案：窄）

二、判断题

1.抛物线y=ax2一定关于y轴对称。（V）

2.当x>0时,y=-2x2的y值随x增大而增大。（X）

三、选择题

下列抛物线中，开口最宽的是（）

A.y=5x2B.y=0.2x2C.y=-3x2D.y=-x2（答案：B）

四、计算题：已知y二ax?,x=T时y=4,求解析式。（答案：y=4x2）

五、解答题：简述尸-0.5x2的图象性质。

答案：开口向下，对称轴为y轴，顶点（0,0）,最大值为0;x〈。时y随x增大而增大，x>0

时y随x增大而减小，开口较宽。

【课后作业】

1.变式题：已知抛物线y=（mT）x2开口向上，求m的取值范围。（答案：m>l）

2.生活情境题：某拱桥的轮廓近似抛物线尸-0.lx?,分析拱桥的开口方向、最高点位置.（答

案：开口向下，最高点在原点（0,0））

3.拓展题：比较y=3x?与尸-2x2的开口宽窄，并说明理由。（答案：y-2x2开口更宽，因为

5

|-2|<|3|)

26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

【教材分析】

本节在尸ax2的基础上，探究顶点式二次函数的图象与性质，核心是图象的平移规律。教材

通过对比基础抛物线与平移后抛物线的位置变化，总结左右、上下平移法则，归纳顶点式的对称

轴、顶点坐标、增减性与最值，是二次函数图象变换的核心内容，为一般式配方转化奠定基础。

【学情分析】

学生已熟练掌握尸ax?的图象和性质，具备图象观察、对比归纳的能力。但学生对“左加右

减、上加下减”的平移规律容易混淆，难以区分水平平移与竖直平移的变量变化，对顶点式参数

h、k的几何意义理解不透彻，容易出现符号错误。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握y=a(x-与2+k的图象平移规律,熟记顶点坐标技,k)、对称轴x=h；熟练

掌握顶点式二次函数的图象性质，能根据解析式判断开口、对称轴、顶点、增减性和最值。

2.数学思考：经历图象平移探究过程，体会转化思想、数形结合思想，提升图象变换与参数

分析能力。

3.问题解决：能实现抛物线的平移变换作图，能根据顶点坐标写出二次函数顶点式解析式。

4.情感态度：感受函数图象变换的规律性与统一性，培养严谨的逻辑推理能力。

【教学重点】

1.掌握y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及图象性质。

2.理解并应用抛物线平移规律。

【教学难点】

精准理解’“左加右减”的水平平移规律，规避参数h的符号错误，灵活应用平移规律解题。

【教学准备】

几何画板平移动画、坐标线、直尺、课件、习题单

【教学课时】2课时

【教学过程】

第一课时：图象平移规律与顶点坐标

导入新课

教师活动：播放抛物线平移动画，展示厂X?平移得到y=(x-2)2、y=x2+3的过程，提问：1.

平移后的抛物线形状、开口是否改变？2.改变的是什么？

学生活动：观察动画，思考作答。预设答案：形状、开口不变；位置、顶点、对称轴改变。

环节一：竖直平移探究尸ax2+k

1.教师活动：出示y=x?、尸x?+2、y=x?-2的图象，引导学生对比顶点、位置差异。

学生活动：观察对比，总结规律。预设答案：k>0,向上平移k个单位；k<0,向下平移|k|

个单位。

2.教师活动：归纳竖直平移口诀：上加下减。讲解顶点坐标(0,k),对称轴仍为y轴。

学生活动：识记规律，标注参数意义。

［设计意图］从简单竖直平移入手，降低探究难度，铺垫平移思想。

环节二：水平平移探究y=a(x-h)2

L教师活动:展示y=x?、y=(x-3)2、y=(x+3)?图象，提问：图象分别向哪个方向平移?平移

几个单位？

学生活动：观察思考，小组讨论。预设答案：y二(x-3)2向右平移3个单位；y=(x+3)2向左平

移3个单位。

2.教师活动：重点讲解难点：左加右减，h为正数右移，h为负数左移，顶点坐标(h,0),对

称轴x二h。纠正学生符号误区。

学生活动：对比记忆，区分水平、竖直平移差异。

6

［设计意图］突破水平平移难点，厘清h的符号与平移方向的关系。

第二课时：尸26》)2+1<综合性质与应用

环节一：综合平移，归纳顶点式完整性质

1.教师活动：引导学生结合水平、竖直平移，归纳y刊(x-h)2+k的图象特征：由尸ax?先左

右平移、再上下平移得到，形状开口不变。

学生活动：整合平移规律，梳理完整变换过程。

2.教师活动：讲解核心性质：顶点(h,k)、对称轴直线x=h；a>0开口向上，顶点最小值k；

水0开口向下，顶点最大值k；分段增减性。

学生活动：完整识记顶点式所有性质。

环节二：例题应用，巩固规律

1.教师活动：例题：抛物线y=2(xT)2+3由y=2x?如何平移得到？写出其顶点、对称轴、最

值。

学生活动：独立解题。预设答案：向右平移1个单位，向上平移3个单位；顶点(1,3),对称

轴x=L最小值3。

2.教师活动：变式提问：抛物线y~3(x+2)2-l的平移方式和性质？

学生活动：作答。预设答案：向左平移2个单位，向下平移1个单位；开口向下，顶点

最大值-1。

环节三：课堂小结

教师活动：引导学生总结平移规律、顶点式核心参数意义、函数性质。

学生活动：自主梳理知识，构建平移变换知识体系。

【板书设计】

26.2.2二次函数y=a(x-h产+k的图象和性质

1.平移规律：左加右减(x内部)，上加下减(整体)

2.核心参数：顶点(h,k),对称轴：直线x=h

3.性质：a定开口、宽窄；顶点定最值、位置

4.增减性：a>0,x>h递增，x〈h递减；a<0反之

【课堂练习】

一、填空题

1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是—,对称轴是—。(答案：(2,5)；直线x=2)

2.抛物线尸6+1)2-3由丫宁2向—平移1个单位，向—平移3个单位得到。(答案：左；

下)

二、判断题

Ly=-2(x-3)2的对称轴是直线x=-3。(X)

2.顶点式抛物线形状由a决定，位置由h、k决定。(J)

三、选择题

抛物线y=(x+4)2-2的最小值是()

A.-2B.4C.-4D.2(答案：A)

四、计算题：将y=x?平移得到y=(x-2)2+l,写出平移过程。(答案：向右2个单位，向上1

个单位)

五、解答题：写出尸-1/2&+3/+4的全部图象性质。

答案：开口向下，开口较宽；对称轴直线x=-3,顶点(-3,4),最大值4；x<-3时y递增，x>-3

时y递减。

【课后作业】

1.变式题：已知抛物线顶点为(2,-3),开口与y=2x?相同，写出解析式。(答案:y=2(x-2)2-3)

2.生活情境题：某小球抛出后的高度y(m)与水平距离x(m)的关系为y=-(x-4)2+6.求小球的

最大高度和此时的水平距离。(答案：最大高度6m,水平距离4m)

3.拓展题：抛物线y=2(x-l)2+2向左平移2个单位，向下平移1个单位，求新解析式。(答案:

7

y=2(x+l)2+l)

26.2.3二次函数尸ax?+bx+c的图象和性质

【教材分析】

本节是二次函数图象性质的汇总与升华，承接顶点式知识，通过配方法将一般式转化为顶点

式，实现一般式的图象、顶点、对称轴、最值、增减性的求解，是全章计算的核心。教材将配方

思想、数形结合、公式推导相结合，是后续求二次函数解析式、解决最值问题的基础，在全章中

起到承上启下的关键作用。

【学情分析】

学生已经掌握完全平方公式、配方法解一元二次方程，熟练掌握顶点式二次函数的性质。但

学生对二次函数一般式的配方过程不熟练，容易出现配方漏项、符号错误；对对称轴公式、顶点

坐标公式的推导理解不透彻，机械记忆公式，灵活应用能力不足。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握用配方法将尸ax?+bx+c化为顶点式的方法；熟记对称轴公式x=-b/2a、

顶点坐标公式(-b/2a,(4ac-b?)/4a)；熟练掌握一般式二次函数的图象性质。

2.数学思考：经历配方转化、公式推导的过程，体会转化思想、数形结合思想，提升代数运

算与逻辑推理能力。

3.问题解决：能利用公式或配方法求解一般式二次函数的对称轴、顶点、最值、增减性，能

绘制一般式抛物线简图。

4.情感态度：体会代数变形的严谨性，培养规范的运算习惯和迎难而上的探究精神。

【教学重点】

1.用配方法将一般式化为顶点式。

2.应用公式求解一般式二次函数的对称轴、顶点坐标及性质。

【教学难点】

二次函数二般式的配方过程，理解顶点坐标公式的推导原理，规避运算易错点。

【教学准备】

课件、配方步骤清单、坐标纸、习题单

【教学课时】2课时

【教学过程】

第一课时：配方法转化一般式与基础性质

导入新课

教师活动：提问：我们可以直接判断顶点式的所有性质，那普通的kx2-4x+3如何快速求顶

点和对称轴？引发学生思考，引出配方转化的必要性。

学生活动：思考问题，发现一般式无法直接判断顶点，产生探究欲望。

环节一：复习配方，铺垫基础

1.教师活动：复习完全平方公式、配方法解方程的步骤，出示X?-6x+=(x-)2。

学生活动：填空作答。预设答案：9、3。

2.教师活动：讲解二次函数配方核心：提二次项系数、配方、整理常数项。

学生活动：识记配方四步骤。

［设计意图］复习旧知，降低新知学习难度，扫清运算障碍。

环节二：示范配方，转化解析式

22

1.教师活动:示范将y=x2-4x+3化为顶点式，分步板书:y=(x-4x+4)-4+3=(x-2)-lc强调

配方时常数项的加减平衡。

学生活动：跟随步骤练习，规范书写过程。

2.教师活动：示范含系数配方：y=2x2-Sx+l,分步讲解提系数、配方、整理.

学生活动：模仿练习，规避漏乘、漏项错误。

［设计意图］分步示范，突破配方难点，规范学生运算格式。

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环节三：根据顶点式判断性质

1.教师活动：结合配方结具y=（x-2）2-l,提问：对称轴、顶点、最值、增减性分别是什么？

学生活动：自主作答。预设答案：对称轴x=2,顶点最小值T；x<2递减，x>2递增。

［设计意图］衔接旧知，实现知识转化，让学生体会转化思想的价值。

第二课时：公式推导与综合应用

环节一：推导通用公式

1.教师活动：对尸ax?+bx+c进行通用配方，逐步推导对称轴、顶点坐标公式。板书完整推导

过程，讲解每一步变形依据。

学生活动：跟随推导，理解公式来源，不机械记忆。

2.教师活动：总结公式：对称轴x=-b/2a,顶点纵坐标（4ac-b?）/4a。

学生活动：识记公式，标注易错符号。

环节二：公式应用，综合解题

1.教师活动：例题：用公式法求y=3x2-6x+2的对称轴、顶点、最值。

学生活动：代入公式计算。预设答案：x=l,顶点最小值-1。

2.教师活动：引导学生结合开口方向，完整分析函数增减性。

学生活动：完整梳理函数所有性质。

环节三：课堂小结

教师活动：引导学生对比配方法、公式法的优缺点，总结一般式二次函数的完整性质。

学生活动：归纳两种解题方法，构建完整的知识体系。

【板书设计】

26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1.配方步骤：提系数一配方一去括号一整理

2.核心公式：对称轴x=-b/2a,顶点（-b/2a,（4ac-b2）/4a）

3.性质：a定开口；对称轴定增减区间；顶点定最值

【课堂练习】

一、填空题

1.二次函数y=x?-2x+3的对称轴是o（答案：直线x=l）

2.y=2x2+4xT的顶点坐标是一。（答案：（-1,-3））

二、判断题

1.所有二次函数都可以配方为顶点式。（J）

2.二次函数y~x2+2x的最大值为1。（V）

三、选择题

二次函数y=3x2-6x的最小值是（）

A.-3B.3C.0D.6（答案：A）

四、计算题：将y=x?-6x+5化为顶点式。（答案：y=（x-3尸-4）

五、解答题：求y=-2x2+8x-3的对称轴、顶点、最值及增减性。

答案：对称轴乂二2,顶点（2,5）,最大值5；x<2时y涕增，x>2时y递减。

【课后作业】

1.变式题：用配方法和公式法两种方法求尸2x2-4xT的顶点坐标。（答案：（i「3））

2.生活情境题：某商品利润y（元）与销量x（件）的关系为y=-0.5x2+20x,求最大利润及

对应销量。（答案：销量20件时，最大利润200元）

3.拓展题:已知二次函数y=x?+bx+l的对称轴为x=2,求b的值。（答案:b=-4）

26.3二次函数与一元二次方程

【教材分析】

本节是数形结合思想的集中体现，衔接二次函数与一元二次方程两大核心知识。教材通过抛

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物线与X轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况，建立函数与方程的内在联系，同时利用函

数图象求解方程近似根，为后续二次函数综合题、不等式求解莫定基础，是初中数学数形结合的

核心考点。

【学情分析】

学生己经熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数图象性质，具备数形结合的初步能力。

但学生难以主动建立函数图象与方程根的对应关系，无法灵活利用交点个数判断根的情况，对函

数值正负与自变量取值的关系理解模糊，综合应用能力薄弱。

【教学目标】

1.知识与技能：理解二次函数图象与X轴交点个数和一元二次方程根的个数的对应关系；会

用根的判别式判断抛物线与X轴的交点情况；能利用函数图象求一元二次方程的近似根。

2.数学思考：经历函数与方程关联的探究过程，深化数形结合思想、对应思想，提升几何图

象与代数方程的转化能力。

3.问题解决：能根据抛物线图象判断一元二次方程根的情况，能解决函数与方程结合的综合

题型。

4.情感态度：体会数学知识的关联性与统一性，培养多角度分析问题的思维习惯。

【教学重点】

1.二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。

2.利用判别式判断抛物线与x轴的交点个数。

【教学难点】

理解数形结合的本质，灵活运用函数与方程的关系解决综合问题，利用图象求方程近似根。

【教学准备】

多媒体课件、抛物线图象素材、习题单、坐标纸

【教学课时】2课时

【教学过程】

第一课时：函数与方程的对应关系

导入新课

教师活动：出示抛物线尸x2-3x+2,提问：1.抛物线与x轴交点的纵坐标是多少？2.求交点

横坐标需要解什么方程？

学生活动：思考作答。预设答案：1.纵坐标为0;2.解方程x2-3x+2=0。

环节一：探究交点与方程杈的关系

1.教师活动：引导学生解方程x2-3x+2=0,求出根xl=l,x2=2,对应抛物线与x轴交点

(1,0)(2,0)o

学生活动：计算方程根，而应图象交点，发现一一对应关系。

2.教师活动：归纳核心结论：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，就是对应方程ax?

+bx+c=0的实数根。

学生活动：识记对应关系，理解数形转化本质。

［设计意图］通过具体实例，让学生自主发现函数与方程的关联，突破核心知识点。

环节二：结合判别式，分类探究交点个数

1.教师活动：复习根的判别式A=b2-4ac,分三种情况讲解：A>0,A=0,对应的方程

根的情况和抛物线交点个数。

学生活动：分类整理对应关系：△>(),两个不等实根，两个交点；A=0,两个相等实根，

个交点(顶点在x轴)；A<0,无实根，无交点。

2.教师活动：出示实例验证三种情况，强化认知。

学生活动：结合图象直观理解三种情况的差异。

［设计意图］分类讨论，构建完整的知识体系，落实重难点。

第二课时：图象求近似根与综合应用

环节一：探究方程近似根的求法

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1.教师活动：出示方程x2-2x-2=0,无整数根，引导学生通过绘制函数图象，观察交点横坐

标，估算近似根。讲解取值、画图、估算的步骤。

学生活动：动手画图，估算根的近似值。预设答案：xl^-0.7,x2^2.70

［设计意图］让学生掌握数形结合求近似根的方法，体会函数的实用价值。

环节二：综合题型应用

1.教师活动:例题:判断抛物线y=2x2-4x+3与x轴的交点个数。

学生活动：计算A=16-24=-8<0,无交点。

2.教师活动：变式题：已知抛物线y"2+mx+l与x轴有一个交点，求m的值。

学生活动：作答。预设答案：A=m2-4=0,m=±2o

环节三：课堂小结

教师活动：引导学生梳理函数与方程的三重对应关系、判别式的应用、近似根的求解方法。

学生活动：自主总结，完善知识框架。

【板书设计】

26.3二次函数与一元二次方程

1.对应关系：抛物线与x轴交点横坐标一方程ax2+bx+c=O的根

2.判别式分类：A>0（2交点，2不等根）；A=O（1交点，2等根）；A<0（无交点，无实根）

3.方法：图象法求方程近似根

【课堂练习】

一、填空题

1.抛物线y=x2-4x与x轴的交点坐标是—o（答案：（0,0）（4,0））

2.若抛物线y=ax?+bx+c与x轴无交点，则△0。（答案：<）

二、判断题

1.一元二次方程有两个相等实根时，抛物线顶点在x轴上。（J）

2.抛物线与x轴有两个交点，对应方程必有两个不等实根。（J）

三、选择题

抛物线y=-x2+2x7的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个（答案：B）

四、计算题：判断y=3x2-2x-l与x轴的交点个数。（答案：A=16>0,2个交点）

五、解答题：已知抛物线尸x2-2x+m与x轴有两个交点，求m的取值范围。（答案：m<l）

【课后作业】

1.变式题：已知方程2x2-6x+k=0有两个不等实根，求抛物线y=2x?-6x+k与x轴的交点个数

及k的范围。（答案：2个交点，k<4.5）

2.生活情境题：小球竖直上抛高度h=-t2+43求小球落地的时间。（答案：落地时h=0,t=4s）

3.拓展题：利用图象法求方程x?-3xT=0的近似根。（答案：xlQ-0.3,x2^3.3）

26.4实际问题与二次函数

【教材分析】

本节是二次函数整章的应用总结课，聚焦生活中的最值问题，涵盖面积最值、销售利润最值、

运动轨迹最值三类核心题型。教材通过真实生活情境，引导学生建立二次函数模型，利用顶点最

值解决实际问题，是函数建模思想的最终落地，也是中考核心考点。

【学情分析】

学生已经熟练掌握二次函数的最值求解方法，具备基础的建模能力。但学生在复杂生活情境

中难以提炼等量关系，容易忽略自变量的实际取值范围，无法区分开口方向对应的最值类型，解

题步骤不规范，综合建模能力有待提升。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握二次函数解决面积、利润、运动最值问题的建模步骤；能结合实际情境

确定自变量取值范围，准确求解实际问题的最值。

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2.数学思考：经历实际问题抽象为函数模型的过程，深化建模思想、数形结合思想，提升数

学应用能力。

3.问题解决：能独立完成生活情境问题的建模、求解、检验全过程，解决各类二次函数实际

最值问题。

4.情感态度：感受数学的实用价值，体会数学服务于生活的意义，提升数学应用意识。

【教学重点］

1.建立二装函数实际问题模型。

2.利用二次函数顶点最值解决实际最值问题。

【教学难点】

从复杂实际情境中提炼等量关系，准确确定自变量的实际取值范围，检验最值的合理性。

【教学准备】

生活情境课件、例题素材、习题单

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

教师活动：出示生活问题：如何用固定长度的篱笆围成面积最大的矩形菜园？如何定价商品,

才能获得最大利润？提问：这类最值问题可以用什么知识解决？

学生活动：思考作答。预设答案：二次函数的最值知识。

环节一：梳理建模解题步骤

1.教师活动：讲解二次函数实际问题解题五步骤：审题设变量->列函数解析式->确定自变量

范围—求函数最值f检验作答。逐一讲解每一步的注意事项。

学生活动：记录步骤，识记核心注意点：必须检验自变量范围。

［设计意图］规范解题流程，解决学生步骤混乱的问题。

环节二：题型一：面积最值问题

1.教师活动：出示例题：用长为40nl的篱笆围成矩形菜园，一边靠墙，求菜园的最大面积。

学生活动：自主设变量、建模、求解。预设答案：设垂直墙的边长为x,面积y=-2x2+40x,

x=10时,最大面积200川2。

2.教师活动：强调自变量取值范围0<x<20,验证顶点在取值范围内，可取最值。

学生活动：完善解题过程，规范作答。

［设计意图］掌握面积类建模方法，突破自变量范围易错点。

环节三：题型二：销售利润最值问题

1.教师活动：出示例题：商品进价10元，售价20元，日销量100件，每涨价1元，销量减

少5件，求最大利润及对应售价。

学生活动：结合利润公式建模求解。预设答案：设涨价x元，利润y=-5x2+50x+1000,x=5

时，最大利润1125元，售价25元。

［设计意图］掌握利润类核心建模思路，贴合中考高频题型。

环节四：题型三：运动轨迹最值问题

L教师活动:出示小球运动问题：小球高度y=-0.2x2+2x,求小球的最大高度。

学生活动：求解顶点最值。预设答案：x=5时，最大高度5m。

环节五：课堂小结

教师活动：引导学生总结三类题型的建模技巧、解题步骤、易错点。

学生活动：自主梳理，归纳解题方法。

【板书设计】

26.4实际问题与二次函数

1.解题步骤：设一列一定范围一求最值一检验

2.核心题型：面积最值、利润最值、运动最值

3.关键：顶点在自变量范围内，取顶点最值；否则取端点最值

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数学活动

【教材分析】

本节课是新人教版九年级上册第二十六章二次函数的数学活动课，安排在全章新知学习结束

后。教材设置两大核心活动：和定数值求最大积、车速与刹车距离的函数建模，是对二次函数图

象性质、最值求解、实际建模应用的综合巩固。本节课跳出纯公式计算，聚焦数学建模、数据分

析、数形结合核心素养，将抽象的二次函数知识与生活生产、交通安全等真实场景结合，既是对

本章重难点的实操应用，也为后续高中函数建模、最值问题学习奠定基础，是衔接理论与实践的

关键课时。

【学情分析】

九年级学生已系统掌握二次函数的概念、三种解析式、图象性质、最值求解及简单实际应用，

具备基础的函数建模和数据分析能力。但学生普遍存在两大短板：一是难以主动将生活问题转化

为二次函数数学模型，建模思维薄弱；二是处理表格型数据、拟合函数解析式、结合实际取值范

围求最值的能力不足，容易忽略自变量实际限制条件。同时学生动手探究、小组合作的积极性较

高，适合通过实操活动、情境探究突破难点。

【教学目标】

1.知识与技能：

掌握和定两数乘积最大值的求解方法，熟练利用表格数据拟合二次函数解析式，能结合实际

情境确定自变量取值范围，求解二次函数实际最值，解决乘积最值、行车安全等生活实际问题。

2.数学思考：

经历“观察情境一提出猜想一建立模型一运算验证一总结规律”的完整探究过程，深化数形

结合、建模思想，提升数据分析、逻辑推理和归纳总结能力。

3.问题解决：

能独立将和定最值、行程安全类实际问题转化为二次函数问题，熟练运用二次函数最值公式、

图象性质解决问题，能排查实际问题中自变量取值的易错点。

4.情感态度：

感受二次函数在生活、交通、经济中的实用价值，体会数学源于生活、用于生活，培养严谨

的探究态度和合作探究意识，树立交通安全、理性运算的科学观念。

【教学重点］

1.利用二黄函数求解和定两数的最大乘积问题。

2.根据实际数据拟合二次函数模型，解决刹车距离与车速的实际问题。

【教学难点】

实际情境不二次函数模型的建立，结合自变量实际取值范围判断最值，规避脱离实际的数学

运算误区。

【教学准备］

多媒体课件、刹车距离实测数据表、小组探究任务单、计算器、方格纸

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课（5分钟）

真实情境：生活中处处存在最值问题，商家定价追求最大利润、建筑设计追求最大面积、行

车过程需要把控刹车距离。交警部门统计显示：车辆刹车距离随车速变化呈现规律性变化，精准

掌握这一规律能有效规避交通事故；同时我们生活中常见”两个数的和固定，怎样乘积最大”的

问题。今天我们通过两大数学活动，用二次函数解决这些真实的生活难题。

教师活动：展示交通事故刹车距离案例、超市促销定价场景图，抛出核心问题，引导学生思

考最值问题与二次函数的联系，引出本节课两大探究活动。

学生活动：观察情境素材，思考生活中的最值问题，回忆二次函数最值求解方法，主动联想

知识关联。

预设问题及答案：提问：我们学过二次函数的什么性质可以解决最值问题？答：二次函数抛

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物线的顶点是最值点，a>0有最小值，a<0有最大值，对称轴处取得最值。

环节一；探究活动一和定两数，探求最大乘积(15分钟)

真实情境：某农场要用总长40田的栅栏围成一个矩形菜园，矩形的长和宽之和固定，如何设

计长和宽，能让菜园面积最大？类比延伸：若两个正数的和为20,这两个数分别是多少时，乘积

最大？

1.问题探究：设其中一个正数为x,两数和为20,用含x的式子表示另一个数，并列出乘积

y与x的函数解析式。

教师活动：引导学生设变量，梳理数量关系，提示自变量取值范围，巡视学生列式情况。

学生活动：独立设元、列式，小组交流结果。

预设答案：另一个数为20-x,y=x(20-x)=-x2+20x(0<x<20)<,

2.图象分析：画出该函数的人致图象，判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标。

教师活动：指导学生结合解析式分析图象特征，提问开口方向对最值的影响。

学生活动：独立分析解析式，口述图象性质。

预设答案：a=-l<0,开口向下，对称轴x=10,顶点坐标答0,100)°

3.最值求解：结合图象和自变量取值范围，求乘积的最大值及对应x的值。

教师活动：强调自变量取值范围的限制，提醒学生实际问题中最值必须在有效取值范围内。

学生活动：代入对称轴求解最值，小组验证结果。

预设答案：x=10时，y最大值=100,即两个数均为10时，乘积最大。

4.规律归纳：总结和为定值的两个正数，乘积最大的规律。

教师活动：引导学生归纳通用规律，拓展一般情况。

学生活动：自主总结，小组补充完善规律。

预设答案：两个正数和为定值时，当两数相等，乘积最大。

5.变式验证：和为30的两个正数，最大乘积是多少？

教师活动：快速抽查学生掌握情况，纠正易错点。

学生活动：快速计算作答。

预设答案：两数均为15,最大乘积225。

［设计意图］从矩形面积生活化情境切入，由特殊到一般，让学生自主经历建模、分析、求最

值、归纳规律的过程，夯实二次函数最值应用，突破“忽略自变量取值范围”的易错点，培养归

纳推理能力。

环节二：探究活动二拟合数据，探究刹车距离与车速关系(18分钟)

真实情境：交通法规中，车速越快，车辆刹车距离越长，极易引发追尾事故。某交警团队实

测某型号汽车不同车速下的刹车距离，得到如下数据，我们通过二次函数建模分析二者关系。

1.数据观察：展示实测数据:车速x(km/h)：40、64、80；刹车距离y(m)：17、35.3、52.8,

判断y与x的函数关系。

教师活动：引导学生观察数据变化趋势，对比一次函数、二次函数变化规律，判断函数类型。

学生活动：分析数据增减幅度，猜想函数类型。

预设答案：数据增幅逐渐变大，符合二次函数增长规律，判定为二次函数关系。

2.建模列式：设二次函数解析式为尸ax?+bx+c,代入三组数据列方程组。

教师活动：示范代入方法，指导小组分工运算。

学生活动：小组合作列三元一次方程组，分步求解系数。

预设答案：代入得方程组,求解得a%0.002,b-0.05,c=0,解析式为y=0.002X?+0.05x。

3.模型验证：将x=50代入解析式，验证刹车距离是否符合实际规律。

教师活动：引导学生验证模型合理性，强调拟合模型的实用性。

学生活动：独立计算、验证模型。

预设答案:x=50时,y=0.002X2500+0.05X50=5+2.5=7.5m,符合实际车速与刹车距离的变

化规律C

4.实际应用：若该路段限速60km/h,求车辆的最大刹车距离。

教师活动：引导学生结合实际车速范围求解，强化自变量取值的实际意义。

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学生活动：代入计算，作答应用题。

预设答案:x=60时,y=0.002X3600+0.05X60=7.2+3=10.2m,即限速60km/h时，最大刹车

距离为10.2mo

5.易错梳理：提问：为何不能用一次函数拟合该组数据？

教师活动：对比两种函数模型的差异，强化二次函数的适用场景。

学生活动：小组讨论，总结差异。

预设答案：一次函数增减幅度均匀，而刹车距离增速随车速增大变快，只有二次函数能精准

拟合该变化规律。

［设计意图］结合交通安全真实场景，让学生体验数据建模的完整过程，掌握二次函数拟合实

际数据的方法，提升数据分析和实际应用能力，渗透安全教育，落实核心素养。

环节三：课堂小结，梳理升华(5分钟)

1.知识梳理：本节课两大数学活动的核心知识点是什么？

预设答案：和定两数相等时乘积最大；利用表格数据拟合二次函数解决实际问题。

2.方法总结：二次函数解决实际最值问题的通用步骤？

预设答案：设变量一列解析式一确定自变量范围一利用顶点求最值一结合实际作答。

3.思想提炼：本节课用到的核心数学思想？

预设答案：建模思想、数形结合思想、转化思想。

［设计意图］引导学生自主梳理知识、方法、思想，构建完整的活动知识体系，强化解题思路

和核心素养。

【板书设计】

二次函数数学活动

一、和定最值问题

1.建模：y=x(20-x)=-x2+20x

2.性质：a<0,开口向下，顶点取最大值

3.规律：和定两数，相等积最大

二、刹车距离建模

1.数据拟合一二次函数y=0.002x2+0.05x

2.解题步骤：建模一验证一应用

三、核心思想：建模、数形结合

【课堂练习】

一、填空题

1.两个正数的和为16,当两数均为时，乘积最大，最大值为o

答案：8,64

2.二次函数y=0.001x2+0.02x,当x=100时，函数值为。

答案：12

二、判断题

L和为定值的两个数，差值越大，乘积越大。()

答案：X

2.车速与刹车距离的关系可以用二次函数精准拟合。()

答案：J

三、选择题

1.若两个正数和为24,最大乘积为()

A.120B.144C.288D.576

答案：B

2.二次函数尸-2x2+8x的最大值为()

A.8B.-8C.4D.-4

答案：A

四、计算题

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已知两数和为18,设其中一个数为x,列函数解析式求最大乘积。

答案:y=x（18-x）=-x2+18x,对称轴x=9,最大值=81。

五、解答题

某汽车刹车距离满足函数y=0.002x2+0.04x（x为车速,单位km/h；y为刹车距离,单位m）,

若车速不超过70km/h,求最大刹车距离。

答案：x=70时，y=0.002X4900+0.04X70=9.8+2.8=12.6m,最大刹车距离12.6m。

【课后作业】

1.变式练习题

两个正数和为36,求两数的最大乘积及对应数值。

答案：两数均为18,最大乘积324。

2.生活情境题（矩形面积）