七升八数学暑假预习-三角形的外角

第05讲三角形的外角（学生版）

知识归纳

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

如图，NACD是&ABC的一个外角.

三角形的外角

「n_r:笛影的二不外而弱而否示痴痴而不丙笛函而:

性质i_r三笛花的二行b备大于存煮二祠位示柏瓦融菌1

-p三高痴砺碗百场）口

【知识点三角形的外角】

L定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.叫做三角形的外角.如图,N/C。是△4BC的一

个外角.

2.性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

求证：ZACD=ZA+ZB-,

证明：•：N<+/B+N4CB=I80。；；・NA+/B=180。一N4CB=NACD.

②三角形的一个外角大王任意一个和它不相邻的内角；

如图：9：ZACD=ZA+ZBx：.^ACD>ZA^ZACD>ZB.

③三角形的外角和等于3602.

E

求证：NBAE+NCBF+NACD=360。；

证明：・.・/B/E=N2+N3；«BF=N1+N3；〃CD=N1+N2；

ZBAE+ZCBF+ZACD=2(Z1+Z2+Z3)=2xl80°=360°.

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第05讲三角形的外角（学生版）

举一反三

【题型1三角形的外角的定义】

【例1】如图，点。在线段BC的延长线上，过点8作射线BF交AC于点£则下列是△ABE的外角的是

（）

A

BCD

A.LACDB.乙AEBC./-AEFD.乙CEF

【变式1-1］下图中N1是三角形一个外角的是（）

J二c.A

【变式1・2】如图，点。在△力BC的4C边上，点F在BC延长线上,下列是△4B0的外角的是（）

1

A.Z.ACBB.^LACFC.乙BDCD.乙ABC

【变式1-3］如图所示，下列说法错误的是（）»

A

这

2

A.N4C。是△48。的一个内角；B.ZBAD是4ABD的一个内角；

C./BEC是4ACE的一个外角：D./4OC是4ABD的一个外角：

【题型2三角形的外角性质简单应用】

【例2】如图，在△4BC中，点E在CB的延长线上,过点E作EO1AB,交4B于点D,交4C于点F,

/-ABE=60。，乙C=35。，则的度数为（）

1

V

A.35B.25C.20D.15

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第05讲三角形的外角（学生版）

【变式2・1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么//等于（)

A.45。B.60°D.120。

【变式2・2】将一副三角板按如图方式放置，使EFII4B,则Na=（)

A.900B.95°C.100°D.105°

【变式2・3】如图，乙B=20。,zC=31°,乙BPC=123。,则乙4=

【题型3利用三角形的外角性质比较角的大小】

【例3】如图，乙4、乙DOE和乙8EC的大小关系是（).

A.LA>乙DOE>乙BECB.乙DOE>ZA>乙BEC

C.zBEC>zDOE>zAD.Z-DOE>乙BEC>Z.A

［:变式3-1］如图，有下列结论：①4A>Z.ACD-,②（B十乙4c8=180°-乙4③乙4十LACB</80°；

④乙HEC>乙B.其中，正确的是（填序号）.

【变式3・2］如图所示，P是△ABC内一点,延长BP交AC于点。，连接PC.

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第05讲三角形的外角(学生版)

(1)ZA42、乙4的大小关系是：>>

(2)若乙3=25。，乙1=67。，24=40。，嘉嘉想求乙/的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉

嘉完成求解.

思路一思路二

先利用三角形内角和求出“BC+乙PCB的先利用三角形外角求出42的度数.再利用三

度数，再利用三角形内角和求出2/的度数.角形外角求出4/的度数.

【题型4三角形的外角性质与折叠问题】

【例4】如图，在△ABC中，乙4。8=9俨，点、D,E分别是BC,4c延长线上的一点，连接DE,DAt

将△AD0色40折叠得至lJ△A0巴若乙£=50。，则乙凡4。的度数是()

A.3俨R.25°C.20°D.35。

【变式4・1】如图，在△力BC中，乙C=40。,将△ABC沿着直线/折叠，点C在落点。的位置，则一42

的大小是度.

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【变式4・2】如图，在△ABC中，44cB=90。，D,E分别为AB,AC上一点，将△BCD,△4OE分

别沿CD,DE折叠，点48恰好重合于点4处.若24c4=/6。，则〃ED=

【变式4・3】将△4BC的顶角A沿直线QE折叠（如图），点力的对应点为点4,记为乙，^BEA'

为乙2.

⑴如图1,当点4的对应点4落在△4BC内部时，试探求//,乙2与乙4的数量关系，并说明理由;

（2）如图2,当点4的对应点4落在△ABC外部时，Z/,乙2与乙4又有怎样的数量关系呢？请写出猜

想，并给予证明.

【题型5三角形的外角性质与单角平分线】

【例5】如图，在△力8C中，BD是4C边上的高，CE是乙4cB的平分线，BD,CE交于点、F.若乙4EC=

80°fLDFC=52°,则448c的度数是（）

D.62°

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【变式5・1】如图，△4BC的夕卜角匕4CD的平分线CE交B4的延长线于点E,若乙BC4=89,则zB+/E

的值是（）

A.44°B.46°D.43°

【变式5・2］如图，40是△4BC的角平分线，B、。、E共线，则%0、y之间的数量关系是（)

A.a+p=yB.2a—p=yC.2p—a=yD.2y—a=p

【变式5・3】如图，在△4BC中，点E和尸分别是AC,BC上一点,EF//AB,2BC4的平分线交48于

点D,4MAe是△A8C的外角，若NE/"?=a,（MAC=0,^ADC=y,则a,0,y三者间的数量关

系是（）

A.£=a+vB.p=2a-2yC.P=a+2yD./?=2y—a

【题型6三角形的外角性质与双角平分线】

【例6】在△ABC中，乙ABC,乙4cB的平分线交于点。，乙4cB的外角平分线所在直线与匕4BC的平

分线交于点。，与乙4BC的外角平分线交于点E,下列结论：①“。。=90。”乙4；②乙D=）4；

③乙/=^ZE；④4E+乙DCF=90°+乙ABD.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

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【变式6・1】如图，乙MAN=1003,点、B,C是射线AM,4N上的动点，44cB的平分线和乙MBC的平

分线所在直线相交于点D,则乙BDC的大小为（）

A.50。B.60°C.80°D.随点8,C的移动而变化

【变式6-2］如图，AB//CD,乙4BG的平分线BE和乙GCD的平分线”的反向延长交于点E,且%E—

5乙G=172。,则NG=度.

【变式6・3】【数学模型】

“8字型”是初中数学”图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图

1,4nBe交于。点，根据“三角形内角和是/80。”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：

①乙4OB（对顶角相等）；②+匕。=乙4+ZB.

【提出问题】分别作出NB4D和/BCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2,乙E与乙D,乙B之

间是否存在某种数量关系呢？

【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.已知284。的平分线与4BCD的平分线交

于点E.

（1）如图2,乙D=30。,乙B=50，则NE的度数是多少呢？

易证匕。+z/=zF+zJ,Z-B+44=z_E+42

请你完成后续的推理过程：

.・.NO+zJ+NB+乙4=

,:CE,AE分别是乙8C0,的平分线

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z/=z2,z3=z4

・•・2乙E=

又•・•LD=30。,乙B=50°

匕E=度.

（2）在总结前面问题的基础上，借助图2,直接写出2E与乙D,乙8之间的数量关系是：

【类比应用】

（3）如图3,NB4D的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E.

已知：Z.D=a,乙B=6,（。〈份则匕石=.（用。、/?表示）

【题型7求多个角度度数的和】

［例7］如图，乙4++乙。+乙0+4E=

【变式7・1】如图，已知48。9=/20°,则4/1+48+4。+乙0+45+4尸为'

【变式7-21用三种不同的方法求图中五角星形乙4+乙B+ZC+NO+4E的度数.

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第05讲三角形的外角（学生版）

【变式7・3】计算不规程图形中多个角的度数和:

⑴如图①所示是一个五角星4BC0E,你能计算出乙4++NC+々D+NE的大小吗？

（2）在图②③④⑤中，上面的结论还成立吗？不必说明理由.（注：在图②中，4EBO相当于图①中

的乙B）

能力提升

1.如图，点&C分别在NE/尸的边力E,//上，点D在线段/C上，则下列是△为8。的外角的

是（）

A./BCFB.ZCBED./BDF

2.如图，D,七两点分别在△ABC的两边AC上，连接DE,已知N/+乙2=a,则4A=()

A.a-90°B.1800-aC.a-180°D.3600-a

3.一副三角板如图放置，若乙2=75。,则4/的度数为（）

A.45B.60C.75D.90

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如图4B||CD,NG4B的平分线4E与乙4CF的平分线CE交于点E,且NE=乙BAF=14。,则“=

如图，+乙B+乙C+乙0+4E等于（）

100°B.200°180。D.36俨

已知：乙A=49。，点、B、C在乙4的两边上，点。为平面内一点,且NPB4=38。，乙PCA=30。,

WUfiPC=

7.如图.力。是的外角4Q1E的平分线.乙B=35。，^DAE=55°.则44cB的度数是.

8.如组是可调躺椅示意图，4E与6。的交点为C,4a48=50°,"84=60°,乙CDF=20°,乙CEF=30°,

为了舒适，需调整z•。的大小，使/珅。=/35。，且N&4B、MBA、“保持不变，则ZD应调整为

第05讲三角形的外角(学生版)

9.如图，在△ABC中，ZF=77°,BD、CD分别平分N4BC,乙ACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC

的延长线上，BE、CE分别平分乙BCN,BF、CF分别平分乙EBC、乙ECQ,则乙人=.

10.折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在儿何中可以得到新的解

读.如图，将△ABC纸片沿OE折叠，使点力落在点4处，04交AB于点儿若4D〃BC,且ZB-乙4=

20。，则乙4EO的度数为

11.如图，已知zBCD=/30。，EF//DC,乙EAF=100。,乙EFA=20。,求zB的度数.

12.在△4BC中，乙1=80。，BE平分点P在射线BE上，连接CP,点。在8C的延长线上.

(1)如图,乙ACD=140°.

①若。PIIA8,分别求NA8C和N8PC的度数；

②若直线CP与△4BC的一条边垂直，求a4cp的度数;

⑵若CP平分乙4CD,请直谈写出48PC的度数.

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13.如图，点C、。分别在N40B的04、。8边上运动(不与点。重合).射线CE与射线OF分别在

4/C。和4CO。内部，延长EC与D尸交于点反

⑴若〃OB=90。，CE、DF分别是乙4CD和的平分线，猜想：NF的度数是否随C,。的运动

发生变化？请说明理由.

(2)若440B=a0(0<a</80),乙ECD=1乙ACD,乙CDF=L乙CDO,则立尸=。.(用含服〃的代数

nn

式表示)

14.(1)如图，求出+4B+乙。+匕0+4E+乙尸的度数.

(2)如图，求出2/+乙8+匕。+乙0+2E+4尸的度数.

FE

15.△ABC中，4C=70。，点。，E分别是△4BC边AC,BC上的点，点。是一动点，令人PDA=(1,

乙PEB=Z2,乙DPE=La.

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第05讲三角形的外角(学生版)

初探：

(1)如图1,若点P在线段AB上，且4a=60。，贝1」乙/+乙2=°；

(2)如图2,若点P在线段AB上运动，则乙/,z2,4a之间的关系为；

(3)如图3,若点尸在线段48的延长线上运动，则4/,Z2,乙a之间的关系为.

再探：

(4)如图4,若点尸运动到△4BC的内部，写出此时△/,匕2,乙a之间的关系，并说明理由.

(5)若点。运动到△4BC的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时乙/,Z2,4a之间的关系,

并说明理由.

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第05讲三角形的外角（解析版）

知识归纳

定义

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

如图，NACD是必8（：的一^外角.

三角形的外角

―：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和：

性质一"P三高元的二河I施天于衽熹二祠位示柏瓦丽前1

—:妾瞄函乔福而辱于题］

【知识点三角形的外角】

1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.叫做三角形的外角.如图,N4CZ）是△ABC的一

个外角.

2.性质：①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和:

求证：〃8=*4+上小

证明：•:/A+/B+/ACB=180。；：.ZA+ZB=180Q-ZACB=ZACD.

②三角形的一个外角大王任意一个和它不相邻的内角；

如图：.・・〃Cr>=4+夕；：.ZACD>ZAx/ACD>/B.

③三角形的外角和等于迎2

E

求证：/BAE+NCBF+NACD=360°；

证明：・；/B4E=N2+/3；/C8QN1+N3；4CZ>N1+N2：

:・/BAE+NCBF+NACD=2(Z1+Z2+Z3)=2xl80°=360°.

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第05讲三角形的外角（解析版）

举一反三

【题型1三角形的外角的定义】

【例1】如图，点。在线段BC的延长线上，过点8作射线BF交AC于点£则下列是△A8E的外角的是

()

A.LACDB.乙AEBC./,AEFD.乙CEF

【答案】C

【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角,

据此即可求解.

【详解】解：根据三角形外角的定义可知：ZAEF是△48E的外角，故选：C.

【变式1-11下图中/I是三角形一个外角的是（）

【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可.

【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的N1是三角形一个外角，其他的都不符合题

意；故选D.

【变式1・2】如图，点。在△4BC的AC边上，点尸在BC延长线上，下列是△ABO的外角的是（）

A.LACBB.乙ACFC.Z-BDCD.Z.ABC

【答案】C

【分析】根据三角形的外角的定义得出即可.

【详解】解：△48。的一个外角是48。。，故选：C.

【变式1-3］如图所示，下列说法错误的是（）

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第05讲三角形的外角（解析版）

A.N4CO是△ABC的一个内角；B.是△48。的一个内角；

C./8EC是的一个外角；D.N4。。是△43。的一个外角；

【答案】D

【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、N力CD是△45C的一个内角，说法正确；

B、N8/Q是△/8。的一个内角，说法正确；

C、/8EC是△/（?£1的一个外角，说法正确；

D、/力。。是△4E。的一个外角，原说法错误；故选：D.

【题型2三角形的外角性质简单应用】

【例2】如图，在中，点E在的延长线上，过点石作EO1.交AB于点、D,交/C于点兄

Z-ABE=60。,乙C=35。，则乙4的度数为（）

A.35°B.25。C.20°D.15。

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据乙4BE="+ZC,结合N4BE=60。，乙C=35。,

即可求解.

【详解】解：・.24BE为△4BC的外角，

Z.ABE=乙4+乙C,

,：Z.ABE=60°,乙C=35°,

A=/-ABE-ZC=60°-35°=25°.故选：B.

【变式2・1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（）

A.45。B.60°120°

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第05讲三角形的外角(解析版)

【答案】C

【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是

解题的关键.首先求出=-4C8D=45。，然后根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、。标记如下：

由题意知：俨，乙CBD=45°,

・•・乙ABC=乙ABD-乙CBD=45°,

•・•Z.A=60。,

.・.乙/=乙4+/.ABC=600+45°=105。；故选：C

【变式2-2］将一副三角板按如图方式放置，使EF||AB,则4a=()

A.90。B.95°C.100。D.105。

【答案】D

【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.由题意可知，乙E=60。,乙B=45。,由£尸||48,得到上BGH==60。,再结合4a=匕8+

(BGH,得到答案.

【详解】解：设DE与AB,8c分别交于点G,H,如图所示:

由题意可知，乙E=60。,乙B=45。,

•・•EF||AB,

乙BGH=ZE=60。,

•・•4a是ABHC的外角，

=+=45+60=105.故选：D.

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第05讲三角形的外角（解析版）

【变式2-3］如图，乙B=20。,Z.C=31。,乙BPC=123。,则44=.

【答案】72°

【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是

解题的关键.连接4P并延长至点。，利用NBPD=484「十/8,ACPD=^CAP+zC,得NBPC=

乙BPD+乙CPD=匕BAP++/.CAP+zC=123。,即iBAC+々B+zT=123°,代入=20°,

乙C=31。,即可求解.

【详解】解：如图，连接AP并延长至点D,B

「乙BPD=^BAP十乙B,乙CPD=LCAP+乙C,

：.^BPC=乙BPD+乙CPD=4BAP+zB+^CAP+NC=123。,

：.^BAC+=123°,

■:乙B=20°,乙C=3",

C.Z.BAC=123。一乙B—CC=72。，故答案为：72°.

【题型3利用三角形的外角性质比较角的大小】

【例3】如图，4々OOE和乙BEC的大小关系是（）.

A.Z.A>乙DOE>乙BECB.乙DOE>Z.A>乙BEC

C.乙BEC>乙DOE>Z.AD.乙DOE>乙BEC>44

【答案】D

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可.

【详解】解：在△48E中，匕BEC=4A+匕B,

：.Z.BEC>N4,

在中,/-DOE=/-BEC+rC,

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第05讲三角形的外角(解析版)

乙DOE>乙BEC,

：.^DOE>^BEO故选D.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

【变式3・1】如图，有下列结论：①>乙4c0：②乙B+乙ACB=180°-③乙4+乙ACB<180°；

④乙HEC>NB.其中，正确的是(填序号).

【答案】②③④

【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系:

根据三角形的外角大于不相邻的内角，三角形的内角和定理即可求解；

【详解】解：①乙4〈乙4CO,故①错误；

②乙B+^ACB=180。-4力，故②正确；

③4/+"CB<180°,故③正确；

®^HEC=£.AED>Z.ACD>zfi,则zHEC>故④正确；故答案为：②③④

【变式3・2］如图所示，尸是AABC内一点，延长BP交4c于点。，连接PC.

(1)2/、乙2、乙4的大小关系是：_>_>_；

(2)若43=25。，&=67。、44=40。，嘉嘉想求N/的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉

嘉完成求解.

思路一思路二

先利用三角形内角和求出4PBe+乙PCB的先利用三角形外角求出42的度数.再利用三

度数，再利用三角形内角和求出乙/的度数.角形外角求出2/的度数.

【答案】(1)匕/;乙2；乙1；⑵乙/=/32。

【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理；

(1)根据三角形外角的性质可得乙2=乙3+乙4乙1=乙2+乙4,然后可得答案；

(2)思路一：先在△48C中利用三角形内角和定理求出4PBC+4PCB的度数，再在△PBC中利用

三角形内角和定理求出/的度数；

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第05讲三角形的外角(解析版)

思路二：先利用三角形外角的性质求出乙2的度数，再利用三角形外角的性质求出2/的度数.

【详解】(1)解：是△ABO的外角，4/是△CDP的外角，

/.42=43+乙A,乙1=乙2+乙4,

・32>乙4,4/>Z2

：.L1>z2>z/1,故答案为：z/；乙2；乙4：

(2)思路一：在△力BC中，乙4+43+4PBC+NPCB+24=/8。。，

J乙PBC+乙PCB=180。一乙4一43—乙4=180。-67°-25°-40°=48。,

在^P8C中，Z/+乙PBC+乙PCB=180。,

・"/=180°-QPBC+乙PCB)=180°-48°=132。；

思路二：,・22是△480的外角，

・・・42=43+乙4=25°+67°=92。,

•・2/是△CDP的外角，

・•・4/=匕2+N4=920+40。=132°.

【题型4三角形的外角性质与折叠问题】

【例4】如图，在△4BC中，NACB=90。，点D,E分别是BC,AC延长线上的一点，连接DE,DAt

将△4OE沿AD折叠得至凡若乙E=50。,则4凡4D的度数是()

A.30°B.25°C.20°D.35°

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是折叠性质、外角性质，几何图形中角度计算问题，解题关键是熟练学

握折叠性质.

由折叠性质可得，ZF=ZE=50。,4FAD=^EADf再由外掩性质推得NOCE=^EAD+^FAD+乙F

即可得解.

【详解】解：由折叠性质可得，乙F=£E=50。,^FAD=LEAD.

•・•点D,E分别是8C,4c延长线上的一点，

••・Z.ACD=乙DCE=900,

v/.ADC.NOCE分另I」是△40F、△4C0的夕卜角，

乙DCE=LEAD+/.ADC,Z.ADC=Z.FAD+Z.F,

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第05讲三角形的外角（解析版）

・•・(DCE=Z.EAD+Z.ADC=Z-EAD+Z-FAD+乙F,

即2Z-FAD+50°=9。。，

^FAD=20°.故选:C.

【变式4・1】如图，在△ABC中，“=40。,将△48C沿着直线/折叠，点C在落点。的位置，则4/一42

的大小是度.

D

【答案】80

【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据折叠得到NO=2。=

40。，乙5=44+42,利用45+/4=/80。得到乙4=90。一）2,z.5=90°+^2,根据三角形内角和

定理得至此3=5。。一"2,再利用夕卜角性质得至此/+△3=45+”,由此求出乙/一/2的度数.

【详解】解：如图.0

由折叠得乙。=4俨，Z5=Z4+Z2,

・.・乙5+44=180%

・・・45=180。一人4,

：.180°一44=44+Z.2,得乙4=90°一小,

：.^5=90°+^2t

VZ4+Z2+Z3+ZD=180°,即90。一：乙2+乙2+乙3+40。=180。,

・・・zJ=500—gzJ,

・・•△/+43=乙5+乙C,

・•・△/+50。一g42=90。+g42+40°

W2=80。、故答案为80.

【变式4・2】如图，在△ABC中，匕4cB=9俨，D,E分别为4B,AC上一点，将△BCD,△40E分

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第05讲三角形的外角（解析版）

别沿CD,DE折叠，点4、8恰好重合于点4处.若NAC4=/6。，则乙4EO=

【答案】/27。/127度

【分析】由折叠性质结合三角形外角的性质分析计算.

【详解】解：由折叠性质可得ZBCD="。4,乙BDC=LA'DC,^ADE=^ADE,

，乙EDC="DC+ADE=90°

•・・ZT1CB=9俨，Z.ACA'=J6°

•"A'CB=106°

：.z.DCA'=53°

：.^DCE=^DCA'-AA'CA=37°,

：.£.AED=乙EDC+乙DCE=127°,

故答案为：127°.

【变式4・3】将的顶角/沿直线QE折叠（如图），点/的对应点为点4,记，CD4'为N/,/BE/'

为乙2.

（1）如图1,当点/的对应点4落在△A8C内部时，试探求//,乙2与乙4的数量关系，并说明理由；

（2）如图2,当点力的对应点4落在△力8c外部时，Z/,乙2与乙4又有怎样的数量关系呢？请写出猜

想，并给予证明.

【答案】（1）4/+乙2=2404£理由见解析；（2）4/-N2=2N/ME,证明见解析

【分析】此题主要考查折稗的性质、三角形外角的性质，掌握折会前后图形对应角度相等和三角形

的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键.

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第05讲三角形的外角（解析版）

（1）利用三角形两次外角定理得出结论;

（2）由三角形外角定理，再由折叠可得=即可得出结论.

【详解】（1）解：乙/+乙2=2，DAE,理由见解析：

如图1,连接44,图।

•・•4/是△4）4的夕卜角，

Z./=Z.DAA'+Z-DAA.

同理，Z2=Z-EAA'^Z-E^A.

•••ZJ+42=Z.DAA'+Z.DAA+LEAA+Z.EAA.

由折叠性质得乙/ME=4DA'E.

・•・zJ+乙2=2/.DAE.

（2）乙1一乙2=2乙DAE,证明如下:

如图2,连接44',

・・•4/是4力。4的夕卜角,

•••乙/=Z.DAA+Z-DAA.

同理，Z2=^EAA^Z-EA'A.

4/=Z.DAE+Z-EAA'+Z.EAA+Z.DAE.

由折叠性质得4£ME=乙DA'E.

・•・z.7=2/.DAE+乙2,

Z.7—z.2=2/.DAE.

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第05讲三角形的外角（解析版）

【题型5三角形的外角性质与单角平分线】

【例5】如图，在△ABC中，BO是AC边上的高，CE是N4CB的平分线，BD,CE交于点F.若乙AEC=

80°,乙DFC=52°,则4ABC的度数是（）

【答案】C

【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外向性质，熟练掌握各知

识点并灵活运用是解题的关键.

由直角三角形锐角互余以及角平分线得到4ECB=乙DCF=38。,再由三角形的外角性质得到

^ABC=AAEC-^ECB,即可求解.

【详解】解：・.,80是47边上的高，

・"FOC=90。，

乙FCD=90。-Z.DFC=90。-52。=38。,

TCE是乙1CB的平分线，

：.^ECB=乙DCF=38。,

工乙ABC=cAEC—乙ECB=80。-38°=42°,故选：C.

【变式5・1】如图，△力3C的外角乙1CD的平分线CZ7交ZM的延长线于点若乙301=88，则L。+乙E

的值是（）

A.44°B.46°C.45°D.43°

【答案】B

【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键在于能够巧妙的运用三角形外角的性质及角平分线的

定义求解.

先根据邻补角的定义求得44C。的度数，再利用角平分线的定义求得乙ECO的度数，根据三角形外

角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.可知NECO的度数即为NB+4E的

值.

【详解】解:=88.

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第05讲三角形的外角(解析版)

・•・^ACD=180。-乙BCA=180°-88°=92°.

•・•CE平分N4CD.

・•・(ECD=^ACD=gx92。=46°.

•・•/ECD是△BCE的外角.

:.乙B+乙E=^ECD=46°.故选：B.

【变式5・2】如图，4。是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则a、/?、y之间的数量关系是()

A.a+p=yB.2a-p=yC.2p—a=yD.2y—a=p

【答案】C

【分析】木题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设

利用外角可得/?=a+x,y=a+2x,再进一步可得结论.

【详解】解：・・・40是的角平分线，

・•・设乙B力。=LCAD=%0,

=a+%,y=a+2x,

Ay=a+2(/?-a)=2p-a,故选C

【变式5・3】如图,在△4BC中，点E和F分别是AC,8C上一点，EF//AB,4BCA的平分线交AB于

点0,ZAMC是△ABC的外角，若乙EFC=a,乙MAC=6,^ADC=y,则a,/?,y三者间的数量关

A.p=a+yB.p=2a-2yC.p=a+2yD.0=2y-a

【答案】D

【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、平行线的性质，根据三角形外角的性质

可知"ICO=£-y,根据角平分线的性质可知-4CB=2乙4co=2(/?—J/),根据平行线的性质可知

乙ABC=cEFC=a,利用三角形外角的性质可知/?=a+2(/?-y),整理可得：p=2y-a.

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第05讲三角形的外角(解析版)

【详解】解：•••CD是4BC4的平分线，

•••Z-ACB=2/-ACD,

v乙MAC是△40C的外角，

•••乙MAC=Z.ADC+Z-ACD,

Z-ACD~Z-MAC-Z-ADC=0-丫,

•，・乙4cB=2(0-y),

•••EF//AB,

:.乙ABC=Z.EFC=a,

又・.・/M力。是△ABC•的夕卜角，

•••4MAC=Z-ABC+Z-ACB,

:・B=a+2(0—y),

整理得：/?=2y-a.故选：D.

【题型6三角形的外角性质与双角平分线】

【例6】在中，乙4BC,乙4cB的平分线交于点O,乙4cB的外角平分线所在直线与41BC的平

分线交于点。，与N4BC的外角平分线交于点E,下列结论：①乙8。。=90。+"4②“"乙4；

③乙/=④NE+乙DCF=90°+匕ABD.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.③④C.©@@D.①②③④

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平

分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；

由角平分线的定义可得乙。8c+乙0CB=g(乙48c+NAC8)=9。。一再由三角形的内角和定理

可求解々BOC=/80。一亿0BC+/0C刃=90。+—乙4即可判定①；由角平分线的定义可得NDCF=

^ACF,结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得NMBC+4NCB=/80O+41,

再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外用的性质可得乙E+

=90+,结合可判定④；

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第05讲三角形的外角(解析版)

【详解】解：•••△ABC,乙4cB的平分线交于点。，

・•・2LABD=乙OBC=，ABC,乙OCB=^ACO=g/ACB,

乙OBC+乙OCB=：(4ABC+44CB)=g(/8〃。一44)=90。-小,

・•・Z.BOC=180。-QOBC+乙OCB)=180°-(9。。一=90。+

故①正确，符合题意；

•••CO平分NACF,

乙DCF=：匕ACF,

•••Z.ACF=Z.ABC+乙DCF=乙OBC+NO,

:.2乙OBC+2乙D=Z.ABC+Z.A,

•'•Z-D=-z.24,

故②正确，符合题意；

如图，

•・•zJWBC=44+4ACB,乙BCN=LA+乙ABC,^ACB+Z/4+A.ABC=180°,

・•・乙MBC+乙NCB=+乙ACB+乙ABC+=180°+

•••BE平分4M8C,CE平分乙BCN,

E

・♦・乙MBC=2乙EBC,乙BCN=2乙BCE,

...乙EBC+乙ECB=9伊+:NA,

•••ZE=180。-QEBC+乙ECB)一9。。一;4A,

/.=180°-22E,

故③错误，不符合题意；

•・•乙DCF=乙DBC+乙D,

••・乙E+乙DCF=9。。—一44+乙。8。+!乙4=9吁乙DBC,

•・•乙ABD=乙DBC,

••.Z.E+Z.DCF=90°+乙ABD,

故④正确，符合题意；综上正确的有：①②④；故选：C

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第05讲三角形的外角（解析版）

【变式6・1】如图，乙MAN=10G3,点、B,C是射线AM,4N上的动点，44cB的平分线和乙MBC的平

分线所在直线相交于点D,则乙BDC的大小为（）

60°C.80°D.随点B,C的移动而变化

【答案】A

【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用.根据角平分线定义得出乙4cB=2ZDCB,

乙MBC=2乙CBE,根据三角形外角性质得出2NO+乙4Q5=△力+乙4CB,求出乙4=2乙0,即可求

出答案.

【详解】解：・・・CD平分44CB,BE平分乙MBC,

：./.ACB=2(DCB,乙MBC=2乙CBE,

.:乙MBC=2乙CBE=2+4ACR,乙CBE=乙。+乙DCB,

：・2乙CBE=乙D+乙DCB,

・・・Z_MBC=240+N/CB,

：.2Z-D+Z.ACB=乙4+乙ACB,

・"/=2乙D,

VZ/4=100°,

：.^D=50°.故选：A.

【变式6・2】如图，AB//CD,N4BG的平分线8E和NGCD的平分线CF的反向延长交于点E,且-

度.

【分析】延长。。，交BG于M,设8G、EC交于点N,设乙48G=2x,NGCO=2y,利用平行线的

性质及外角的性质可得2x=180°-2y+NG①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得

%+4=/8俨一y+NG②，再由①②整理得出%E-乙G=/80。③，结合己知条件即可求解.

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第05讲三角形的外角(解析版)

AB

£U

Ml\cD

………

【详解】G

延长QC,交BG于M,设4G、EC交于点、N,

设乙4BG=2x,Z-GCD=2y,

乙MCG=180。-2y,

-AB//CD,

・•・(NMC=匕ABM=2x,

・•・(NMC=4MCG+，G,即2x=180°-2y+4G①，

・・・N4BG的平分线BE和4GCD的平分线CF的反向延K交于点E,

•••乙EBG=x,Z.GCF=y,

•••乙NCG=180°-乙GCF=180°-y,

在△BEN和△GCN中，乙BNE=KGNC,

乙NBE+Z,E=乙NCG+乙G,即％+zE=180°-y+4G②，

联立①©,可整理得3乙E一乙G=180。③,

v3乙E—5乙G=172°④,

联立③④，可整理得7/G=796。,

・・・/G=28。，故答案为:28.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角和定理，

熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键.

【变式6・3】【数学模型】

“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图

1,4D,BC交于。点，根据“三角形内角和是/80。”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：

(J)^DOC=^AOB(对顶角相等)；②4。+NC=+N&

【提出问题】分别作出和/BCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2,乙E与乙D,乙B之

间是否存在某种数量关系呢？

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第05讲三角形的外角(解析版)

【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.已知乙84。的平分线与NBCD的平分线交

于点E.

(1)如图2,乙D=30°,乙8=50。，则RE的度数是多少呢？

易证乙0+=Z.E+z.3,乙B+乙4=LE+z2

请你完成后续的推理过程：

:.乙D+乙1+乙B+乙4=

vCE,AE分别是4BCO,4BAO的平分线

...乙/二