2027年高考数学一轮复习：三次函数的图象和性质（学生版）

第20讲三次函数的图象和性质

知识梳理

1、基本性质

设三次函数为；/(%)=<xv3+bx2+cx+d(abc、deR且a#O),其基本性质

有：

性质1：①定义域为R.②值域为R,函数在整个定义域上没有最大值、最小值.③

由卜三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来

解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数加2+5+4,30)

其导函数为二次函数:/'*)=3湛+2bx+c(a*0),

判别式为：△=必一12加=4(户一3"),设/'(x)=0的两根为小与，结合函数草图易

得：

(1)若从一3acV0,则/(x)=0恰有一个实根；

(2)若〃_3碇>0,且/(%)-/32)>0,则/*)=0恰有一个实根；

(3)若从一3改>0,且/(%)-/(9)=0，则f(x)=0有两个不相等的实根;

(4)若从-3a>0,且/(N)//)<0,则/")=0有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)/*)=0含有一个实根的充要条件是曲线)，=八刈与彳轴只相交一次，即

f（x）在R上为单调函数（或两极值同号），所以〃之一3ac<0（或3ac>0,且

/（x,）./U2）>0）；

（5）/（x）=0有两个相异实根的充要条件是曲线），=八幻与x轴有两个公共点且其中之

一为切点，所以切-%c>0,且/（菁）/与）=0；

（6）/3）=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线），=/（幻与x轴有三个公共点，即

/（X）有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以从-34c>0且/（工］>/（工2）V。.

性质3：对称性

（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；（---，f（----））；

3。3。

（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函

数.

2、常用技巧

（1）其导函数为/（工）=3ar?+2/zr+c=0对称轴为工=——»所以对称中心的横坐标

3a

也就是导函数的对•称轴，可见，），=/«）图象的对称中心在导函数），=/（月的对称轴上，

且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；

（2）），=/（幻是可导函数，若），=/（>）的图象关于点。机〃）对称，则），=r（x）图象关于

直线x=m

对称.

（3）若y=/（A）图象关于直线X=m对称，则y=r（x）图象关于点。小0）对称.

（4）已知三次函数/"）=效、乐2+以+〃的对称中心横坐标为％,若〃力存在两

个极值点可，三，则有/（'）―/（>=—字（％_&）2=2/（%）.

x}-x223

必考题型全归纳

题型一：三次函数的零点问题

例1.（2024・全国•高三专题练习）函数/（"=/+火+2存在3个零点，则。的取值范围是

A.(-co,-2)B.(-co,-3)C.(")D.(-3,0)

例2.(2024.江苏扬州.高三校考阶段练习)设。为实数，函数，(耳=-f+3工+〃.

(1)求/(力的极值：

(2)是否存在实数。，使得方程/(工)=。恰好有两个实数根?若存在，求出实数。的值;

若不存在，请说明理由.

例3.(2024・四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数

/(A)=a?+bx1-3x(a,〃wR),且/(-v)在x=1和x=3处取得极值.

⑴求函数/。)的解析式；

(2)设函数ga)=/a)+i,若g(x)=/a)+，有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.

变式1.(2024•天津河西•高三天津实验中学校考阶段练习)已知/(力=0^+/"2-4。,

c?,beR.

(1)当a=b=l,求y=f(x)的极值；

(2)当a=(),b=2,设g(力=x2-lnx+l,求不等式/卜卜依刈的解集；

(3)当a>()时，若函数f(x)恰有两个零点，求的值.

变式2.（2024.河北保定福三统考阶段练习）已知函数义用二丁-3/+3黑

（1）求函数/（x）的图象在点x=0处的切线方程；

（2）若/（幻-141+〃?在工«0,2］上有解，求〃?的取值范围；

（3）设/'（X）是函数/（x）的导函数，«T（x）是函数/'（X）的导函数,若函数广（.r）的零点

为・”,则点（莅,/（天））恰好就是该函数/（"的对称中心.试求

2

八/丽1卜1/A（丽y卜+•，/［2而01^8卜））（而201?9JV的值„.

变式3.（2024.山西太原.高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数

以x）=/+bx2+ex+d（a,AceR）过点（3,0）,且函数f（x）在点（0,7（（）））处的切线恰好是直线

y=。.

⑴求函数/（X）的解析式：

⑵设函数g（x）=9x+〃Ll,若函数y=-g（x）在区间［-2,1］上有两个零点,求实数加的

取值范围.

变式4.（2024・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=；V+ai,屋”=-9—4awR）.

⑴若函数F（x）=/0）-ga）在xe［l，*o）上单调递增，求。的最小值：

⑵若函数G（x）=/（x）+g（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求。的取值范围.

题型二：三次函数的最值、极值问题

例4.（2024・云南•高三统考期末）已知函数/。）=一；/+/+2依，^（X）=1X2-4.

JJ

（1）若函数人外在（（）,2）上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；

（2）设6（幻=/（幻-黑幻.若0<〃<2,G（x）在［1,3］上的最小值为〃⑷,求〃（。）的零点.

例5.（2024・高二课时练习）已知函数+/+2分，g（x）=^-x2-4.

（1）若函数/（X）在（0，包）上存在单调递增区间，求实数4的取值范围；

（2）设G（x）=/（x）-g（x）.若0<〃<2,G（x）在［1,3］上的最小值为一；，求G。）在［1,3］上

取得最大值时，对应的x值.

例6.（2024.江苏常州.高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数人上尸

x3-ax2-a2x+\,其中a>0.

⑴当4=1时，求/（X）的单调增区间；

⑵若曲线产上）在点（-〃,/（-〃））处的切线与），轴的交点为（（），b）,求力+—的最小值.

变式5.（2024・广东珠海•高三校联考期中）已知函数/'（x）=；d-aP+（a2-1卜+b（a,

◊

beR）,其图象在点（1J⑴）处的切线方程为x+y-3=0.

⑴求小b的值;

（2）求函数/（"的单调区间和极值：

⑶求函数/（另在区间卜25］上的最大值.

变式6.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/。）=/-加-x,〃wR,且r（1）=0.

（1）求曲线y=fW在点（-U/（-D）处的切线方程；

⑵求函数“0在区间［0,3］卜.的最大值.

变式7.（2024.全国•高三专题练习）己知函数/（x）=V+3及+5+”在（ro,0）上是增函

数，在（。，2）上是减函数，且/（'）=0的一个根为4

（1）求c的值；

（2）求证：八幻=0还有不同于的实根演、々，且为、-鼠々成等差数列；

（3）若函数/（幻的极大值小于16,求/⑴的取值范围

变式8.（2024•浙江宁波•高三效实中学校考期中）已知函数/"）=g3-or2+（a+2）x+l（其

中。＞0）.

（1）求函数八］）的单调区间；

（2）若/（X）有两个不同的极值点4，4,求/（内）+/（工2）的取值范围.

题型三：三次函数的单调性问题

例7.（2024・陕西商洛•高三校考阶段练习）已知三次函数

/（X）=^X3-（4/ZZ-1）X2+|15"/一2加一7卜+2在R上是增函数，则m的取值范围是（）

A.m<2或m>4B.—4<m<—2C.2<m<4D.2<m<4

例8.（2024•全国•高三专题练习）三次函数/*）=〃疗7在（…收）上是减函数，则川的

取值范围是（）

A.tn<0B.rn<1C.m<0D.ni£1

例9.（2024•江西宜春•高三校考阶段练习）已知函数/。）=：/.勺1%2,^（x）=l_/nv,

m是实数.

（1）若/⑺在区间（2,+8）为增函数，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，函数/?（x）=/。）-以外有三个零点，求m的取值范围.

变式9.（2024.陕西榆林•高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数/（x）=a?+云-3在

x=l处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线3i+y=。平行.

（1）求/⑶的解析式；

（2）若函数g（x）=/（x）+如在区间（1,2）上单调递增,求阳的取值范围.

变式10.(2024.全国.高三专题练习)已知函数/(6=：/_|2火+4］在［1.2］上单调递增，则

。的取值范围为.

题型四：三次函数的况线问题

例10.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(X)=YT.

⑴求曲线尸/。)在点,/"))处的切线方程；

(2)设常数。＞0,如果过点P(w〃)可作曲线)，=/(©的三条切线，求的取值范围.

例11.(2024•江西•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=V-3Y+x-l.

(1)求曲线y=在点P(/J(/))处的切线方程；

(2)设/〃＞1,若过点。(见小可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-2加＜〃＜/(〃)

例12.(2024・江苏•高三专题练习)已知函数加+("1卜+2(〃£及)，f(x)

满足十/(-刈=4,已知点M是曲线)上任意一点，曲线在M处的切线为/.

(1)求切线/的倾斜角。的双值范围；

⑵若过点尸(1，〃?)(〃?工可作曲线＞'=/(x)的三条切线，求实数，"的取值范围.

变式11.（2024•安徽•高三校联考期末）已知函数/（x）=--/-丁+"a+3,在工=0处取得

6

极值.

（1）求"1的值；

（2）若过（2"）可作曲线y=/（力的三条切线,求f的取值范围.

变式12.（2024•陕西西安高三校考阶段练习）已知函数/（1）=尔-"2在点0J。））处的

切线方程为*+）—=（）.

（1）求实数的值；

（2）若过点（T〃7）（〃7WT）可作曲线），=/（"的三条切线，求实数用的取值范围.

变式13.（2024•全国•高三专题练习）设函数〃”=：父+奴2+左+。卜1<0）在x=0处取得极

值T.

⑴设点4（-4/（-。）），求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；

（2）若过点（0,0）可作曲线）=〃x）的三条切线，求〃的取值范围；

⑶设曲线y=/（x）在点（币/&））、（9,/（工2》（内内2）处的切线都过点（0，。），证明:

题型五：三次函数的对称问题

例13.（2024.全国•高三专题练习）给出定义：设f（x）是函数），=/（用的导函数，尸（X）是

函数），=/（幻的导函数.若方程/3=0有实数解X=%，则称（％/（%））为函数尸/⑴

的“拐点经研究发现所有的三次函数/（工）=6+加：2+以+以〃/0）都有“拐点”，且该“拐

点”也是函数＞=/（x）的图象的对称中心.若函数/（x）=F-3/，则

/।1/21/31/4044A/4045）,、

（2023J+-/12023J+-/1.2023J++12023J+2023J=

A.-8088B.-8（）90C.-8（）92D.—8096

例14.（2024.全国•高三专题练习）已知函数），=丁+3/+与的图象C上存在一定点;＞满足：

若过点P的直线/与曲线C交于不同于P的两点M（Avy）,N（w，%），就恒有）1+%的定值

为齐，则义的值为.

例15.（2024•新疆•统考二模）对于三次函数〃x）=o?+笈2+cx+d（aH0）,给出定义：设

/'（X）是y=/（x）的导数,。（刈是y=r（x）的导数,若方程。（同二。有实数解小，则称点

&，〃•％））为曲线y=/W的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点设函数

']2’2022、

履力="-3f+4X一3,则g+g++g

<20232023<2023；

变式14.（多选题）（2024.江苏南京.高三南京市江宁高级中学校联考期末）对于三次函数

/（"=次、+辰2+以+d（。工0）,给出定义：/'（X）是函数y=/（x）的导数,/（%）是函数

尸⑺的导数，若方程f〃（x）=（）有实数解则称（如/（%））为函数y=的“拐点”.某

同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐

点”就是对称中心.若函数一⑵+高，则下列说法正确的是（）

177

A./（力的极大值为宏

O

B./（x）有且仅有2个零点

C.点是/（工）的对称中心

1N/

'2023、

D.+…/=4046

焉上岛卜壶）<2024;

变式15.（多选题）（2024.广东佛山・高三南海中学校考期中）定义：设r（x）是f（x）的导

函数，尸W是函数尸（x）的导数.若方程/"（x）=0有实数解％，则称点■，/（/））为函数

），=/（"的”拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图

像的对称中心，已知函数〃"=加+加+全加。）的对称中心为（1,1），则下列说法中正

确的有（）

A.a=-b=-\

3t

B.函数/（x）有三个零点

C.过卜可以作两条直线与），=小）图像相切

D.若函数/（力在区间（，-6j）上有最大值,则0<Y3

变式16.（多选题）（2024.安徽阜阳•高三安徽省太和中学校考竞赛）定义：设尸（刈是

/（”的导函数，/"（"是函数/（力的导数，若方程/〃（力=。有实数解与,则称点

&J（x。））为函数），=/（"的”拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐

点''就是三次函数图像的对称中心.已知函数fix）=ad+以2+g（ab/0）的对称中心为（L1）,

则下列说法中正确的有（）

A.«=-,/?=-1

3

198199

++/

B./ToolooToo的值是199.

C.函数/（X）有三个零点

D.过-1,-可以作三条直线与)，=/(力图像相切

I3)

题型六：三次函数的综合问题

例16.(2024.全国•高三专题练习)已知函数““=父+法2+5+〃在(-oo,0］上是增函数，

在［0,2］上是减函数，且方程/(司=0有3个实数根，它们分别是。，夕，2,则人+才的

最小值是()

A.5B.6C.1D.8

例17.(2024・陕西西安・高三西安中学校考期中)已知函数/("二&+加+5+1(。工())，

r(x)=g(x)，给出下列四个结论，分别是：①a>0；②/(x)在R上单调；③/(汇)有唯

一零点；④存在％,使得g(%)<0.其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是

()

A.①B.②C.③D.©

例18.(2024•全国•高三专题练习)BSlf(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且

/(«)=/(h)=/(c)=0,现给出如下结论:

①/(x)Kl；②/3)23；③〃0)/⑴<0；

④/(。)/(3)>0；⑤心<4.

其中正确结论的序号是

变式17.(2024•黑龙江大庆•高三大庆实验中学校考期末)已知

32

f(x)=.r-x+6x-abc,a<b<cy口/(a)=/(/?)=f(c)=0,现给出如下结论:

①/(0)/(1)>0；②/(0)/(1)<0；③/(0)/(2)>0；④/(0)/(2)<0.

其中正确结论的序号为()

A.②③B.①④C.②©D,①③

变式18.（2024•湖北•高三校联考阶段练习）函数），=/（司的图象关于坐标原点成中心对称

图形的充要条件是函数y=.f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/（力的

图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数y=/（x+。）-〃为奇函数.已知函数

〃*）=./+混+br+l.

⑴若函数y=/（”的对称中心为（」2）,求函数），=/（》）的解析式.

⑵由代数基本定理可以得到：任何一元〃（〃eN・）次复系数多项式/（⑼在复数集中可以分解

为〃个一次因式的乘积.进而，一元〃次多项式方程有〃个复数根（重根按重数计）.如设实

系数一元二次方程。/2+平+4=0（生工0）,在复数集内的根为4，々，则方程

。2丁+qx+q）=0可变形为4（工_玉）（工一9）=0,展开得：-a^x^x-^a^x,=0则有

x^xi=~~

%=_%（再+%），即a2

0=附,

。xx=包

a2

类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，

①若4=0,方程/（1）=攵在复数集内的根为为、巧、王，当左£［0,1］时，求M十后十X的

最大值；

②若〃=一3,b=-2,函数y=/（x）的零点分别为七、*2、七，求4■+」+4■的值.

X、-"a

变式19.（2024•全国•高三专题练习）己知函数/（幻=/+加+B+1在（―⑼上为增函

数，在［0,6］上为减函数，且方程/（"=0的三个根分别为1小,勺.

（1）求实数8的取值范围；

（2）求片-4%占+¥的取值范围.

变式20.(2024.贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习)给出定义：设/'(X)是函数

)，=/(幻的导函数，尸(X)是函数y=f(x)的导函数，若方程广@)=0有实数解,见称

&,/(%))为函数)，=/*)的.“固点”.经研究发现所有的三次函数/(幻=加+加+以+"

("0)都有“固点”，且该“固点”也是函数)，=/(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关

知识回答下列问题：已知函数f(x)=x3+(3«-3)x2+(6a-9a2)x-5a(aeR).

⑴当a=-l时，试求y=『(x)的对称中心.

(2)讨论的单调性；

⑶当。=2时，/*)=机有三个不相等的实数根%</<8，当|内-不|取得最大值时，求川

的值.

题型七：三次函数恒成立问题

例19.(2024・全国•高三专题练习)已知三次函数的导函数f(x)=-3/+3且

/(())=一I,g(x)=xlnx+—(^>1).

x

(1)求八功的极值:

(2)求证：对任意不占近。，—)，都有了(“"但).

例20.(2024全国岛,三专题练习)设。为实数，函数一3一+G,s(x)=Mnx.

⑴求/(X)的极值：

⑵对于办Vx2el,e,都有/&)2g(占)，试求实数〃的取值范围.

例21.(2024•四川泸州•高三泸州老窖天府中学校考阶段练习)已知三次函数

/(x)=ar,+hx2-3x(«,Z?,ceR).

(1)若函数〃力在点(1J(1))处的切线方程是)，+2=0,求函数〃工)的解析式;