高考数学一轮复习-数列的概念

第一节数列的概念

考向1数列的通项公式与递推公式

一、数列及其有关概念

1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数

列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号/表示，第1项也叫做首项；第二个位置上的

数叫做这个数列的第2项，用小表示；......;第〃个位置上的数叫做这个数列的第n项，用atl表示.

类比函数中的定义域，容易得到数列中项的下角标.

2.数列的一般形式可以写成q,%，生，…，可，…，简记为｛a,,｝.

二、数列的分类

分类标准名称含义

有穷数列项数有限的数列

按项的个数

无穷数列项数元限的数列

三、数列的通项公式与递推公式

1.如果数列｛q｝的第〃项4与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子4=/(小来

表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.有的数列不止有一个通项公式(可类比相同函数)，例如:

｛0,1,0,1,•一｝,这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0,偶数项都是1,所以通项公式可以写

.为奇数，L-r1+(-1)"/31+COS/77T/…w

成二/田皿,也可以与成4=--——(/?eN)或an=---------(7?GN).有的数列没

为偶数2''2''

有通项公式，比如无理数e和九中的数依次排成的数列.

2,通项公式:数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量

为离散的数的函数.

3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，比如数列｛4｝满

足：4=1,%=1且4=4_2+4T(〃23)，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：

(1)4,6,8,10,…；

(2)1,3,6,10,15,…；

厂、246810

、7,，，，，，，

315356399

(4)2,3,5,9,17,33,…；

(5)3,0,-3,0,3,0,-3,0,...；

(6)8,88,888,8888,…；

例2.-401是数列-5,-9,-13,-17中的第几项()

A.第98项B.第99项C.第100项D.第101项

解析根据题意，数列—5,—9,-13,-17的通项公式为4=_(4〃+1)，若q=一(4〃+1)=-401,解可

得〃=100，即-401是数列的第100项，故选C.

1,〃二1,

例3设数列｛/｝满足1z一写出这个数列的前5项.

(n)1+---,??>2,«eN

、an-\

考向2数列的前〃项和S”（积Tn）与%的关系

题型1数列的前〃项和S〃与部的关系

1.把数列｛〃〃｝从第1项起到第〃项止的各项之和,称为数列｛〃.｝的前n项和，记作S〃，即

5〃=4+/+~+凡・

fSp/7=1

2.a,.=[ST/22.

..[5,,zz=1

3.已知S〃与〃的关系式，记为工=/（〃），它可由阶差公式°直接求出通

S“-S,i，〃N2

项凡，但要注意验证n=]与n>2两种情况能否统一，具体分三步进行：

（1）〃=1时，由q=¥,求〃।的值；

<2）〃之2时，由an=Sl｝-Sn_（,求得an的表达式；

（3）检验q的值是否满足（2）中知的表达式.

5.,/?=1

①若满足，则合写；②若不满足，则写成分段函数的形式：为二41°八.

E-S,I，〃22

4.前〃项和Sn与通项an的关系

（1）Slt=atr+/?,?<=>｛^｝为等差数列，an=2an+b-a.

（2）S=afr+bn+c（c^（S\^>a=\”〃=1，即\a\从第二项开始为等差数列.

“v7\lan+b-a,n>2x”/

注:选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！

例4已知数列｛4｝的前n项和为S0="+2〃，求数列｛为｝的通项公式.

2

例5已知数列｛%｝的前〃项和为5„=n+2n+l.求数列｛an｝的通项公式.

22

例6在正项数列｛凡｝中，S,为其前〃项和，且S；-|/2+H-l）Sn-（/?4-A?）=O，求通项公式

例7数列｛4｝的前n项和，求数列的通项公式凡.

题型2数列的前〃项积7；与%的关系

1.把数列｛q｝从第1项起到第〃项止的各项之积，称为数列｛an｝的前〃项积，记作Tn，即

「“二%出…%.

Z，〃=i

2.%=■吐2-

工-1

小=1

3.已知Tn与n的关系式，记为（=/（〃），它可由阶商公式an=\T„直接求出通项

〔心

勾，但要注意验证7?=1与/?>2两种情况能否统一，具体分三步进行：

（1）〃=1时，由。|二工，求a.的值；（2）2时，由a=Z~

11Iflrpw求得明的表达式;

,"-1

（3）检验外的值是否满足（2）中%的表达式.

①若满足，则合写;

小=1

②若不满足，则写成分段函数的形式：=Tn

"—.I,n>2

例题已知数列｛为｝的前〃项积<=2户—2",求｛〃”｝的通项公式.

考向3数列的性质

题型1数列的单调性与最值问题

一般地，一个数列｛4｝，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即all+i-atl>0，那么这个数列

叫做递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即q川-4<0，那么这个数列叫做递减数列.

如果数列｛4｝的各项都相等，即4川-。“=(),那么这个数列叫做常数列.

1.利用定义法判断数列的单调性

(1)作差比较法，即较anA-an与0的大小

4川一凡<0=°

单调性｛a,,｝是递增数列｛an｝是递减数列｛an｝是常数列

(2)作商比较法，即比较色0与1的大小

a„

4>15<1^1±L=\

%%

耳>°｛an｝是递增数列｛q,｝是递减数列

｛an｝是常数列

%<0｛an｝是递减数列｛an｝是递增数列

(3)转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.常见的数列

母函数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等.

w2w,

例8数列｛%｝的通项公式为^=-3-2-4-2-3-,nGN*.求证：｛an｝为递增数列.

例9已知数列｛4｝的通项公式.

(1)求证：0<an<\:

(2)判断｛q｝是递增数列还是递减数列，并说明理由.

2.利用数列的单调性求参数的取值范围

常利用以下等价关系：数列｛4｝递增恒成立；数列｛4｝递减。。向<%恒成立，通

过分离变量法转化为代数式的最值来解决.

例10已知数列｛““｝是单调递增数列，q=〃2（2"-1）一〃2,〃£1<,则实数m的取值范围为

A.（2,-409）B.（1,2）C-,+noD.（2,3）

、2>

3.求数列中的最大（小）项问题

（1）先利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值.

（2）构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.

（3）利用“两边夹”，]^~^+,（«>2）求数列中的最大项凡；利用「"“"向（〃之2）求数

U2%U工an-\

歹1J中的最小项an.注：适用于单峰函数，若解不唯对，比较各解大小即可确定.

2

例11已知数列｛an｝中，a„=w+2n,«eN*.

（1）若｛4｝是递增数列，求人的取值范围；

（2）若｛q｝的第7项是最小项，求人的取值范围.

例12已知数列｛4｝的通项公式为%=-〃2+2]〃，求该数列的最大项.

例13已知册=一^（«eN），则数列｛〃“｝中有没有最大项？如果有，求出最大项;如果没有，请

说明埋由.

题型2数列的周期性

1.定义

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列｛4｝，如果存在一个常数T（TeN*），使得对任意的正

整数恒有%+•r二〃“成立，则称数列｛4｝是从第项起的周期为T的周期数列.若

〃o=l,则称数列｛%｝为纯周期数列，若〃。之2，则称数列｛a,｝为混周期数列，T的最小值称为最小

正周期，简称周期.

2.常见的周期数列

以下类型针对非常数数列，即〃〃工〃,用

类型一:邻项等和

①若

%+4+1=&，则7=2;证明：%+i+a”+2=%，两式作差得an+2=an

特别地an+a,^\=0，则丁=2；

②若4+a”+i+《1+2=攵，则T=3；证明同上.

特别地。〃+/+1+4+2=°，则丁=3；

类型二:邻项等积

①若凡«m=可〃/。）,则丁=2：讦明：Ja〃、2=k,两式作商得〃“+2=〃”.

特别地,则7=2;

②若为.令用。〃+2=%("4°)，则7=3:证明同上.

0

特别地an+an+l+*=，则7=3

类型三：错号等值

①若可+2一〃“+[+《=%，则7=6；证明类比类型一.

特别地八一—+4=（），则7=6

②若々“+2+4+1X%=%(4工°),则7=6；证明类比类型二.

特别地4.2+%X%=1,即可+2=也，则7=6；

类型四：一次分式之7=2

若。向，其中。+〃=0，则7=2.

特别地，若a=d=O，即为前面类型二(邻项之枳an+l=—)

如：all+l，或%+[=-^—：，或见+1=丁"-，则丁=2；

a2+bc)a“+(a+d)b

证明：4+2，代入a+d=0,得。〃+2=。〃，则T=2.

caan+b+d(〃+")c%+仅c+42)

cq+d

类型五：一次分式之T=3

若。“+1=-4+：，其中(a+d)2=ad-bc，则T=3.

类比函数迭代法证：如

《，则丁=3.

类型六：一次分式之7=4

若，其中+=2(ad-Z?c)，贝ijT=4.

c-al