2026年广东广州市三校联考高一期末考试数学试题（含答案解析）

2025-2026学年下学期期末考试

高一数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知集合人={止B={x|0<x<2},则()

A.{x|()<x<l}B.|x|-l<x<2)

C.{x|()<x<l}D.{x|-l<x<0}

2.已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为0.4和0.8,且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的,

则甲、乙两人至少有--人命中的概率为()

A.0.88B.0.48C.0.32D.0.12

3.已知+?=2,则sin2a+2sin2a的值为()

A13813

A.—BD.—C.—

10138

4.已知正三棱台ABC-AB©,AB=3AiBl=9,侧棱A,A=4,则正三棱台的体积为()

A.电^B.13百C.■叵D.39x/3

22

5.已知四边形"CO为平行四边形，荏=2丽，尸为AC与OE的交点，则而=()

a239-2__3-22

A.-二AQ+-A/5B.-AB--ADC.--AB+-ADD.-AB+-AD

55555555

6.记b,c分别为△9C的内角A,B,。的对边，且A=g，G〃=4/?sinC，则4ABC

的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形

7.已知“X)的定义域为R,“X)的图象关于点(1,2)对称，g(x)=/(x-2)+3x,且g(x)

的图象关于点(1,0)对称，则g(19)=()

A.99B.78C.66D.52

8.已知是函数〃x)=sin"j)®>0)的一个零点，当xeC，/(x)<0,则

方程2|/(x)|=l-/(x)在区间(0,3元)内所有根的和为()

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知复数其中meR,i是虚数单位，则（）

A.当〃7=-1时，Z为纯虚数B.当〃7=1时，Z€R

.(lV3i)|=10

C.当机=2时，z=-3iD.当〃?=一2时,z+

10.下列说法正确的是（）

______I__1___

A.在中，，七为4c的中点，则。E=-二AB十二AC

C.已知1=（1,-3）出=（〃』），若"与B的夹角是钝角，则4<3

D.在边长为6的正方形A8C。中，点E在边8c上，且BE=2EC,点尸是C。中点，则

AEBF=6

11.在矩形/WCQ中，AB=1,AD=6,将△44/1沿30折叠至△A,得到三棱锥A-BCD,

设球。为三校锥A-8CD的外接球，则下列说法正确的是（）

A.若平面48力，平面BC。，则三棱锥的体积为,

B.球。的半径为1

C.若与8。的夹角的正切值为|,则二面角A-BO-C的大小为120。

D.设£尸分别为AD8C的中点，则直线E尸被球。所截长度的取值范围是［半,2）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量不=（1,2）,B=（3,-1）,则向量行在@方向上的投影的坐标是_____.

13.己知b>\,且a〃=a+Z?+3,则4a+〃的最小值为.

——4

14.已知复数叫，町满足匕一吗=>，记满足卜-吗|41,3］（/=1,2）的复数z组成的集合

试卷第2页，共4页

为A.若Z]€4且z?€A,则k-z1的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.如图，正三棱柱A8C—中，A8=2,AA=3,M为A8的中点.

⑴求证：C///平面ACM；

(2)求异面直线AM与8G所成角的余弦值.

16.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.已知参加

此次测试的学生的分数刈，=1,2,…,50)全部介于45分到95分之间(满分100分),学校将

所有测试分数分成5组：145,55),[55,65),…，[85,95],整理得到如图所示的频率分布直

方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表).

(1)求利的值，并估计此次数学测试分数的平均数元与中位数.(中位数保留位小数)

(2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情

况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率.

17.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinA+64cosc=6/九

⑴求角A；

(2)若力=2,求aAAC的面积S的取值范围;

(3)若△A8C的外接圆半径为石，求△A8C内切圆半径的最大值.

18.如图，在五棱锥S-力4c。石中，平面S4E_L平面AEO,AE上ED,SEA.AD.四边形

A8CZ)为矩形，且SE=A8=I,AD=3,BN=2NC.

⑴证明：SE_L平面AEO：

(2)若AE=G，求二面角E-SZ-。的余弦值；

⑶求直线DN与平面SAD所成角的正弦值的最小佰.

19.对于一组向量％、a2>瓦、…、(〃wN且〃23),令£=4+/+小+…+”"，如果

存在可(pe{123,…使得同2国-讣那么称彳是该向量组的“长向量”.

#设%=(〃,1+2〃)，〃£1>1且〃>0,若区是向量组［、％、4的“长向量”，求实数%的取

值范围；

(2)若Z=(sin/,cos与}〃eN且〃>0,向量组7、4、Z....4是否存在“长向量”？

给出你的结论并说明理由；

(3)已知彳、％、4均是向量组4、4、Z的“长向量”：其中q=(sin.t,cosx),

%=(2cosx,2sinx).设在平面直角坐标系中有一点列<、鸟、八....P.,满足片为坐标

原点，鸟为工的位置向量的终点，且6e与匕关于点4对称，七+2与多讨(AeN且攵>0)

关于点鸟对称，求|麻陶的最小值.

试卷第4页，共4页

I.B

DX

【详解】因为集合A={x[—l<xKl},B={x\（Xx<2}t所以A4={X-I<<2}.

2.A

【分析】令事件A表示甲衣篮命中，事件〃表示乙投篮向中，事件。表示甲、乙两人至少有

一人命中，则P（A）=0.4,P（8）=0.8,C=A4+A巨+而，利用独立事件和互斥事件的概率

公式即可求解.

【详解】令事件4表示甲没篮命中，事件B表示乙投篮命中，事件C表示甲、乙两人至少有

一人命中，

则P（4）=0.4,P（B）=0.8,所以C=A8+A耳+印8,

所以2（C）=P（AB+A与+ZB）=P（AB）+P（A^）+P（ZB）

=P（A）P（8）+尸⑷尸伍）+尸（可尸（B）

=0.4x0.8+0.4x（I—0.8）+（1—0.4）x0.8=0.88,

故选：A.

3.A

【详解】tanfa+^|=^±1=2,解得tana=2,

V4J1-tana3

sin2a4sinacosa

后sin2a+4sinacosa_cos2acos2a_lan2a+4tana

原」弋一・22—・一—-—.

sin~a+cos~asiiracoshertan~a+l

cos2acos2a

4.C

【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥S-A8C,

作SO_L平面人AC分别交平面A4C、平面ABC于。、0.

作AN1平面48c交40于N,则。、。1分别为AABC、△44G的中心.

因为48=3人蜴=9,所以47=3AQ=3j5,AQ=G，

所以4N=AO-Aa=2&,

设该正三棱台的高为/?,

答案第1页，共17页

因为44=4,所以,

,故选C.

5.A

【分析】本题考查平面向量的线性运算，解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四

边形的性质，将乔用油和而表不出来，先根据已知条件得到AE与A月的关系，声利用

向量共线设出标与衣的关系，进而得到"与人万、而的关系，最后根据旃=而-而

求出旃.

一?一

【详解】己知荏=2丽，则AE=§A8.

因为尸为AC与DE的交点，所以4,F,。三点共线，D,F,E三点共线.

设衣=(4为实数)，因为ABCD是平行四边形，所以就=而+布L所以

AF=A(AB+AD).

因为。，F,E三点共线，所以存在实数4,使得。户=〃。月.

又因为而=而_而二窥布+而)一而=4屈+(4一］),访，

DE=AE-Ab=^AB-ADf所以;I人月+(4-1)八万=〃(|八月一人力).

・"钟，解得)44=(.

2-1=-/7355

_2一一c_2一

所以A户=((4*+4Z5)=,A至+1A/5.

根据向量减法的三角形法则，BF=AF-ABf将A户月+方代入可得:

JJ

_29--③9-

BF=-AB+-AD-AB=--AB+-AD.

5555

6.C

答案第2页，共17页

3

【分析】应用正弦定理得出sin8sinC=?,再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出

8

角的范围判断形状.

【详解】因为疯1=4加inC,由正弦定理得瓜in4=4sinBsinC,又A=，fesinfisinC=-,

38

由余弦定理得/J=b2+c2-2bc-coaA=h2+c2-be,故sin'4=sin9+sin2C-sinBsinC,

91

得sin'8+sin2c=sin2/4+sinBsinC=—,所以cos(8+C)=cos8cosc-sinBsinC=--,

得cosBcosC=——，

8

所以cos8<0,cosC<0»所以△ABC为钝角三角形.

7.A

【分析】由条件结合对称性的性质可得/(X+2)+/(T)=4,g(l+x)+g(l-x)=O,结合

关系g(x)=/(x-2)+3x可得/(A2)+F(T)=-6,由此可得/(X+4)=/(X)+10,寻求

/(1),结合g(19)=/(17)+57可得结论.

【详解】因为/")关于。，2)对称，所以f(l+x)+/(l-美=4,

用工+1替换x可得/(x+2)+/(—x)=4①，

因为g(x)关于(1，。)对称，所以g(1+x)+g(l—x)=0,

又g(x)=/(x-2)+3x,用x+i替」奂人可得g(l+=十3工十3,

用1T替换x可得g(lT)=/(r-l)+3—3x,

两式相加可得/U-D+/(-x-l)=-6,

用x—l替换x可得/(x-2)+〃r)=-6②，

由①一②可得/(x+2)-/(x-2)=10,

用x+2替换文可得〃x+4)=/a)+10

因为g(19)"(19-2)+3xl9=/(17)+57,

在/(l+x)+/(l_.r)=4中令4=(),得2/(1)=4,故/(1)=2,

/(17)=/(13)+l0=/(9)+10+10=/(5)+10+20=/(l)+10+30=/(l)+4xl0=42,

因此以19)=42+57=99.

答案第3页，共17页

8.D

【分析】首先根据正弦函数的对称中心以及函数值的符号求出口，然后把方程化简，等价于

求/*)=；和/(幻=-1在(0,3花)内的所有根之和，最后根据正弦函数的性质即可求解.

【详解】已知'是/(x)=sin(5-胃3>0)的零点，代入得：sin(。］一1)=0,

即W［=E(*eZ),解得3=2&+*eZ),

由条件：底传高时/")<0,代入口=2八：验证：

女=0时，0驾，5-9(4，一3，/(工)<0恒成立，符合条件：

33I。\1)

女=1时，⑺-会他当,”6>0恒成立，不符合条件；

AN2时，公・1的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件.

因此口=1,/(x)=sinf^x-yl,

当/(x)之。时：2/(x)=1-/(A>/(X)=1；

当八幻<0时：-2/3=1-/"控/(力=-1,

原方程等价于求/(x)=1和/⑴=-1在(0,3冗)内的所有根之和.

令。=白一不当xe(0,3兀)时，

方程/(x)=T，即sin6=-l在f-g,孚内仅”会是解，对应：当，

133，23324

方程/“)=?即sme二在［-［，言］内有两个解%a，由正弦函数对称性得a+a=%对

33\55)

…八2兀八271八八2/、2兀”5兀10兀

应：a玉一、，。2一刀，a+a=Q(N+/)一_—=+x,=--=—

JJJJJJ4•

故所有根的总和为：西+马+字=学+与=畤5.

4444

9.BCD

【详解】对A：当〃?=一1时，z=0eR,故A错误；

对B：当机=1时，z=-2eR,故B正确：

对C：当加=2时，z=0+3i=3i,此时］=-3i,故C正确；

对D：当〃?=一2时，z=4+3i,

答案第4页，共17页

所以b（1+网=|（4+3》（1+后）卜K4-3百)+(3+4@i

=,(4一3商+(3+4可=,(16-246+27)+(9+246+48)

=Vioo=10,故D正确.

10.BD

【详解】对于A,因为在“18。中，前=2配,E为AC的中点,

贝ijo百=oc+cg=!方e+Lc4=J(/—A8)-，4e=-lA8-』H^,

323236

所以A错误；

ABAC

对于B,因为A反是非零向量，所以国+同所在的直线平分NB4C,

因为爵焉）阮="所以牌匐"

所以aABC是等腰三角形，故B正确；

对于C,因为己与万的夹角是钝角，所以2出＜0,且万与坂不共线，

由2出＜0得左一3v0,所以4v3,

又q与5不共线，所以。所以

1—33

所以当。与B的夹角是钝角，A＜3且AH-；,故C错误；

对于D,如图，以A为原点建立平面直角坐标系，

C

D

\E

Bx

则40,0),6(6,0),E(6,4),F(3,6),

所以霹=(6,4),阱=(3,6),

答案第5页，共17页

所以屏•丽=一18+24=6，故D正确.

II.BCD

【分析】作AM和CN分别垂直80,得到AM=CN=弓，结合体积公式，可判断A错误;

取。为的中点，且。为外接球的球心，求得球。的半径，可判定B正确；取CQ=MN

CQHMN,连接A。，在△AM。中，利用余弦定理，求得乙*必。=120。，可判定C正确;

根据向量的运算法则，求得放的取值范围，得到球心到E厂的距离的取值范围，结合圆的

弦长公式，可判定D正确.

【详解】对于A,作AM垂直8。于点M,CN垂直8。于点N,所以AM=CN=

当平面平面8c。时，三棱锥A-5CO的体积V=1XL8OXCNXAM=L,所以A

32

错误；

对于B,设。为8。的中点，根据直角三角形的性质，互得O4=OO=OC=OA，

即。为外接球的球心，可得球。的半径为r=34。=1,所以B正确；

对于C,如图I所示，取CQ=MN=1,且CQ〃MN,

连接A。，则AQLCQ，且AC与8。的夹角，即为NAC。，

因为tan/ACQ=13,所以AQ=3],

在AAMQ中，AM=MQ=W'且4Q=T，

又因为0。＜4"。＜180。，所以NAMQ=120。，所以C正确.

对于D,取4。的中点0,连接。£。凡。入,。。，

如图2所示，过点£尸分别作EG1BD,FH±BD垂足分别为G,H

因为分别为ARBC的中点，且48=1,4。=6，

在直角AOEG中，可得EG=EOsin30=—,DG=EZ)cos30)=-»

44

同理可得"/=@,BH=2,所以G〃=4，

442

设向量在，前夹角为。，可得640,兀)，

答案第6页，共17页

又因为京二西+57+丽，HJ^|E?|2=EF2=(EG+GH+HF^

=EG2+GH2+1HF2+2W-GH+2GHHF+2EGHF

(>/3?f1Vfx/3?cc)右6/a5—3cos0

——+-+——+0+0+2x——x——COSIH-6^)=--------,

4{2)444v78

因为。€（0,几），可得COS0€（—1,1）,所以;〈怛户（VI,即/<1

又由球心。到Er的距离为d二

则截得的弦长为/=2gd2=2>/^滔e⑵，

所以直线所被球。所截得的长度的取值范围为（正,2）,所以D正确.

【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解.

【详解】由题得必B=lx3+2x(-l)=l,n=&,5=9,所以

CM"'"卜丽=瓦m=而，

与向量行的同向单位向量为向二（j

所以向量6在向量日方向上的投影的坐标为Wcos«,5）4

’间

故答案为：（J1口2,、

13.13

【分析】由题可得叫合他正令，—，所以4……+5再利用基本不等式

求解即可.

答案第7页，共17页

【详解】由题可得4=71。>1),

所以4。+〃=4・8+力，

b-\

令，二人一1,即力=1+1/>0,

所以44+〃=4"：""+1+1=1+3+5220^+5=13,

当且仅当，=3，即f=4,力=/+1=5,〃=丝=2时，等号成立，

/b-\

4a+〃的最小值为13.

14.[0,4&]

——4

【分析】先对已知条件%一吗=靠工；进行化简，得出帆一同的值,再根据]一吗归口3确

定集合A中元素的轨迹，最后分析为wA且Z?£A时|z,-z2|的取值范围.

——4---------4

【详•「“一卬2=---------，，吗一卬2=----------.

\\\-vv2%-w2

设叫一叫=切，则〃?=，，即〃晶=4，.,•帆2=4,.,.帆=卜竹—吗1=2.

已知卜一吗01,3],根据复数模的几何意义，|z-M表示复数z所对应的点Z到复数因所对

应的点叫的距离，，集合A中的元素z对应的点Z的轨迹是以叱，1匕为圆心，半径分别在

[1,3]范围内的圆环上的点.

题干要求对i=L2都满足1父Z-MA|<3,因此A是两个圆环的交集:

两个圆环分别以叱，1匕为圆心，内半径】，外半径3,

建立如图所示的坐标系:

A是非空闭区域，当卬々都在C处时，|z「Z2|最小距离可取到0,

A中最远的两点距离是两个外圆的交点距离,

因为两个外圆半径都是3,圆心距2,

山勾股定理可得两交点距离为；2斤了=4五

答案第8页，共17页

因此lz「Z2l|的取值范围是[0,4&]

15.（1）证明：连接4G，交AC于。点，连接OM,则。为4G的中点,

又M为A3的中点，所以。M//C用.

因为。Mu平面A。〃，C超二平面ACM,所以。声〃平面ACW.

13

【分析】（1）只需证明。0//。/,再结合线面平行的判定定理即可得证；

（2）只需说明N^M。是异面直线AM与8G所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可.

【详解】（1）略

（2）由（1）知OM//8G，所以幺/。是异面直线AM与8G所成的角或其补角.

由题知，/\M=x/i0.OM=-BC1=—,^O=1^C=—,

2222

在△AM。中由余弦定理，得8s4时JM：：=舞.

2\MOM13

16.（l）m=0.024,平均数75分,中位数约为76.7.

呜

【详解】（1）由频率分布直方图，（0.006+0.014+m+0.036+0.020）x10=1,

所以〃=?0.024.该次测试分数的平均数的估计值为：

x=10x（50x0.006+60x0014+70x0.024+80x0.036+90x0.020）=75分；

测试分数在145,75）的频率：O.（X）6x10+0.014x10+0.024x10=0.44<0.5,

测试分数在“5,85）的频率：0.006xl0+0.014x10+0.024xl0+0.036xl0=0.8>0.5,

答案第9页，共17页

则测试分数中位数为〃e（75,85）,0.44+（«-75）x0.036=0.5,解得。=76.7,

所以此次数学测试分数的中位数约为76.7.

（2）记分数在［65,75）的人数为％=50x0.024x10=12（人）

分数在［75,85）的人数为），=50x0036x10=18（人）,

由K:），=12:18=2:3,得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中，

分数在［65.75）的有2人，编号分别为3小,分数在［75.85）的有3人，编号为功也也,

从这5人中选取2人的样本空间

。=｛（4，生）,（％，4）,31也）、（4也）,（42"），（42也）,（生也），（4也）,（伪也），也也）｝，

9

则〃（0=10,记事件A二“至少有一人分数在［75,85）“，则〃（人）=9,则P⑷二",

a

所以这2人中至少有一人分数在175,85）内的概率为2.

17.⑴々

⑶当

【分析】（I）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式化简后可求得lan4=百进而可求4；

（2）由三角形的面积5=且（：，利用正弦定理求得。=1+正，可求的面积S的取

2tanB

值范围;

（3）利用正余弦定理求得〃，利用基本不等式可求得〃+c<6,利用三角形面积可求得

y/3bc

，再结合5c的关系可求得〃的最大值.

2(Z?+c+3)

【详解】（1）在ZiABC中，由csinA+GacosC=，初及正弦定理，得

sinCsin4+百sinAcosC=>/3sinB»

•••8=兀-(A+C),

.'.sinCsinA+GsinAcosC=Gsin(4+C)=x/5sinCcosA+>/3cosCsinA,

sinCsin>4=\/5sinCcosA,

答案第10页，共17页

又sinC工0,/.sinA=V5cosA.tanA=&

,//4e(0.n),.\A=].

(2)由4=工/=2,得S=•^■OcsinA=.

由正弦定理得Wb=-Jc,

sinBsinC

2喏5

则hsinC百cos8+sinB=1+^-'

c=----

sinBsinBsinBtanB

又△44C为锐角三角形,

()<«<-,

02得

0<--B<—,

32

则(anBe(理

“,即W◎扬，

旦e型

••ce(l,4),于是S=,2>/3,

22

即aABC的面积S的取值范围为年，26

(3)设AA5c的外接圆半径为及，内切圆半径为人

由(1)如，tz=2/?sin4=2x>/3x—=3.

2

由余弦定理得a2=h~+c2-27JCCOSA,即9=A?+c?-反=(。+c)2-3bc,

3bc=(/?+c)2-9=S+c+3)(Z?+c-3),

S+c+3)(b+c-3)

be=---------------.•

3

•.•9=(力+。)2—3力。之(6+。)2—3)=；(/?+c)2,

:.b+c<6（当且仅当。=c=3时，等号成立）.•

/,1.be

S'AHC=—(^+b+c)=—hcsinA在

4

_\/3Z>c

',-2S+C+3)

答案第11页，共17页

H(Z?+c+3)S+c-3)

=-----------2-------=—(/?+c-3)

2S+C+3)6

=&b+c”工也一立二立(当且仅当〃=c时，等号成立).

6222

显然此时△/18c为等边三角形，满足题意，

故aABC内切圆半径的最大值为由.•

2

18.(I)证明过程见解析

(2)3

【分析】(1)根据面面垂直，得到线面垂直，DEA.SE,结合SEJLAO得到线面垂直；

(2)作出辅助线，找到/E7G即为二面角E-SLA-O的平面角，由勾股定理和余弦定理求

出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值；

(3)设点N到平面胡。的距离为人直线ON与平面SAO所成角大小为。，则

hh

sin^=—=-^,要想直线。N与平面S4。所成角的正弦值的最小，则〃最小即可，设

AE=m,由等体积法和余弦定理，面积公式得到117,从而求出力的最

+---

4

小值，得到正弦的最小值.

【详解】(1)平面SNE_L平面4E。，交线为AE,又AE工ED,OEu平面Af。,

所以。石3_平面SA£,

又SEu平面必£,所以。E_LSE,

因为SEJ.A。，ADcDE=D,4。，。b<=平面/1£：。，

故SEL平面A£D；

(2)AE=0AEA-ED,AD=3,

由勾股定理得及)=JAPLA炉=底，

SE_L平面A£O,AEu平面AEO,

所以SEJLAE,

因为SE=1,AE=6,由勾股定理得SA=JS£+A炉=2,

答案第12页，共17页

过点上作ET_LSA于点丁，则仪=注1任=1^正=«

SA22

故AT=>JAE2-ET-==T，

过点丁作TG_LSN,交AO于点G,连接EG,

故N£TG即为二面角E-SA-。的平面角，

由勾股定理得SO=sJsE^ED2=x/1+6=y/1，

乂AO=3,

由余弦定理得cosNSAD=S4+心-szr=4+9-7=_[,故&AD=-,

ISAAD2x2x323

nTG

r,解得TG==叵

在RtzMTlG中，tanZL4G=—,即§

■22

故AGUJAF+TG?=3'

在RSA£D中，cosZEAD=—=—,

AD3

由余弦定理得EG?=4£：2+AG2-2AEAGCOSNE4D=3+9-2XGX3X@=6,

3

故EG=#,

327

由余弦定理得cos/ETG二型应二型=£^二」,

在△£7<；中,出了以正土仃2ETTG,G363

2x--x---

22

(3)连接4N,因为BN=2NC,8c=3,所以CN=1,

又C0=1,DC1CB,由勾股定理得DV=Jav2+DC;=&，

设点N到平面SAD的距离为/?,直线ON与平面SAD所成角大小为0,

।.八hh

则sm"而=5

答案第13页，共17页

要想直线DN与平面SAQ所成角的正弦值的最小，则h最小即可,

13

s皿=541=于

由（1）得SE_L平面AED，故匕-7uwUQSJON，SE=QX5X1=5，

设AE=，〃，贝1）万/）=’4厅—八£：2797nz,SA=dl+R'

故SD=>/SE*2+DE2=7149m2=V10m2,

+1+m」+10—62一9

在ASA力中,由余弦定理得cos4SO

2sAsO2J1+W40-W

故sinZASD=Vl-cos2AASD=广立,

Vi+w2V10-/W2

则S.““=gSA.SDsinNASO=^7-w4+9/n2+9,

因为匕.梳=匕叩=:，所以3加•力=西彳3〃=1,

23o2

3

h=

故，一〃r+9病+9

当加2=2时，/?取得最小值，最小值为"一而7一13，

-VV

2713

故直线ON与平面SAO所成角的正弦值的最小值为「召一（FV26.

SHIU=-----7=—=---------

V213

【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法:

（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解;

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.

19.⑴-4W0

⑵

存在“长向量”，且"长向量''为小、R，理由如下:

由题意可得.J=Jsin2^+cos2^=1,

若存在“长向量可，只需使国-4|，1，

答案第14页，共17页

又再=7+2+4+…+]=(1+0-1+0+1+0-1,0-1+0-1+0-1+0)=(0,-1),

忤一句=卜in?三十卜。s^+l=^sin2+cos2+2cos

=小2+2cos<1,

BP0<2+2cos-^<l,EP-l<cos-^<--,

222

当〃二2或