等式性质与不等式性质 （学生版）

第9讲：等式性质与不等式性质

【知识梳理】

知识点一基本事实

两个实数。，b,其大小关系有三种可能，即。>。，力，a<b.

如果cob<^a-b>0.

依据如果u—b^ci~b—0.

如果-b<0.

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0

结论

的大小

知识点二重要不等式

Ya,bER,有a2+b2>2ab,当且仅当〃二人时，等号成立.

知识点三等式的基本性质

⑴如果Q—b,那么/?=4.(2)如果a=b,b=c,那么。=c.

(3)如果a=b,那么a±c-b±c.(4)如果a=b,那么ac-be.

(5)如果〃=,#0,那么q=

cc

知识点四不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b<^>b<a=

2传递性a>b,b>c=>a>c不可逆

3可加性+c>b+c可逆

a>b\

4可乘性八=>ac>bcc的符

c>0)

a>b\a

八=>ac<bc

c<0)

cob

5同向可加性,=>a+c>b+d同向

c>d\

a>b>0\

6同向同正可乘性.J^aObd同向

c>d>^\

7可乘方性a>b>0^>an>b,\neN，论2)同正

【例题详解】

题型一、由已知条件判断不等式是否正确

1.（2025高一•全国）对于实数。力,。，下列命题正确的是（）

A.如果,那么4>CB,如果。>人，那么C+/2VC+4

C.如果a>b,c>d,那么a-c>Z?-dD.如果人,那么oc>拉，

2.（25-26高一・全国•假期作业）已知0<。<1,则（）

A.cr>—>a>-aB.a>a2>—>-aC.->a>a2>-aD.->a2>a>-a

aa-aa

3.（2025•北京海淀•二模）设。、b、ceR,abc^O,且,则（）

.ab.bc.

A.—+->2B.—+-<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

题型二、作差法比较大小

4.（2025高三・全国・专题练习）已知P=/+3〃+3,。5+1,则尸与。的大小关系为（）

A.P<QB.iC.P>QD.P〈Q

5.（25-26高一上•全国•课后作业）已知4>l,%>1,设P=：+：,1,则。与。的大小关系

为.

6.（25-26高一上•海南海口•阶段练习）若\<），<0，设河=（父+>^*一）,）刀=（工2_丁）（1+〉,），则加。

的大小关系是.

题型三、作商法比较大小

7.（23・24高三上•天津和平开学考试）已知。是实数，则是的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（23-24高一上•北京•阶段练习）设,8=3-6，贝心h（填入"了或

9.（2020高三•上海・专题练习）设〃=（/+〃+1/，“=标-,+1,则（）.

A.p>qB.p<qC.PMD.p£q

题型四、利用性质比较大小

10.（25-26高一・全国•假期作业）已知（）<”1,则（）

A,a2>->a>-aB.a>a2>->-aC〃.-I>a>a~，>-aD.—>a2>a>-a

aa

11.（25-26高一上♦全国♦课后作业）已知Ovavl,则（）

A,a2>->a>-aB.a>a2>->-aC.—>a>cr>-aD.->a~>a>-a

12.（25-26高一上逢国课后作业）有下列四个命题：①若a>8>0,则八；②若。<人<0,则

口）。;③若。〉0>〃，则石>。：④若心力则优””（〃£N,〃N2）.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型五：利用不等式的性质求范围

13.（25-26高一上•安徽芜湖・期末）已知-2,\<a-b<4,则的取值范围是（）

A.[-3,0]B,[-5,3]C,[-5,0]D.[-2,5]

14.（25-26高一上•贵州毕节•期末）已知4<〃<9,-2<b<-\,贝ij+b的取值范围是（）

A.（2,5）B.（6,17）C.（1,3）D.（-3,-1）

15.(25-26高一上•湖南郴州期末)已知实数4⑦满足1<。<3,-\<b<2,则为-。的取值范围是(

A.(0,4)B.(3,4)C.(3,7)D.(0,7)

题型六、利用不等式的性质判断或证明

16.(25-26高一上•全国)

(1)比较(x+2)(x+3)和(x+l)(x+4)的大；

(2)已知a>b>0,c<0,证明：£>7

ab

17.(25-26高一上・北京西城期末)已知实数〃，〃满足-1<”1,-1<6<1.

⑴求和R?的取值范围;

(2)证明：l+ab>a+b.

18、(25-26高一上•全国)

(1)已知〃>力>0,c<d<0,e<0,试求证：>(8_疔.

(2)已知l<a<4,2Vb<8,试求2a+3〃与〃的取值范围.

(3)已知l<a<4,2</?<8,求*的取值范围.

【专项训练】

一、单选题

1.(2025高一•全国•专题练习)对于实数。，下列命题正确的是()

A,若/>0,贝lj〃>0B.若。>0,则c『〉4

C.若〃<1,则D.若"。，则

2.（2025高一•全国・专题练习）对于实数。业。，下列命题正确的是（）

A.如果，那么小>历2B.如果,那么

C.如果心力,那么/D.如果。<”0,那么

3.（25-26高一上•全国•课后作业）若a>b>c,a+2Z?+3c=0，则（）

A.ah>acB.ac>bcC.ah>beD.44>明

4.（2025•河北石家庄•一模）如果必>（）,那么“〃>〃”是的（）

ab

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（25-26高一下•云南临沧・期中）下列说法中正确的是（）

A.“方'是“小>从”的充分条件

B.'%>/尸是丁°2>宜”的必要条件

C.力”是用的充分条件

D.%>/尸是72>/产，的必要条件

6.（25-26高一上•甘肃平凉・期末）若。也ceR，则下列命题正确的是（）

A.若。，则ai>点B.若=>4■，则a</?

Cc~

C.若a<0<c<0,贝心〈匕tD.若，贝ij/〉/

aa+c

7.（25-26高一上•广东深圳•期末）下列命题是假命题的为（）

A.若，贝Ijac2Vbe2B.若a>b,c>d,贝Jla+c>0+4

QQ..11

C.若〃>。>0且evO，则r>77D.若,则--7<--■

a~b~a+\b+\

8.（25-26高一上•四川内江・期末）下列命题是真命题的是（）

A.若a>〃>0,贝I]>力/B.若a<〃v0,贝lj,<:

ab

C.若a<〃<cvO,贝I]—^—<—^7D,若a<0<c<0,[jjl]7-^-<7

c-ac-bb+cb

二、多选题

9.（25-26高一下•广东•阶段练习）已知〃>人>。,ceR,则下列说法正确的是（）

cc]]

A.—<-B.ac2>he2C.-<-TD.a+c>b+c

aba~b-

10.（25-26高一上•全国•课后作业）设P=G,,Q=&-6,R=R-^^i，则P,Q,R的大小关系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

11.（25-26高一上•全国•课后作业）下列说法止确的是（）

A.若。，Z?eR,S.a>-b>0,则/>/??B,若a>b,c>d,贝

C.若a,beR,且，则■!■<!D.若a,beR,且〃<"0,则」

12.（25-26高一下•浙江•期中）已知。>0,b>0,c<0,〃也ceR,则下列叙述中正碓的是（）

A.若，贝ljabva?B.若，贝

ab

C.>—D.若a>/>,则"〉bc

a+ca

13.（25-26高一上湖北武汉•期末）下列几种说法中，正确的是（）

A,若a>b,则

ab

B.若。>1,力>1,贝iJa+O-lv"

C.^a>b>0,m>0,贝1]一<----

aa+in

D.若a>〃>0,c<d<0,<0贝I]—>m

'a-cb-d

三、填空题

14.（2025高一•全国・专题练习）如果M=X2+3X,N=X-2,那么M与N的大小关系是.

15.（2025高一•全国•专题练习）岩实数外。满足1<。<3,2<。<3，则的取值范围是.

16.（25-26高一下•上海金山•阶段练习）已知实数。“满足-2<〃<-1,2<力<3，则3〃-助的取值范围

为.

17.（25-2