七升八数学暑假提升：实数

知识归纳

——i正数甫两个平方根，其中正的平方根，石叫作a的算术平方根

规定------i。的算术平方根是0,算术平方根等于本身的是。或1

算术平方根一

磷开方数一定是非负数，BPa>0;

双重非负性

②非负数a的算术平方极为非负数，即gzO.

一般地，如果一个数x的平方等于a,即C2=Q,

药法这个数x叫作a的平方根或二次方根.

平方根

-----正数有两个平方根，它们互为相反数，。的平方根是0,负数没有平方根.

开平方------i求一个数a的平月根的运算i

一般地，如果一个数X的立方等于a,即①3二

定义

那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.

立方根①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.

②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

开立方求一个数a的立方根的运算j

定义—;有理数和无理数统称为实数

有理数：有限小数或无限循环小数

分类

无理数：无限不循环小数（开方开不尽的数、化简后含有7T、有规律但不循环的无限小数）

实数

先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算

按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.

【知识点1平方根的概念及性质】

1.定义,一般地，如果一个数x的平方等于即工2=小那么这个数x叫作々的平方根或二次方根.

2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.

3.开平方的定义

（1）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.

（2）平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.

4.被开方数

正数。的正的平方根记为“标汽读作“根号a”，a叫作被开方数.

【知识点2算术平方根的概念及性质】

1.定义：正数。有两个平方根，其中正的平方根声叫作。的算术平方根.正数。的算术平方根用四

来表示.

2.性质：（1）一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根,0的算术平方根是0

（2）算术平方根g的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即。川；②非负数。的篁术平方根为

非负数，即gK）.

【典例1】下列正确的是（）

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专题02实数（学生版）

A.6是36的算术平方根，即屈=±6B.6是（一6『的算术平方根，即/^=6

C.±7是49的平方根，即土回二7±2是4的平方根，即4=±2

【典例2］炕的算术平方根是（

【典例3】若广行M+5^33+15,则'的算术平方根为.

x

【知识点3立方根的概念及性质】

L概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于〃，即/=〃，那么这个数x叫作〃的立方根或三

次方根.类似于平方根，一个数4的立方根记为“窗”，读作“三次根号〃"，其中。是被开方数，3是

根指数.

2.性质：①每个数a有且只有一个立方根,其中a可正、可负、可为0.

②正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

【典例4］己知的二方与双巧互为相反数，求2工十4的平方根.

23

【典例5】已知X=64,（＞，-1）+3=4,且xj,则土的平方根为_______.

8y

【知识点4实数的概念及分类】

1.有理数和无理数统称为实数.

2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数,无限不循坏小数都是无理数.

常见的无理数形式：

①开方开不尽的数，如石，力等；

②化简后含有兀的数，如九，

③有规律但不循环的无限小数,500.1010010001...

3.实数的分类:

按定义分：实数有理数：有限小数或无限循环小数

无理数：无限不循环小数

正有理数

正无理数

按符号分：实数

负有理数

负无理数

221

【典例6］在下列各数：兀，y,-也,%T,3.1415,-2.10101010……,5.1717717771……（每个

1之间依次多一个7）中，无理数的个数（）

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专题02实数（学生版）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【知识点5实数与数轴的关系】

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数

和数轴上的点是一一对应的.

【典例7］如图，正方形43。。的面积为7,顶点/在数轴上表示的数为1的点处，若以点片为圆心,

/加的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点区则点E所表示的数为（）

A.、斤B.l-x/7D.出+1

【知识点6实数的运算】

实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运

算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同

样适用.

实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最

后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号先算括号内的.

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近限值时，一般先用近似有限小数（例如，

比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.

【典例8】计算：（1）川-出+（-6『+（后『；（2）ipri+12-41-^（x^-3）2.

【知识点7实数大小比较】

L利用数轴比较实数大小

（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数;

（2）两个正数，绝对值大的数较大；

（3）两个负数，绝对值大的数反而小。

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2.无理数大小的比较

估算法：

(1)若0Kq<a<%，则如<\[a<y[a^；

(2)若q<白<%，贝U弧<\Ia<轲;

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离。最近的两个平方数和立方数，来估算〃和妫的大

小.例如：9<a<16,则3(石<4；8<a<27,则2〈也<3.

常见实数的估算值：x/2^1,414,6=1.732,石=2.236.

【典例9]如果正整数〃满足：〃<网<〃+1,那么〃的算术平方根是______.

举一反三

考点一：由算术平方根的非负性求值

例1.若卜+2|+国T+(Z—3)、0,则X+F+Z的值为()

A.0B.1C.2D.3

【变式1“】若卜-2026|+，力+2026=2,其中d〃均为整数，则|。+〃|=.

【变式1・2]已知：y=&不+&-+〈，求代数式/♦+上+2-、1+上-2的平方根.

2yyxyx

【变式1・3】已知a,b,c都是实数，且满足(2-4)2+5/4，+6+一+[+8|=0,尔+/?x+c=0.求:

(l)a,b,c的值；

(2)77=的值.

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考点二：算术平方根的有关规律探究

例2.按一定规律排列的单项式：x,瓜艮3…,第〃个单项式为（）

A.A〃-我"B.A/LL/IC.瓜田D.Gx"

【变式2・1】将1,a,73,6按如图方式排列，若规定（见〃）表示第加排从左向右第〃个数，则（3,1）

与（21,2）表示的两数之和是（）

।mut

J2J3第2抻

J6IJ2第3播

JTJ6IJ3第4推

JTJTIJ2JT第5博

A.2B.2V2C.V2+V3D.2x/6

【变式2・2】有这样一列数他们分别是石，国,屈,阚，V125,……，按照此规律，笫11个

数是.

【变式2・3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

第1个等式：第-2xlxl+l=&=0;第2个等式：V22-2x2xH-l2=Vi=l；第3个等式:

,32-2x3x1+12=4=2;第4个等式：“2-2x4x1+12=&=3;……

规律发现：

(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：

①j5，-2x5xl+12=；

②JloF-2x101x1+〃=•

(2)用含〃(〃为正整数)的代数式表示出第〃个等式：.

⑶根据上述规律计算：

Vlf-2xlxl+l2-V22-2x2xl+l2+x/32-2x3xl+l2-742-2x4xl+l2

+……+V20252-2x2025x1+12-720262-2x2026x1+12

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考点三：被开方数小数点移动规律探究

例3.根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（）

X1515.115.2153

二225228.01231.04234.09

X15.415.515.615.7

2237.16240.25243.36246.49

①J228.01=15.1;

②235的算术平方根比63小；

③1231040=1520;

④根据表中数据的变化趋势，可以推断出15"比157增大3.25.

A.1B.2C.3D.4

【变式小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

2

k225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断：

①2.4649的平方根是±1.57

②240的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间；

③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差大于3.19

④一定有3个整数的算术平方根在15.1〜15.2之间

其中正确的序号是（）

A.①②③B.C.①②④D.①②③④

【变式3・2】小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：

1616.116.216316.416.516.616.716.816.917

256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根据表中的信息判断下列结论中，正确的有.（填序号）

①275.56的平方根是±16.6；②265的算术平方根比16.3大；

③12.7889=1.67;④只有4个正整数〃满足16.4<6<16.5.

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【变式3・3】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题.

X••・0.0640.6464640064000・・・

・・・0.252980.88m252.98・・.

4••.0.40.8618n18.56640•••

（1）表格中的〃?=，〃=;

（2）已知&?=3.873,后=1.22474,估计和疝I?的值；（结果保留四位小数）

⑶若&t14.1421,师班,估计”+b的值.（参考数据：

夜641421，病=4.4721,打之1.9129,炳=0.88790）.（结果保留四位小数）

考点四：由立方根的性质求值

例4.3知戈为实数，且近力+疡工1=0,则f+x+2的算术平方根为（）

A.41B.后C.2D.4

【变式4・1］已知Jx+l+（y-2>=0,且比二五与抬IM互为相反数，求广7的平方根.

【变式4・2］我们知道。+5=0时，/+/=0也成立，若将a看成a，的立方根，6看成尸的立方根,

我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.

（1）上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个反例：

⑵若折石与国。互为相反数，求1-4的值.

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【变式4・3】先阅读材料•，再解答问题.

•••-亚=-1,口=7,

；「沈二口

•.•一m=-2,^=-2,

:「状=0.

•・历=-3,</^27=-3,

：.-^27=^27.

•—•

(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为

(2)计算g+Q+4?+...+仁丽的值.

考点五：求大数的立方根

例5.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一

道智力题：某正整数〃的立方是59319,求这个正整数〃.华罗庚脱口而出：39.

华罗庚迅速求出立方根的过程如下：

①由10,=1000,10()3=1000000,可以确定〃是两位数；

②由3()3=27000,40:64000,27000<59319<64000可知，〃的十位上的数字是3;

③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9,所以确定〃的个位上的数字是9,

所以〃=39.

请你根据上述步骤求出74088的立方根是.

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【变式5・1】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有

一道智力题：一个数是59319,希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.乘客十分惊讶，忙问计

算的奥秘.你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：(1)由

1()3=1000,1()03=1000000,可以确定/9319是两位数.由59319的个位上的数是9,可以确定/59319

的个々上的数字是9,如果划去59319后面的三位319得到数59,而3:27,43=64,由此可以确

定59319的十位上的数字是3.据以上方法可得冷丽=.

【变式5・2】(1)填空

①由I(P=1000,1003=1000000,可以确定119683是位数；

②由19683的个位上的数是3,可以确定布面的个位上的数是;

③如果划去19683后面的三位数683得到19,而2=8,3$=27,由此可以确定晒丽的十位上的数是

;最后就可以求出晒面的值了.

(2)己知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根.

【变式5・3】课堂上老师提出一个问题：”一个数是74088,它的立方根是多少？”小明脱口而出：

“42”.老师十分惊奇，忙问计算的奥妙.小明给出以下方法：

①由1()3=1000,10()3=1000000,能确定痂藏是两位数；

②由74088的个位上的数是8,因为23=8,能确定痂藏的个位上的数是2；

③如果划去74088后面的三位088得到数74,而4?=64,5?=125,由此能确定痂丽的十位上的

数是4.(提示：6、=216,7?=343^=51293=729)

已知师丽为整数，请利用以上方法，则师丽的每位数上的数字之和为()

A.15B.16C.17D.19

考点六：平方根与立方根综合求值

例6.已知一个正数的平方根分别为2b-1和〃-2,1-3c的立方根为-2,。为大于百的最小整数.

(1)求a,b,c的值；

(2)求2c-a/)的算术平方根.

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【变式6・1】已知岳同+|y-21=0,且班二五与工。互为相反数,

(1)求X、V、z的值；

⑵求3z+2y的算术平方根；

⑶求5x7的立方根.

【变式6・2】已知：。的平方根是它本身，5〃+17的立方根是3,3A+?/〃的算术平方根是4.

⑴直接写出mb,加的值;

⑵求。+3"机的平方根；

(3)若痂的整数部分是小小数部分是六计算号的值.

【变式6-3］己知一个正数的平方根为2〃+1和4-3〃.

⑴求〃的值；

(2)若M+7|++(c-=0,则Jf+2b+c的立方根是多少?

考点七：无理数的估算

例7.若整数x满足6+MWXWA+3,则x等于()

A.12B.11C.10D.9

【变式7・1］若正整数a、b分别满足痣＜a〈叔&＜b＜屈,则//1=()

A.1B.3C.6D.9

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【变式7・2】阅读材料：大家知道交是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此及的小数部分我

们不可能全部地写出来，于是小明用及-1来表示拉的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实

上，小明的表示方法是有道理的，因为上的整数部分是1,用夜减去其整数部分，差就是小数部

分.根据以上材料，解答下列问题：

(1)如果回=4+人，其中”是整数，且()＜力＜1,那么。=,b=；

(2)已知4=5x+6y,A-3x+8y,且x为晒-3的整数部分，少为晒-3的小数部分，比较A与S的大

小.

【变式7・3】【阅读理解】

信息I：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如2＜若＜3,是因为"〈不〈出;

信息2：因为石介于2和3之间，所以石的整数部分是2,小数部分可以表示为石-2.

【问题解决】

(1)75的整数部分是，小数部分是;

(2)判断、用+1介于哪两个相邻的整数之间；

⑶若闻-3=x+y,其中x是整数，且。＜”1,则N的相反数为;

(4)已知19-后的小数部分是机，9+的小数部分是〃，且(x-1)2=机+〃，求x的值.

考点八：探究无理数的近似值

例8.阅读材料1.

上是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此上的小数部分不能全部写出来，但曰于1〈尤＜2,

所以及的整数部分为1,将拉减去其整数部分1,差就是小数部分，其小数部分为行-I.

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专题02实数（学生版）

（1）已知9+石=x+y,其中x是整数，且（）<V<1,求7-y的值；

阅读材料2.

小李同学探索呵的近似值的过程如下：

・・•面积为167的正方形的边长是病且12<历<13,

・・・可设炳=12+x,其中0<x<l,画出示意图，如图所示.根据示意图，可得图中正方形的面积

S正方形=12,+2X12X+X2；又・・"正雄=167，・・.12?+2X⑵+/=167・由可忽略产，得

144+24x*167,得到X=0.96,EfV16712.96.

（2）仿照材料2中的方法，探究解答府的近似值.（要求：画出图形，标明数据，结果保留两

位小数）

【变式8-1］综合与实践：小李同学探索廊的近似值的过程如下

•・•面积为86的正方形的边长是屈，且9cA<10,

，设底=9+x,其中0<x<l.

通过数形结合，可画出正方形的面积示意图:

,**S正方形=86,

814-2X9X+X2=86.

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专题02实数（学生版）

当，<1时,可忽略小,得81+18—86,解得以0.28,即底。9.28.

⑴填空：夜的整数部分的值为;

（2）仿照上述方法，探究反的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，

并写出求解过程.）

（3）卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长.已

知太阳能板的面积为137平方米，工程师采用类似病的近似方法优化材料用量.若忽略寸后近

似计算炳=11.73,实际需保留/项修正.设戈=0.73,通过计算，验证近似值的误差（保留两位小

数）.

【变式8・2】阅读材料，完成下列任务：

因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：乐及等,

而常用的“…”或者心”的表示方法都不够百分百准确.

材料一：•二衣<行<石，即2<6<3,/.l<V7-l<2.

的整数部分为1,小数部分为2.

材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.

我们知道面积是2的正方形的边长是亚，易知0>1,因此可设及=l+x可画出如图示意图.

□工X

M

□Ed

解：由图中面积计算，S正方形=f+2xl.x+l,

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专题02实数（学生版）

S正方形=2,.d+2x1•x+1=2•

门是拉的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略V,

，得方程21+1=2,解得工=0.5,即翻。1.5.

解决问题：

（1）利用材料一中的方法，若x是而+2的小数部分，y是07的整数部分，求"J的值.

（2）利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究石的近似值.（画出示意图，标明数据，并

写出求解过程）

能力提升

1.下列说法：①-2是4的平方根；②16的平方根是4；③-125的平方根是±15；④0.25的算术平

方根是0.5；⑤条的立方根是《；⑥屈的算术平方根是9.其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在数轴上，点A表示及，点“表示病，则A,"之间表示整数的点共有1）

-------1------1--------------r1-------->

0>/2\60

A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把拉表示在数轴上点4处，记4右测最近的整数

点为4,以点片为圆心，4片为半径画半圆，交数轴于点4,记4右侧最近的整数点为以点当

为圆心，4与为半径画半圆，交数轴于点4，则点4表示的熨数为（）

4.数学解密：若第一个式子是内=x/?+x/T,第二个式子是后=次+4,第三个式子是

商=厉+而，第四个式子是廊=闻+屈…，观察以上规律并猜想第六个式子是

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专题02实数（学生版）

5.观察表中的数据信息：则下列结论：①J2.28O1=L51；②J23409-,23104=1；③只有3个正数。

满足15.2＜而＜15.3;©V2.3104-l,51＜0.其中正确的个数有个.

a225228.01231.04234.09237.16・・・

1515.115.215.315.4・••

6.已知一个正数〃?的两个平方根分别是2〃+1和4-3〃.

⑴求机和〃的值；

（2）若|”4|+/+（c-〃y=0,求a+Hc的算术平方根.

7.已知实数〃、〃、。在数轴上的位置如下，化简同+卜4+卜+1—J（c—4一炳7.

III111・

ha-1Oc1

8.大家知道上是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此0的小数部分我们不可能全部写出

来，而1＜也＜2,于是可用后-1来表示上的小数部分.

例如：♦.•内＜加〈加，即3〈而＜4,

.•.加的整数部分为3,小数部分为（布-3）.

请解答：

（i）M的整数部分为〃，是，小数部分〃为,〃?-〃+初的值为.

⑵己知2的立方根为-2,28-1的算术平方根是5,c是质的整数部分，求a+力-c的平方根.

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专题02实数(学生版)

9.小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-50653的立方根？他进行了如下步骤：

①首先进行了估算：因为IO=］。。。，io。：loooooo,所以独而是两位数；

②其次观察了立方数：r=1，23=8,33=27,4，=64,5:125,63=216,7:343,83=512,93=729;

猜想廊瓦的个位数字是7；

③接着将50653往前移动3位小数点后约为50,因为3:27,4，=64,所以廊史的十位数字应为

3,于是猜想》50653=37,验证得：50653的立方根是37；

④最后再依据“负数的立方根是负数''得到式碱=-37,同时发现结论：若两个数互为相反数，则

这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：

(1)1-117649;；

⑵若VTZ+为=0,贝”=；

(3)已知/^I+2=x,且班户与VT三互为相反数，求x,歹的值.

10.对于实数。，我们规定：用符号［问表示不大于G的最大整数，称［6］为。的根整数，例如：

［囱］=3,［痴］=3；还可以对G连续求根整数，直到结果为1为止，例如：对10连续求根整数2

次：［加］=3,［6］=1,得到结果为1.

(1)仿照以上方法计算：［而］=;

(2)对123连续求根整数，次之后结果为1;

(3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计

算说明.

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专题02实数（解析版）

知识归纳

定义!——i正数相两个平方根，其中正的平方根《叫作a的算术平方根.

规定|~~To西宜来南后植鱼0,宜未幸方痕琴于木耳的息。晟「

算术平方根

—①被开方数一定是非负数,即a20；

②非负数a的算术平方根为非负数，即420.

_____一般地，如果一个数x的平方等于a,即a?=Q,

那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

——正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有平方根.

开平方

一般地，如果一个数x的立方等于a,即a?=

那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.

立方根①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.

②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是。

开立方求一个数a的立方根的运算

定义_i有理数和无理数统称为实数

有理数：有限小数或无限循环小数

分类

无理数：无限不循环小数（开方开不尽的数、化简后含有开、有规律但不循环的无限小数）

实数------实数和数轴上的点是----对应的.

实数的大小比较——i估算法、平方法、作差法、利用数轴等

先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算

按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.

【知识点1平方根的概念及性质】

1.定义：般地，如果个数大的平方等丁m即/_〃，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.

2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.

3.开平方的定义

（1）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.

（2）平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.

4.被开方数

正数。的正的平方根记为“迎”，读作、、根号"'，。叫作被开刀数.

【知识点2算术平方根的概念及性质】

1.定义：正数。有两个平方根，其中正的平方根北叫作。的算术平方根.正数。的算术平方根用日

来表示.

2.性质：（1）一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根,0的算术平方根是0

（2）算术平方根低的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即e0；②非负数。的算术平方根为

非负数，即於0.

【典例1】下列正确的是（）

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专题02实数（解析版）

A.6是36的算术平方根，即廊=±6B.6是（-6『的算术平方根，即/f=6

C.±7是49的平方根，即±弧=7D.±2是4的平方根，即4=±2

【详解】解：A.6是36的算术平方根，即质=6,因此选项A不符合题意；

B.6是（-6『的算术平方根，即/可=6,因此选项B符合题意；

C.±7是49的平方根，即±廊=±7,因此选项C不符合题意；

D.±2是4的平力根，即±"=±2,因此选项D不符合题意.故选：B.

【典例2］而的算术平方根是（）

A.-4B.4C.8D.2

【详解】解：=4,

加的算术平方根是4=2,故选:D.

【典例3】若y=j3-5x+j5x-3+15,则上的算术平方根为.

X

【详解】解：由题意可得解得：.・.y=x/TM+而二5+15=15,

5.r-3>05

・・.2=25,・・.2的算术平方根是5.故答案为：5.

XX

【知识点3立方根的概念及性质】

1.概念及表示：一般地，如果一个数;v的立方等于即/=0,那么这个数尢叫作a的立方根或二

次方根.类似于平方根，一个数。的立方根记为“窗”，读作“三次根号〃"，其中。是被开方数，3是

根指数.

2.性质：①每个数a有且只有一个立方根,其中a可正、可负、可为0.

②正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.

【典例4】已知%-2、与#3x-7互为相反数,求2x+4的平方根.

【详解】解：由题可得l-2x+3x-7=0.解得x=6.

/.2x+4=2x6+4=16.

•••16的平方根是±4,

.•.2x+4的平方根是±4.

23

【典例5】已知A-=64,（y-l）+3=-1,且xj,则土的平方根为______.

Xy

【详解】解:•*,x2=64,x=±8,

v（^-i）3+3=-1,A（y-^=~r

oo

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专题02实数（解析版）

・13.1

・.尸二一,，­•=»

a

\x<yfAx=-8,

."［=16

・・y,,

2

•；16的平方根是±4,故答案为：±4.

【知识点4实数的概念及分类】

L有理数和无理数统称为实数.

2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数,无限不循坏小数都是无理数.

常见的无理数形式：

①开方开不尽的数，如石，炎等；

②化简后含有兀的数，如兀，

2

③有规律但不循环的无限小数，ino.ioiooioooi...

3.实数的分类：

实数I有理数：有限小数或无限循环小数

按定义分:j无理数：无限不循环小数

（正有理数

正数4

正无理数

按符号分：实数b

（负有理数

负无理数

221

【典例6］在下列各数：冗，—,-V3,圾1,3.1415,-2.10101010……，5.1717717771……（每个

1之间依次多一个7）中，无理数的个数（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

22I

【详解】解：在不，y,-6，可，3.1415,-2.101010W……,5.1717717771……中，无理数有不、

-£、呵、5.1717717771……,共有4个，故选：B.

【知识点5实数与数轴的关系】

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数

和数轴上的点是一一对应的.

【典例7］如图，正方形相CQ的面积为7,顶点/在数轴上表示的数为1的点处，若以点片为圆心,

力笈的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E,则点E所表示的数为（）

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专题02实数（解析版）

【详解】解：.••正方形力8c。的面积为7

・・・正方形的边长为疗，即45="

根据题意，

AE=AB=/1

・・,点片是数轴上表示1的点

・••点E所表示的数为4+1；故选：D.

【知识点6实数的运算】

实数之间不仅可以进行加，减，乘，除（除数不为0）,乘方运算，而且正数及。可以进行开平方运

算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同

样适用.

实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最

后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号先算括号内的.

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近取值时，一般先用近似有限小数（例如，

比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四合五人.

【典例8】计算：（1）圾-新+（-6『+（y『；（2）次如2刊_4卜.

【详解】（1）解：次-囱

=2-3+2-3

=-2；

（2）解：V^+‘石—4卜,（6-3）2

=-3+4-26+6-3

=-2-x/3.

【知识点7实数大小比较】

1.利用数轴比较实数大小

（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数:

（2）两个正数，绝对值大的数较大：

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专题02实数(解析版)

(3)两个负数，绝对值大的数反而小。

2.无理数大小的比较

估算法：

(1)若0Kq<Q<，贝用<右<4；

(2)若q<a<%，贝I弧<\fa<如；

根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离。最近的两个平方数和立方数，来估算石和妫的大

小.洌如：9<a<16,则3〈石<4；8<a<27,则2〈必〈3.

常见实数的估算值：及0.414,5AM.732,后42.236.

【典例9］如果正整数〃满足：〃〈牺<〃+1,那么〃的算术平方根是—.

【详解】解：•・,正整数〃满足："<病<〃+1,

XV81<89<100,

/.9<x^9<10,

，〃=9,

・•.〃的算术平方根是3.故答案为：3.

举一反三

考点一：由算术平方根的非负性求值

例1.若1+2|+Jy+l+(z-3)2=0,则x+P+z的值为()

A.0B.1C.2D.3

【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出％,九z的值，进而得出答案,

掌握非负数的性质是解题的关铤.

【详解】解：・・・|x+2|+屈T+(Z-3『=0,

x+2=0,y+\=0,z-3=0,

x=-2,v=-1.z=3.

x+y+z=-2-l+3=0,故选：A.

【变式1・1】若卜-2026|+〃+2026=2,其中a,方均为整数，则|。+耳=.

【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导2026|与屈幅都是非负整数，继而分①当

1-2026|=0»"+2026=2时,②当卜-2026|=1,办+2026=1时,③当|a-2026|=2,"+2026=0时,分钟情

况讨论即可得解.

【详解】解：因为|"2026|+的+2026=2,其中〃，/)均为整数，|a-2026|>0,>A+2026>0.

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专题02实数（解析版）

所以2026卜与阮丽都是非负整数，

①当卜-2026|=0,76+2026=2时，

a=2026,Z?=-2022,

所以|a+b|=|2026-2022|二4；

②当|a-2026|=1,办+2026=1时，

a=2027或。=2025,b=-2025,

所以,+耳=|2027-2025|=2或,+目=|2025-2025|=0；

③当卜-2026|=2,a+2026=0时，

a=2028或。=2024,b=-2026,

所以|0+6闫2028-2026|=2或|a+b|=|2024-2026|=2.综上所述，|。+目的值为0或2或4.

【变式1・2］己知：y=++求代数式上+上+2-土+2-2的平方根.

2VvxNyx

【答案】±1

【分析】本题考行的是算术平方根的非负性，平方根，根据己知和算术平方根的非负性求出X、y的

值，把工、p代入代数式进行进行求解即可.

【详解】解：由题意可知1-8壮0,8.r-l>0,

1

则让9x>—,

O8

..x=-y=；,则：+上+2J+4+2=—，*_2=94_2《

844

"i,

22

VI的平方根为±1,

・.,代数式修W+K的平方根为±1.

【变式1・3】已知a,b,。都是实数，且满足（2-。f+石三T77+卜+8|=0,ax~+bx+c=Q.求：

（l）a,b,c的值；

的值.

【答案】（1）2,4,-8；（2）2.

【分析】本题考查绝对值和算术平方根非负性，代数式求值，求算术平方根.熟练学握非负数的和

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专题02实数（解析版）

为0,每个非负数均为0,是解题的关键.

（1）利用非负性求出a,b,。的值；

（2）将mb,c的值代入V7W求解即可.

【详解】（1）解：・••（2-炉+必许X+|c+8|=0,

.•.2—=0,/+6+。=0,。+8=0,

.