解三角形原卷版

考向一正、余弦定理解三角形

国典例I.（2026♦全国一卷T16）已知在工人8c中，A8=3,BC=26C°SB=®

3

⑴求cosA；

⑵设。，E两点满足：D在8A的延长线上，DE//BC,AE1AC.若DE=&,求CE.

微点拨：解三角形优先用正、余弦定理处理边角关系；涉及延长线线段比例，可建坐标系或用向量表示边

长，结合余弦定理列方程求解，理清线段等量关系是解题关键。

考向二最值范围问

函典例2.（2026•北京卷T10）摇杆机械装置，如图，A,8为定点，C,。是动点，AD=\,CD=3,

Z^C=1,A8=4,则cos/ABC的取值范围（）

573

Ti'so

微点拨：摇杆最值问题本质是利用三角形三边不等式；两定线段夹角可在［0,句变化，两点距离最小值为

两线段长度之差，最大值为两线段长度之和，据此直接写出取值区间。

1.[2025•全国二卷T5）在048c中，BC=2,AC=1+W，AB=瓜,则入=（）

A.450B.60°C.120°D.135°

2.12026•天津卷T12）在&A8C中，BC=4,AC=3,cosA=:，则sin8=_________.

4

3

3.[2026•全国二卷T17）在..A5c中，已知cosB=1,cos2（A+C）+sia4sinC=1.

（l）i正明：4ABe为钝角三角形；

⑵若4灰?的面积为且，求.ABC的周长.

4

4.（2024•新课标回卷T15）记4ABe的内角A、8、。的对边分别为a,b,c,已知sinC=&cosB，

a24-Z>2-c2=6ab

⑴求B；

⑵若二"C的面积为3+6,求c.

5.（2024・新课标。卷T15）记二ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin4+JJcosA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,V2/?sinC=csin25.求二AOC的周K.

向二三角恒等变换与解三角形

6.（2025•全国一卷T11）已知,A3C的面积为:，^cos24+cos2^+2sinC=2,cos4cos^sinC=-,则（）

44

A.sinC=sin24+sin2BB.AB=42

C.sinA+sinB=—D.AC2+BC2=3

2

7.（2025・天津卷116）在二45。中，用42。的对边分别为巴〃0己知“sinB=0OcosA,c-2b=\,a=41.

⑴求A的值：

（2）求c的值：

（3）求sin（4+26）的值.

92

8.12024•天津卷T16）在.AKC中，角AB,C所对的边分别为“也c,已知cos^n7,b=5,a-=-.

16c3

(1)求。的值；

(2)求sinA的值;

⑶求cos（8-24）的值.

9.（2024•北京卷T16）在一A8C中，内角A瓜C的对边分别为4涉了，乙4为钝角，«=7,sin25=—Z?cosB.

7

⑴求ZA;

⑵从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：b=7；条件②：cosfi=­条件③：csinA=1V3.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

手向二三角形的三线（中线、角平分线、高线）

10.（2025♦北京卷T16）在&48C中，cosA=-g,asinC=4夜.

⑴求。的值；

⑵再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得,A8C存在，求8c边上的高.

条件①：。=6；条件②：asin8='°f；条件③：一45。的面积为］（）&.

11.（2023・新课标回卷T15）已知在；A8C中，A+3=3C,2sin（A-C）=sin8.

⑴求sinA；

（2）设48=5,求A8边上的高.

12.（2023•新课标回卷T15）记.ABC的内角4%C的对边分别为a,Ac,已知..ABC的面积为、行，D为BC

中点，且4）=1.

（1）若ZADC=1,求tanB；

⑵若〃?+/=8,求b,c.

一、单选题

1.（2026•湖南湘西•三模）在一ABC中，内角A8,C的对边分别为口也c,已知85人=-1〃=2,。=1,则411。=

5

（）

2.（2026•重庆江北•模拟预测）在4ABe中，角A,B,。所对的边分别为小b,c,B=^,Z?sinA=l,则

o

a=（）

A.BB.逑C.2D.i

232

3.（2026♦山东青岛♦阶段检测）在△ABC中，内角A,3,C的对边分别为。，c,若刑=6,从+1-曰=6近,

则,ABC的面积为（）

A.1B.乎C.2D.2上

4.（2026•江苏无锡二模）在“8C中，角A,从C的对边分别为“，乩c.若NA=60。，8=2,其面积为2石，

则_"丝£_（

=）

sinA+sinB+sinC

A.1B.2C.3D.4

5.（2026•江西南昌•模拟预测）_A8C中，己知48IC=-g5C-CA,则cosA（）

A.最小值为述B.最小值为"C.最小值为3D.无最小值

333

6.（2026•黑龙江哈尔滨•模拟预测）己知“4C中，角4、B、C的对边分别为。、力、c,。=3,且c=»,

则.45C面积的最大值为（）

A.3B.x/3C.2GD.1

二、多选题

7.（2026•山东烟台♦模拟预测）在&A8c中，角A,C的对边分别为。，b,c,0cosc=Sin（A+"

c=2〃cosA,则下列结论正确的有（）

A.A.-BB.sinA>cosA

C.二ABC外接圆半径为D.£=也二1

3a2

8.（2026・湖南株洲•模拟预测）设的内角A,B,。的对边为小b,c,凫a+b=6,

加inCcosC+csinCcosB=石acosC,则（）

A.B=-B.C=-

23

C.的面积可以是越D.AA4C的周长可以是3

16

9.（2026・陕西榆林•模拟预测）在/.ABC中，8c=4,AC=2,ZACB=—,则（）

A.AB=2退B.若CD是AA8C的中线，则CO=6

4

C.若C。是二ABC的高，则CQ=2D.若CO是二/WC的角平分线，则CO=m

三、填空题

10.(2026•江苏盐城•期末)在4ABe中,(sinA+sinB-sinC)(sinA+sinB+sinC)=sinAsinB,则角C=

11.(2026・陕西榆林•三模)已知工ABC的内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,若。=2亚,,cosA=l

4

则面积的最大值为.

12.(2026•河北石家庄•三模)如图，要在相距200km的4,8两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60。

方阿若A地正东方向的铜丸落下，3地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东km.

四、解答题

13.(2026•山西忻州•模拟预测)在二A3C中，点。在边BC上，且AO为/A的平分线.已知乙4二60。，

3

AB+AC=4,AD=~.

2

⑴求AB-AC；

(2)求ABC的面积和BO?.

14.(2026•四川成都•模拟预测)已知a=(V5sinx,-cosx),Z?=(cosx,cosx),f(.x)=ab.

⑴求函数的解析式及最小正周期；

⑵设ABC的内角A,B,C所对H勺边分别为。，6c,若=g且〃=k，求,ABC周长的最大值.

15.(2026,湖北•模拟预测)已知三角形ABC的角A,B,C所对的边为。，b,c,且b=2,h+ccosB=a,

延长到点。.

(1)若CO=3,求AD的长；

(2)若N8=2N。，3BC=4CD,求AO的长.

16.(2026•河南驻马店•模拟预测)已知在一ABC中，2cos2A+3cos2B=4,2sin2A-3sin2B=0.

(1)求证：C=y+A：

⑵若A4边上的中线CO的长为1,求A8C的面积.

17.(2026•江苏南京•模拟预测)在一ABC中，角人，B,C所对应的边分别为。，b,c,已知〃=2,

AB-AC=ac+BA-BC-

(1)求证：A=2