2026年高考全国2卷数学试题（含解析）

2026年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）

数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1（E=（）

A.—8+6iB.-8—6iC.8+6iD.8-6i

2.己知集合4={0』,3,6,9},Z?={x|V7=x},则4nB=()

A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9；D.{0,3,9}

3.已知a+b=1,万一则£.g=()

\_11

A.B.一D.

232

4.己知双曲线C：<a>0>b>0）过点（1,0）和则双曲线。的渐近线方程是

a2F

()

A.y=±3y/2xB.y=±2^3x

D-y=±TX

5.已知校台的上下底面均为的一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为

G，则该棱台的体积为（）

19191919

A.—B.—C.—D.—

12642

6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成4、8两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有（）

A.10种B.12利1C.16种D.24种

(ll1+sina

7.己知。为第二象限角,且3sin2acosa=8sinacos2a,)

3

-315

A.4B.一C7D.——

512

3

8.己知函数/（x）为偶函数，且满足/（x）+/（x—2）=0,且当xw-,3时，/'（》）=犬+以+方，则

()

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A.6f=-2>b=-3B.67=-2,b=3

Ca=-4,b=-3D.a=-4,b=3

■

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得。分）

9.己知圆O：x2+y2=\,圆力：x2+y2-6x-Sy+k=0,则下列说法正确的是（）

A.点/的坐标为（一3,-4）

3%=9时，圆4与x轴相切

C.当攵二一11时，圆/与圆。相切

D.当圆4与圆。相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-4-2=0

10.已知等比数列｛q｝的公比q工1,且%>0,2%=4+。2,记数列｛〃”｝的前〃项和为S,,,则

（）

102

A.q=--B.S>—ci,

“2M31

c.2Sn+2=Sn+]+SnD.S]+S?+•••+$.

11.已知抛物线£：/=8x,有一斜率为〃（〃>0）的直线/过点（TO）,点4在抛物线E上，B,C两

点在直线/上，旦V/BC为等边三角形，则（）

A.抛物线E的准线方程为x=-2

B.当直线/与抛物线笈无交点时，k>41

C.若直线/与抛物线E相交于唯一一点8,则抛物线E的焦点在直线上

D.当攵=2时，V44c面积的最小值为也

15

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设S”为等差数列｛%｝的前〃项和，若为=-1,%=5,则$6=.

13.若函数/（X）=2]+22T一阳有两个零点，则”的取值范围是.

14.已知球。的体积为匕=4行兀，点4B,C,。均在球表面上，若V/BC为正三角形，且

DA=DB=DC=C，则邑.=•

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

第2页/共4页

15,某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

间”与“对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设p为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求方；

（ii）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件

数，若X〜3（100力），求E（X）和。（X）.

16.如图，在三棱锥力一中，点E在8。上，AE1CE,AEIDE,CD1AD.

（1）求证：CQ_L/B；

⑵若DE=2,BE=1,AE=C，CD=2道.求直线与平面NBC所成角的正弦值.

17.在V48c中，已知cos3=；,cos2（z4+C）+siTvfsinC=l.

（1）证明：V/8C为钝角三角形；

（2）若V48C的面积为且，求V48C的周长.

4

18.椭圆£：[+/=]过右焦点且与x轴垂直的直线被后截得的长度为五.

（1）求上的离心率.

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(2)。为坐标原点，给定点G&,o)(f。工0),过点4作y轴的垂线，垂足

为B,40与GB交于点P.当4在E上运动时，p的轨迹为".

(1)求〃的方程；

(ii)加是否有中心点？当L为何值时，M有中心点？当/有中心点时，平移/到M',使。为AT

的中心点，说明的形状.

19.已知函数/(x)=xe'+。二+小，曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线为y=-2x+l.

(1)求。，b；

(2)当x>0时，/(x+加)一/(1)>〃7,求机的取值范围；

(3)当x>0时，/'(工+左)+/(〃一.丫)>2/'(%),求A的最小值.

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

2

1.(l-3i)=()

A.-8+6iB.—8—6iC.8+6iD.8-6i

【答案】B

【解析】

【详解】(l-3i)2=l-6i+(3i)2=l-9-6i=-8-6i

2.己知集合/={0,1,3,6,9},B==x|

,则“「18=()

A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9)D.{0,3,9)

【1A

【解析】

【详解】由题可得8={0』},所以4c3={0,1}

己知a+b则£.刃=(

3.=1,M-E=G,)

11_

AB.-C.,1D.

-I332

【答案】D

【解析】

【详解】由万十5=1,得a+b'=\,

所以（3+彼『二1,即G?+2).6+32=1；

由a—B=V3»得G—B=3>

所以（1一月『二3,lip^-2a^+P=3.

两式相减,得4a石=-2,

1

所以U'b=---

2

x

4.已知双曲线C：2=1(a>0,/)>0)过点(1,0)和则双曲线C的渐近线方程是

)

C+6

A.y=±3y/2xB.y=±2y/3xcy=±——x

-6

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【答案】B

【解析】

【分析】把点（1,0）和代入双曲线方程求出a,b,再求出渐近线方程即可.

【详解】把点（1,0）和,代入双曲线方程可得

/=1

4--^=i=>b2=i2=a=1

ab…八b=2道

,八a>0,6>0

a>0A,b>0'

所以双曲线方程为/一二二1,

12

故该双曲线渐近线方程为y=±2辰.

5.已知棱台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别为2和3,若该棱台的高为

6,则该棱台的体积为（）

19191919

A.—B.—C.—D.-

12642

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.

【详解】由题意，得棱台的上底面面积为2x!x2x2xsin600=2jJ,

2

下底面面积为2x~!"x3x3xsin6O'=%m，

22

所以该棱台的体积为gx2JJ+\2JJX孚+券）xJJ=；x2舟3舟当x昌*

6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成4、8两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不

能在一起，则不同的分配方案有（）

A.10种B.12种C.16种D.24种

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【答案】C

【解析】

【分析•】对甲、乙两人都在力小组和8小组进行分类，结合计数原理求解即可.

【详解】情况1：甲、乙两人都在4小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在力组，另一个在8组.

若丙在力组，丁在8组：此时力组已有｛甲，乙，丙｝,还差1人；

8组已有｛丁"还差3人，

则从剩余4人中选1人进”组，方案数为C；=4.

若丁在4组，丙在8组：同理，方案数为C；=4.

所以当甲、乙在力组时，方案数为4+4=8种.

情况2：甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在〃组的情况与在4组的情况完全一致，

安排丙、丁：同样是丙在4组或丁在4组两种情况，方案数各为C：=4,

所以当甲、乙在8组时，方案数为4+4=8种.

故所有分配方案共有8+8=16种.

1+sina

7.已知。为第二象限角，且3sin2acosa=8sinacos2a,贝J------------=()

2-cosa

33八i15

A.-B.-C.-D.—

45212

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式化简可得3cos%=4(2cos2a-l),结合角的范围分别求出cosa,sina即可求

解.

【详解】由3sin2acosa=8sinacos2a,得：6sinacos2«=8sincr(cos2«-sin2cr)

因为a是第二象限角，所以sina>(),cosa<0,

化简得：3cos2cr=4(2cos2,即cos2a=±

5

由于cosacO,解得：cosa=--------，

5

因为sinQ>0,所以sina=J1-cos2a=*,

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1+.3

l…1+sinas］_

所以二-------=------广

2-cosa2A/52

2H-----

5

3

8.已知函数/(x)为偶函数，且满足/(x)+/(x-2)=0,且当xw-,3时，f(x)=x2+ax+b,则

乙

()

A.a=—2，/?=-3B.a=—2,b=3

C.a=-4,Z?=-3D.a=-4,b=3

【答案】D

【解析】

【分析】根据/(x)+/(x-2)=0挂出周期性厂=4,分析可得/(1.5)=/(2.5),得到。，再由/(-1)=0可得

b.

【详解】/(x)+/(x-2)=0,则f(x+2)+/(x)=0,

f(x+4)=+2)=/(x),即/(x)的周期为4,

结合奇偶性，周期性，故/(1.5)=/(-2.5)=/(2.5),

在［1.5,3］上满足/(1.5)=/(2.5),说明f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=2,

则一q=2,解得a=4,

2

又根据人工)+/(x-2)=0知/(I)+/(-1)=0,而/(I)=/(_1),

M/(-l)=0,于是/(3)=/(-1)=0,

即/'(3)=9+3〃+6=9—12+力=0,解得6=3

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得。分)

9.己知圆。：x2+y2=\,圆月：x2+/-6x-8y+A=0,则下列说法正确的是()

A.点4的坐标为(-3,-4)

B.无=9时,圆/与X轴相切

C.当左二一11时，圆力与圆。相力

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D,当圆力与圆。相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-A—2=0

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,求出。力的圆心坐标即可判断；

对于B,利用圆心4到x的距离即可判断：

对于C,求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；

对干D,将两个圆的方程相减化简即可求解.

【详解】由€)力：/一6工一8»+%=0,化简可得(x-3)2+(y-4)2=25-Z,

所以“<25,04的圆心力(3,4),半径/二后二不，故A错误；

对于B,由％=9,得。％的半径/•二后=1=4,所以圆心43,4)到x轴的距离"二4=八即与x

轴相切，故B正确；

对于C,由左二一11,得。/的半径〃=J1=6，由于。。的圆心为(。,。)，半径/=1,所以

\p^\=5=r-r,,则。。与内切，故C正确；

对干D,由(12+j2-6工一8歹+4)—(工2+F2-1)=0,化简得：6x+8y-左一1=0,

所以。。与。力两个交点所在直线的方程为6x+8y—%-1=0,故D错误.

10.已知等比数列｛〃”｝的公比夕工1,且4>0,2%=4+生，记数列｛%｝的前〃项和为2,则

()

Ic2

A.g=­B.S>—ci.

“2〃3।

2〃

C.25W+2=Sn+]+SnD.S[+S?+…+S”

【答案】ACD

【解析】

【分析]设等比数列｛6,｝的公比为q,根据条件列出关于9的方程，求解可得“的值，判断A；利用特值法

可判断B：根据等比数列的前〃项和公式，求得S"I+S“，S〃+2,化简可判断c；求出胃工，由(-3)

的取值情况，结合不等式的性质，判断D.

【详解】设等比数列｛(｝的公比为4,则2a闻2=。国+卬，即4(2夕:

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因为。1>0,所以2g2_g_i=0,即（2q+l）（夕—1）=0.

因为9工1,所以夕一1。0,所以2夕+1=0,即夕=-」,

所以A正确.

1?

因为q>0,则52=5囚<§《，所以B错误.

"+i

普2+」

=2S”+2.

所以C正确.

第6页/共24页

/1\w/1\n

当〃为奇数时，1——I=1+—>0：

I2)[2)

当〃为偶数时，因为(工］<-；所以1一(一>->0,

⑶2I2)⑴2

所以等1---->°,即£SA>与1•.

，LI」*=■J

所以D正确.

11.已知抛物线E：/=8x,有一斜率为攵(％>0)的直线/过点(TO),点力在抛物线E上，B,C两

点在直线/上，且V48C为等边三角形，则()

A,抛物线E的准线方程为x=-2

B.当直线/与抛物线石无交点时，k>41

C.若直线/与抛物线上相交于唯一一点R,则抛物线£的焦点在直线44上

D.当〃=2时，V/8C面积的最小值为正

15

【答案】ABD

【分析】A选项，根据抛物线方程得〃，进而得出准线方程；B先项，设直线/为y=代X+1),和抛物线方

程联立消去X,令A<0求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点8,假设48过焦点，则得到

kA「根据两直线的夹角的公式推出2月5C的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点

到直线的距离最小值来处理.

【详解】A选项，/=8x=2px,则p=4,故准线x=-今=-2,A选项正确:

B选项，设直线/为》=攵。+1),则8y=8履+8,

联立y2=8x得到，如2一8)/+8A=0,

直线和抛物线无交点，则△=64-32代<0，

结合〃〉0,解得左>0，B选项正确；

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C选项，由联立方程处2-8J，+8L=0,

若/与E相交于唯一点8,只可能是相切，

则A=64—32%2=0,解得左二五,

此时。2一8、+80=0,解得y=2jl,进而得1=1,则8(1,2及)，

若AB过焦点F(如图)，由于41,2&),歹(2,0),kBF=-2V2,而原c=J5,

根据倾斜角的定义，tanZ^?x=-2V2，tan/BF"=&，

而/ABC=NBFx-NBPF,此时AABC的正切值为-2-一-=五手上,

1-4

即N44Cw60°，这与V/13C为等边三角形矛盾，C选项错误:

D选项，当％=2,此时直线方程为y=2x+2,

(t2\二…2(一2『

设.4,则力至心的距离为，4~4~1

18Jd=F^=-J^?忑

即等边三角形的高的最小值为W，此时面积s==立，D选项正确.

42V3V315

C选项方法二：求得6(1,2&),则丽二卜2,-2后)，=(1,-2V2),

,PRr_亦旃____-2+12应)

则一网网飞-以+(-2码研+㈠可

则NNPBbw6(T,抛物线E的焦点不在直线46上，故C错误.

D选项方法二：4到4C的最小距离可转化为抛物线和5c平行的切线，求得两平行线的距离即可,

由干须c=2,设直线，〃为y=21+〃，

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联立y2=8x,得到y2-4y+4p=0,

由A=O=p=l,此时直线胴为y=2x+l,

由平行线的距离公式可推出/,m直线间距离为其余同上.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.设S”为等差数列｛%｝的前〃项和，若4=-1,&=5,则1=.

【答案】24

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可.

【详解】由等差数列通项公式=4+(〃-1”,

代入。4=5,。］二-1可得5=—1+14—1”,解得d=2.

因为4=q+5d=-l+5x2=9,所以S(,二怎),

故$6=3x(-l+9)=3x8=24.

13.若函数/'(x)=2'+22r-〃有两个零点，则机的取值范围是.

【答案】(4,+8)

【解析】

4

【分析】方法一：令/=2',则2、+22-、一加=0即/+7-〃7=0,产一〃〃+4=0。＞0),转化为一元二次方程

t2-mt+4=0有两个正根的问题.

方法二：把函数/(工)=2"+22-1-加有两个零点转化为方程2、+22T-〃7=0有两个实数根的问题，再转

化为2、+22-、=加，即函数y=2、+22r与函数＞=〃7交点问题.

【详解】令/(x)=2、+22r-〃z=0,得2、+22T=0,即2122-、=〃7，

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方法一：

4

令1=2"，则2'+22T=0，即,+一一"7=o,p-/„/+4=0(/>0),

则一元二次方程t2-mt+4=0(/>0)有两个正根，

A=m~-16>0ni>4或〃z<-4

那么=>(八n机>4,

/1+4=〃？>°[〃？>0

所以，m的取值范围是(4,+8).

方法二：

44

设g(x)=2'+22r=2'+二,那么设〃=2",则g(〃)=〃+—,(〃〉0),

2u

由于g(〃)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

故g(x)在(-8,1)上单调递减，在(L+o。)上单调递增，且g(1)=4,

根据函数图象可知.函数/(x)有两个零点，则”的取值范围是(4,+力).

14.已知球。的体积为%=4百兀，点力，B,C,。均在球表面上，若V48C为正三角形，且

DA=DB=DC=V2»则S4ABe~-

【答案】巫

4

【解析】

【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三楂锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求

解.

【详解】由球的体积公式，匕=：兀*=46兀，解得R=百,

设V48C的外心为〃，连接。〃，

由题意知。”为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心。在。，上，

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不妨设。在线段。〃上，连接力。,。0,力〃，

设V48C的边长为任，由正弦定理可得，4H=瓜=%,

2sin60

X2+K=3

再设=由题知,

F+(y+@2=2

2

解得人=一耳（负值表示球心O在线段。”的延长线上，实际情况如右图）,

所以%2="

3

四、解答题（本大题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时

间”与“对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设p为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求方；

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(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件

数，若X〜3(100,。)，求E(X)和。(X).

【答案】(1)第一四分位数为370,中位数为381；

(2)⑴0.15；(ii)E(X)=15,Z)(X)=12.75.

【解析】

【分析】(1)根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解：

(2)根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计直，然后利用二项分布的期望和方差求解.

【小问1详解】

由直方图可知，［345,365］的频率为0.015xl0=0.15<0.25,

［345,375］的频率为0.035x!0=0.35>0.25，

故第一四分位数在［365,375］上，设为x,则(x—365)x0.02+0.15=0.25,解得x=370；

［345,375］的频率为0.035xl0=0.35<0.5,

［345,385］的频率为0.06x10=0.6>0.5,

故中位数在［375,385］上,设为九则3—375)x0.025+0.35=0.5,解得>=381.

故第一四分位数为370,中位数为381；

【小问2详解】

由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)X10=0.15,故力=0.15,

根据二项分布的期望和方差公式，

£(^)=100x0.15=15,£>(%)=100x0.15x0.85=12.75

16.如图，在三棱锥4—8CO中，点E在8。上，AE1CE,AE1DE，CD1AD.

(1)求证：CD1AB；

(2)若。后=2,RE=\,=、C£)=2求有线与平面力夕。所成角的正弦值.

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【答案】（1）证明:

因为/EJ.CE且力EJ.OE,CECDE=E,且C£,OEu平面BCD,

所以力EJ.平面8co.

因为CZ>u平面8c。，所以4E_L。.

又,4O_LCO,AEcAD=A,4Eu平面44。，

4。u平面430,CQ仁平面

所以CDJL平面力〃。，

故CD上AB.

⑵当

【解析】

【分析】（1）根据题意可得力E_LC。，ADVCD,再结合线面垂直的性质定理证明即可；

（2）法：建立空间直角坐标系，求解向量月。和平面月6C的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法

二：利用体枳法解出设点。到平面力8C的距离为〃，进而计算线面夹角.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，所在直线为X轴，0c所在直线为V轴，过点。且垂直于平面BCO的宜线

为Z轴，建立空间直角坐标系，

可得。（0,0,0）,C（0,273,0）,E（2,0,0）,8（3,0,0）.

因为4E1DC•且4E=行，所以4（2,0,亚）.

所以瓶=卜2,0,—五），砺二|：1,0,-啦），AC=（-2,2y5-42）.

n-AB=x-\[lz=0

设平面48C的法向量方=（x）,z）,则<

n•AC=-2x+2>/3j->/2z=0

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可得x=&z，令z=2,则：X=2jl，y=m，即万=仅"跖2).

设AD与平面ABC所成的角为公

,\AD-n\_|(-2)X2V2+0+(-V2)X2|

所以即一-"疔+：z+]可冰勾+(研+

67276

-76x372~3，

所以力。与平面43c所成的角为也.

3

法二：在RS/1OE中，4D=j4E、DE2”(司+2?=娓，

在RtZ\/3E中，AB=54炉+BE?=J(可+『二石,

rtl(1)知CZ)_L平面4QE,则CD_LOE,CQ_L/Q.

在中，BC=[BD2+CD?=,3?+(2厨=旧,

在Rs%。。中，AC=ylAD2-^CD2=^6+12=3>/2.

vAB2+AC2=(V3)2+卜后)2=21=AC?,

.•.△ABC为直角三角形，则S,“=，力5.40=,乂石乂3立=之区.

“由222

设点。到平面ABC的距离为。，AD与平面ABC所成角为夕,

由^D-ABC=UA-BCD得:

；SA的"?=；SA8CQ，N£,即:；32君-A/2,

解得：h=2.

「口,|.八h2>/6

所以sin。=---=-；==—

ADy/63

3

17.在V48C中，已知cos8=一，cos2+C)+sin4sinC=1.

4

(1)证明：V49c为钝角三角形:

(2)若V/AC的面积为立，求V/BC的周长.

4

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3

【答案】(1)证明：由4+8+。=兀，则cos(N+C)=—cos8=—,

4

•97

又(：052(4+。)+5吊45由。=1,得一+sin^sinC=1,则sinAsinC=—,

1616

3

由两角和的余弦公式，cos(J+C)=cosAcosC-sinsinC=—,

4

75

结合sin4sinC=—可知cosAcosC=----<0,

1616

则cos4cosc异号，必然一个为负，

又4Ce(Oi),即4c中必有一个是钝角；

⑵3+V2

【解析】

【分析】(1)cos(4+C)=-ccs8,结合题设得出sinZsinC=4，然后由两角和的余弦展开得到

16

cos/lcosC<0,进而得解；

(2)先推出三角形面积公式的变形式S“8c=2尸sin/sinBsinC,解得R,由正弦定理进而得出人然

后列余弦定理和面积公式的关于。，。的方程组求解.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

方法一：由正弦定理和三角形的面积公式，

2

S.IBC=—^sinC=—(27?sin^)(27?sin8)sinC==2RsinAsinBsinC,

22

(R是V4BC外接圆半径)

又sin/sinC=N,sin5=Jl-f—1=—,WO包=2底也解得我二配

167⑷44647

又sinB=也，则力=2RsinB=亚，

4

3r

由余弦定理力2=〃2+/一2知COSB，即。2+一二-ac=2,

2

又\acs\nB=^-ac=^-，则ac=2,

284

3

于是/+。24c=2,即〃2+,2=5，

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(a4-c)2=a2+lac+c2=9,解得Q+C=3,

故V49c周长为(Q+C)+力=34•夜.

方法二：ti|cos2(4+C)+sinJsinC=l,则cosz8+sin/sinC=l，

即sin4sinC=1—cos25=sin2B>

由正弦定理可得，ac=h\

由三角形面枳公式，StRC=—acsmB=—acx»

4ABe2244

得到QC=2,则力二血，其余同上.

*）

18.椭圆E：三+/=1过右焦点且与x轴垂直的直线被E截得的长度为J].

（1）求E的离心率.

（2）。为坐标原点，给定点G&,0）（f0。0）,过点4作歹轴的垂线，垂足

为B,A0与GB交于点P.当/在E上运动时，Q的轨迹为

（i）求”的方程；

（ii）〃是否有中心点？当为何值时，M有中心点？当A/有中心点时，平移M到M',使。为AT

的中心点，说明M'的形状.

【答案】（1）包

2

']]、2

（2）（i）/的方程为---,v2+/+—x-l=0（y^0）；

12%J为

（ii）,当±亚时，轨迹/无中心点；

当》0=±立时，M有中心点（一言,0）；

当|/0|>时，AT形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与x轴交点，

当0<|浦<加时，〃'形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与％轴交点.

【解析】

【分析】（1）利用过右焦点垂直于x轴的直线被£所截线段长为近，通过求出坐标解出线段的长，求得

。，儿c再求出离心率:

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（2）（i）通过联立方程求出点尸的坐标，再反解出点力的坐标代入椭圆方程，从而求出尸的轨迹M的方

程;

（ii）先对曲线方程配方，再讨论，。在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方

程，再讨论不同情况下"'的形状.

【小问1详解】

2

设椭圆0+/=1的右焦点为（°,0）,其中c=J7^T，

那么过右焦点且垂直于工轴的直线为x=c,代入椭圆得

27211

e2inr121c.a-\I

—+y=1»即y=1—-=1-----—=—

a~a~a~a'

所以1土f由于截线段长为*正'解得"正,

故e=V2-1=1•离心率e=-=-\==—.

a422

【小问2详解】

（i）方法一:

由⑴知椭圆方程为y+/=l,由于点力（%,为）满足多+

y~=\,且义工0,过力作V轴的垂线,

交y轴于点B（0,盟）,

那么当方=0时，点4（0，±1），点尸与点4（0，±1）重合;

当毛工0时，直线/。方程为：＞=直线G8方程为:

即y=-Ax+j；o

’0

_玉A

y=­xv

%,解得，x+t即点p必工（）

联立00x（）*）（比工0），

=JVO（X（）+’0X。+’0）

’0X。+’0

x=J^o_*0

t-X..

设P（xj）,则由，=>«a°("0),

JVO_

y=及）二

Vo4-x

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代入椭圆方程尹即卢干而7

2/7）（…丫

两边乘以

,>,2.A

整理得L口一焉I厂+广+—x-1=0,

,0

把点夕（0,±1）代入，仍然成立,

2

x2+V+—1一］=0（”0）；

故轨迹〃的方程为口一彳

’0

方法二:

由于G&⑼@工0）,点8在P轴，故直线G8必有斜率;

设直线G8方程为PQ#），那么点5（0,一%）,

由于ZBJLy轴，则为二一气），

由于点P,。,A三点共线，则OP'.IOA=>xov=-kt^u,

xov=-ktQu4一〃

因为点尸在直线GB上，所以，

v=A（w-/0）

一（3）

-u

2

乂=1,得）

把仙⑴代入椭圆E方程：4