探索勾股定理一（专项训练）-北师大版八年级数学上册

一、基础训练

1.如图，△ABC与△ABC关于直线1对称，ZC=90°,AC=8,BC=6,则AB的长为（）

C.10D.12

2.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是宜角三角形，已知正方形A,B,C的

3.在RsABC中，若NC=90。，AC=3,BC=4,则AB=（）

A.3B.4C.5D.学

4.若直角三角形两条直角边的力长分别为6和8,则斜边上的高是（）

A.5B.10C.第D.曾

5.在RSABC中，两条直角边的长分别为5和12,则斜边的长为（）

A.6B.7C,10D.13

6.如图，在/?£4人8。中，ZC=90°,A8=13,AC=5,8c=12,根据尺规作图痕迹可知，△

C.20D.25

7.如图，在RsABC中，ZACB=90°,按以下步骤作图；①分别以点A和B为圆心、大于4AB

长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边BC于点D.若BC=2AC=8,则CD的

ZC=90°,若BC=3,AC=4,则AB的长是

9.如图，在△ABC中，ZC=90°,以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和

点N,再分别以点M、N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P.连接AP并延长交

BC于点D,若AD=5,AC=4,则点D到直线AB的距离是

10.如图，在边长为1的小正方形网格中，已知△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方

形网格的顶点上）.

（1）线段AB的长度为；

（2）请使用无刻度直尺在图中作△ABC的角平分线BD.

二、巩固提升

1L“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理..如图所示的''赵爽弦图”是由四个全等的直用二用

形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角二角形的两条直角边长分别为m,n{m>n）.若

大正方形的面积为10,（巾+n）2=16,则小正方形的面积是（)

D.4V2

12.如图是一个弩箭模型，箭MN经过BC的中点D.已矢JAB=AC=17cm,AN=14cm,

C.5cmD.6cm

13.如图,在4x4的网格中,每个小正方形的边长均为1,则点8到直线AC的距离为（）

A13B.13C11D11

A.TOT。10T

14.如图，分别以RtZk4BC的三边为边向外作正方形，其面双分别为Si、S?、S3,若Si=6,S2=

15.如图，在△4BC中，AB=AC,BC=5,BD工AC于点、D,且80=4,则4c的长为

A

I)

16.如图，在RM4BC中，々BAC=90。，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面枳分别记为

Si，S2，S3,若S2+S1-S3=36,则阴影部分的面积为.

17.如图，在△ABC中，ZC=90°,点D在边BC上，AD=BD,DE平分NADB交AB于点E.若

AC=12,BBC=16,贝IJAE的长为.

18.如图I所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2,AP为伞柄，伞圈D能沿着伞

柄AP滑动，伞骨AB=AC,E,F分别是伞骨上两个定点，且满足AE=\AB,AF=\AC,DE=DF.

图1

(I)求证：△AOE三△AO尸；

(2)当伞完全撑开后，点B,D,C在同一条直线上，已知AB=55cm,AD=33cm,两个身体宽

度40cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10cm,问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？

19.如图，在△4BC中，/4CB=90。，AC=3,BC=4,AD平分48AC交BC于点0,OE1于点

E.

c

D

----------------

(I)求证：△ACO=^AED：

(2)求CD的长.

三、能力应用

20.如图，AB//CD,CE平分/ACD交AB于点E。

(I)求证：△ACE是等腰三角形。

(2)若AC=13cm,CE=24cm,求△ACE的面积。

21.在四边形/WCD中，AB=7,8c=24,CD=20,AD=15,乙8=90。，求四边形48co的面

积.

B

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】勾股定理；轴对称的性质

【解析】【解答】解：•・•NO9(F,=y/AC2+BC2=V824-62=10，

△ABC与^ABC关于直线1对称，

.•.A'B'=AB=10.

故答案为：C

【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应边相等.所以AB=AB,利用勾股定理

求出AB即可.

2.【答案】A

【知识点】勾股定理；勾股树模型

【蟀析】【解答】解：•・•正方形A,B的面积为2,4,

・••没标字母的正方形的面积为：6,

・・・C的面积为:3,

・•・正方形D的面积为：3+6=9

故答案为：A

【分析】根据勾股定理，首先得出没标字母的正方形的面积为：6,进而再根据勾股定理即可得出正

方形D的面积为：3+6=9o

3.【答案】C

【知识点】勾股定理

【蟀析】【解答】解：在RQABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AB为斜边，

根据勾股定理：AB=7AC?+BC2=V32+42=5

故答案为：C.

【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.

4.【答案】D

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【解答】解：•・•直角三角形的两直角边长为6和8,

斜边长为：762+82=】。，

三危形的面积=ix6x8=24,

设斜边上的高为x,则1x・10=24,

解得x=4.8.

故答案为：D.

【分析】根据勾股定理算出斜边的长，进而根据三角形的面积计算方法列出方程，求解即可.

5.【答案】D

【知识点】勾股定理

【解析］【解答】解：斜边的长二序1级=13，

故答案为：D.

【分析】在RsABC中，利用勾股定理计算即可解答.

6.【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的

概念

【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD平分NBAC,目DP垂直于ABo

因为AD平分NBAC,所以NDAC=NDAB；又因为NC=NAPD=90。，AD为公共选，所以

△ACDg△APD(AAS)o

由全等三角形性质可得：AP=AC=5,CD=PD<,因此BP=AB-AP=13-5=8O

△BPD的周长为PD+DB+PB,将PD替换为CD,可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。

代入BC=12、PB=8,得周长=12+8=20。

故答案为：Co

【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等帚替换，再将

三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。

7.【答案】3

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线

【解析】【解答】解：连接AD

4A

由作图可得，直线MN垂直平分线段AB

/.AD=BD

VBC=2AC=8

・・・AC=4

设CD=x,则BD=AD=8-x

在RsACD中，由勾股定理可得AD2=CD2+AC2

即（8・X）2=x2+42

解得：x=3

・・・CD的长为3

故答案为：3

【分析】连接AD,由作图可得，直线MN垂直平分线段AB,则AD=BD,设CD=x，则

BD=AD=8-x,根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.

8.【答案】5

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：VZC=903,若BC=3,AC=4,

・・・AB=JBC2+4C2=5,

故答案为：5.

【分析】利用勾股定理直接求出AB的长即可.

9.【答案】3

【知识点】角平分线的性质；勾股定理

【解析】【解答】解:在RtAACD中，AD2=AC2+CD2,

JCD=〃c2_播=7s2-42=3，

・・・AD是NCAB的角平分线，

，点D到直线AB的距离二CD=3,

故答案为：3.

【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案.

10.【答案】（1）5

（2）解：如图，BD即为所作；

【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一

【解析】【解答】解：AB=73r+4^=5，

即线段AB的长度为5,

故答案为：5.

【分析】(1)根据勾股定理求出4B的长即可；

(2)取格点D,连接BD,根据等腰三角形的三线合一可知BD即为所作.

1L【答案】C

【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图"模型

【解析】【解答】解：•・,大正方形的面积为10,

，大正方形的边长为

•・•直角三角形的两条直角边长分别为m,

__9

m24-n2=(>/10)=10»

(TH4-n)2=16,即巾2+n2+2mn—16,

•*-mn=x[16—(m2+n2)]=3,

因此一个直角三角形的面积音mn=1四个直角三角形的面积=4x|=6,

・•・小正方形的面积=大正方形面积-四个直角三角形面积=10-6=4,

故答案为：C.

【分析】本题结合条件，利用勾股定理得出m2+/=I。，然后利用完全平方公式计算得出加几=

3,依据直角三角形面积计算公式得出四个直角三角形的面积为6,最后用“大正方形面积-四个直角

三甭形面积''代入计算即可求出小正方形的面积。

12.【答案】D

【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一

【解析】【解答】解：•・•点D是BC的中点

BD=CD-BC=15cm

VAB=AC=17cm,

AAD1BC,

在RsABD中，AB=17cm,BD=15cm,

•'­^=>JAB2-BD2=V172-152=8cm

VAN=14cm,

・•・DN=AN-AD=14-8=6(cm)

故答案为：D

【分析】根据线段中点的定义可求BD的长度，由等腰三角形的性质以及勾股定理求出AD的长

度，进而可求DN.

13.【答案】B

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=/32+#=5，设B到AC的距离为d,

11113113

SAABC=4X4—x1x3—x3x4-]X1x4=S"sc=2x4cxd=

即有:x5xd=¥，得^1二学.

故答案：B.

【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得SM8C=；x.4Cxd=

挈由此可得点B到AC的距离.

14.【答案】15

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：•・・在直角AABC中,AB2=AC2+BC2,

22

又丁51=8。2,S2=AC,S3=AB,

・'•S3=Si+S2=6+9=15.

故答案为：15.

【分析】根据直角三角形的三边关系AB2=4C2+BC2,从而得到S3=SI+S2=6+9=15,即可

求解.

15.【答案】经

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：-BDLAC,

•••LBDC=90°,

•:在RtaBOC中，BC=5,BD=4,

•••由勾股定理可知，

DC2=BC2-BD2=9,

：.DC=3,

.•・同理，在中，由勾股定理可知,

AB2-AD2=BD2,

AB=AC,

AD=AC-DC=AB-DC=AB-3代入得，

AB2-(AB-3)2=16,

解得，AB=AC—常，

故答案为:2.

【分析】在RsBCD中，利用勾股定理算出CD的长，由线段和差及等量代换得ADnAC-CD=AB-

CD,然后在RJABD中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出AC的长.

16.【答案】9

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：设的三边为48=Q,AC=b,BC=c,

2

由题意得SI=Q2.S3=b2,s2=c：由勾股定理。2+庐=02.

己知S2+SI—S3=36,即C2+Q2—川=36，整理得2a2=36,

解得°2=18,

阴影部分是一个三角形，以4B等长的边为底，高等于4B的长度，

所以阴影面积为S=ia2=jxl8=9.

故答案为：9.

【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平

方。设RsABC的三边为AB=a,AC=b,BC=c,根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的

2

平方，因此SI=Q2,S2=C,53=必。由勾股定理可知02+户=。2,结合已知条件S2+S1-S3=

36,将面积替换为边长的平方，得到02+。2一属=36,再代入勾股定理的关系式，化简可得2a2=

36,求出小=18。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为4a2,代入的值即可求出阴影

部分面积。

17.【答案】1()

【知识点】勾股定理：等腰三角形的性质-三线合•

【解析】【解答】解：,・・ZC=90°

・•・△ABC为直角三角形

=>JAC2+BC2=V122+162=20

AD=BD

・•・△ADB是等腰三角形

DE平分NADB

・••点E平分AB

ii

AB=^x20=10

故答案为：10.

【分析】先根据勾股定理求出AB,再利用等腰三角形三线合一，求出AE.

18.【答案】（1）证明：•.Y8=4C,AE="B,AF=WAC,

/.AE=AF,

在AADE和^ADF中,

AE=AF

AD=AD

\DE=DF

/.△ADE^AADF（SSS）.

（2）解:如图,连接BC,

A

•••△ADE三△AOF（SSS）,

:.LEAD=/.FAD,

又；AB=AC,

•••AD1BC,BD=DC,

,:AB=55cm,AD=33cm,

BD=y/AB2—AD2=V552—332=44cm，

•••BC=2BD=88cm,

•••40x2+10=90cm>88cm,

•••他们会被垂直滴下的雨水淋到.

答：他们会被垂直滴下的雨水淋到.

【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角

【解•析】【分析】3）先根据三等分点可得AE=4F,然后根据SSS证明两个三角形全等即可；

（2）根据全等三角形的对应角相等得到乙£;4。二乙凡4D,根根据勾股定理求出BD的长度，然后利用

三线合一求出BC长判断解答库可.

19.【答案】(1)解:「力。平分乙8/C,

C.LCAD=匕EAD,

〈DE14B,44cB=90。，

：.LACD="ED=90°,

V.4D=AD,

：.C^ACD=^AED(AASy

(2)解：*：^ACB=90°,AC=3,BC=4,

・；48=yjAC2+BC2=5，

\'^ACD三△4EO,

：.AE=AC=3,CD=DE,

：.BE=AB-AE=5-3=2f

设CO=OE=x,则8。=4一人

根据勾股定理得：BD2=DE2^BE2,

/.(4-x)2=X2+22,

解得：”会

的长为率

【知识点】三角形仝等及其性质；勾股定理；三角形仝等的判定AAS；角平分线的概念

【解析】【分析】(1)根据角平分线定义可得NC4O=4瓦4。，根据角之间的关系可得NACO=

乙”7)=90。，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.

(2)根据勾股定理可得AB