高考数学一轮复习题-数列的概念

第六章数列

§6.1数列的概念

【课标要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整

数的一类特殊函数.

---------------------------落实主干知识----------------------------

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛小｝的第〃项由与它的序号〃之

通项公式间的对应关系可以用一个式子来表示，那

么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关

递推公式系可以用一个式子来表示，那么这个式子

叫做这个数列的递推公式

把数列｛〃”｝从第1项起到第〃项止的各项

数列｛小｝的

之和，称为数列｛m｝的前〃项和，记作

前n项和

S“即S产包+s+…+a”

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

其中

项与项递减数列a,^\<an

间的大常数列a,^\=an

小关系从第二项起，有些项大于它的前一项，有些

摆动数列

项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列伍”｝是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)到实数集R的函数，其自变量是序号〃，对

应的函数值是数列的第〃项a„,记为an=Jin).

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.(4)

(2)数列1,(),1,(),1,…的通项公式只能是所上与空■.(x)

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(x)

(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(“)

2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用小石子来研究数.如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数，则

第8个五边形数是.

151222

答案92

解析V5-l=4,12-5=7,22-12=10,

・♦.相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,

・••第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70,第8个五边

形数是70+22=92.

3.已知数列｛。”｝满足。1=I,an=n+a,t.।(〃力2,〃£N〉，则an=.

解析数列｛«,｝满足0=1,斯=〃+a“(〃22,〃WN')，

可得d\—\,

42-41=2,

2-他=3,

出-43:4,

=

Cln-Cln-\n,

以上各式相加可得%=1+2+3+…+〃="；+1)(〃22),

又0=1符合该式，所以也罗.

2

4.已知数列｛的｝的前n项和为S,”且S,t=n-4n+1,则an=.

公案12,九=1,

a禾L2n-5,n>2

解析当〃=1时，«I=SI=-2；

22

当〃22时，an=Sn-Sn.i=n-4n+l-[(n-1)-4(n-1)+1]=2n-5.

因为当〃=1时,不满足an=2n-5,

所以斯=仁2,%上

I2n-5,n>2.

B微点提醒

1.灵活应用两个常用结论

(1)若数列｛&｝的前〃项和为S,则。，求

l->n—3n-1，几NEN,

(2)在数列｛小｝中，若如最大，则伊”5若。“最小，则伊〃£N*.

(anNan+l>(an工an+l>

2.掌握数列的函数性质

由于数列可以看作一个关于〃(〃£")的函数，因此它具备函数的某些性质：

(1)单调性—若斯+>小，则｛斯｝为递增数列；若小+卜小，则｛知｝为递减数列，否则为摆动数列或常数列

(Cln+l^n)-

(2)周期性——若斯+尸小伙为非零常数)，则｛〃“｝为周期数列，k为｛〃“｝的一个周期.

・探究核心题型•

题型一由小与S,的关系求通项公式

例1⑴（2025•漳州模拟）已知各项均不为0的数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，若3S”=m+1,则%等于（）

a7

A.1B.-jC.；D.：

2323

答案A

解析因为3Sn=an+l,则3s"产斯”+1,

两式相减可得3小+1=斯+|“，

即2aH+\=-an,

令n=7,可得2a8=-a?,

且a¥0,所以血=-2

Cly2

n

（2）已知数列｛〃〃｝满足X=〃+1，则。2025等于（）

k=1

A.2025B.2024C.4049D.4050

答案C

解析由题意可得0+等+等+…七\=〃+1,①

352n-l

当72=1时,0=2；

当〃22时，0玲片+…卷宗〃，②

352九一3

①②两式相减得#7=1,即4尸2〃」.

2n—1

又。1=2不满足an=2n-\,

综上所述,的｛郊=n>2.

所以U2025=4049.

思维升华〃”与S”的关系问题的求解思路

⑴利用4产S〃-S〃“（心2）转化为只含Sn,S"的关系式，再求解.

（2）利用S〃-S〃-尸转化为只含小，4“的关系式，再求解.

跟踪训练1（1）（多选）已知数列｛斯｝的前〃项和S”W（3〃-1）,则下列说法正确的是（）

A.67I=1

B.数列｛«,｝为递增数列

C.数列｛m｝是等比数列

D.a产2X3””

答案ABC

解析VS„=1(3M-1),

.,.«i=Si=1x(3-l)=l,故A正确；

当时，,

••・斯=5"-5”.尸!(3〃-1)-1(3小」)=3"“，〃尸1也适合，六。尸3"」，故D错误；

••qn4-i_3n

,-^_一后7.

・•・数列｛%｝是公比为3的等比数列，故C正确；

•••«产1,公比大于1,・••数列何“｝为递增数列，故B正确.

⑵(2024・广州模拟)已知数列｛小｝的前〃项和$尸〃2+〃，当沁取得最小值时，”

an

答案3

解析因为S,尸〃2十〃,

22

则当"22时,an=Sn-Sn.\=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,

又当n=\时，ai=Si=2,满足。”=2〃,

故°尸2〃，

则—+捌,

又广工号在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

故当"=3时，〃二取得最小值，即当〃=3时，止取得最小值.

n

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2(2025・常德模拟)已知数列｛%｝满足a】=1,an-a„+\=2''anan^\，则an=

1

答案

2n-l

解析若an+\=0,则atl-an+\=0,

即an=an+\=Q,这与ai=l矛盾，所以。肝立0,

由。〃-。“+1=2"4小+1,两边同时除以a〃a”+i,

得不二；=2”.

an+ian

则工」_二2""，

an°n-l

an-ian-2

上面的式子相加可得;^萨2+22+23+…+2f竿N=2"-2（心2）,

所以。户/7（”22）,

又s=l符合该式，所以an=-^—.

命题点2累乘法

2

例3若数歹U｛即｝满足。1=12,。1+2。2+3。3+*•*+nan=nan,则a2025=，

4

答案675

解析因为。|+2。2+3。3+…+〃4”=〃％”,①

所以“1+2〃2+3。3+…+〃〃”+(〃+1)m+1=(〃+1)2«?+1,②

②-①得，(〃+1)-=(〃+1)2…2m=制嗝

所以必尸竺，2-.0二乂以取-X—X12*(〃22),

a

4a2a-in-i234nn

又0=12也符合，所以a=—,

nn

所以。2025二士.

0/0

思维升华（1）形如斯+「〃”=/（〃）的数列，利用累加法，即可求数列｛小｝的通项公式.

（2）形如皿=A〃）的数列，利用累乘法，即可求数列伍”｝的通项公式.

an

跟踪训练2（1）已知数列｛〃“｝中，0=1,〃a〃+i=23i+G+…+〃〃）（〃WN"）,则数列｛4〃｝的通项公式

为.

答案a,t=fi

解析,.•〃〃”+1=2（山+〃2+…+诙），①

・••当时，（〃-1）。产2（0+。2+…+斯-1）,②

①•©得〃加1-5-1）。产2。〃，

即na^\=(n+\)an,

•an+l_n+1

•・-----------,

ann

a,{=a\------=1X-X•••X-^—=n,

Q]。八一11〃一1

当n=l时，结论也成立.

an=n.

(2)(2024・盐城模拟)凸五边形有5条对角线，那么凸〃+2(〃22)边形的对角线条数为()

Ang)Bi+2)

'2"3

C5+2)(n+l)D(n-l)(n+2)

•2.2

答案D

解析凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，

则得到在凸〃+1(〃23)边形的基础上，多一个顶点，则多〃条对角线，

设凸叶2边形有1〃+2)条对角线，

所以五〃+2)7(〃+1)=〃，

则丹5)力4尸3,负6)力5)=4，…，加廿2)的?+1)=〃，

累力口得次〃+2)次4)=3+4+・・・+〃，

贝I」人〃+2尸2+3+4+,•・+〃=("一?(n+2),,

当n=2时，/(4)=2也满足此式，

所以加+2尸5-】72),“22.

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4(2024.阜阳模拟)已知数列(分}满足以=2/+而Q£R),则为递增数列”是“220”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由｛“,｝为递增数列得，丽口尸[2(〃+1)2+廉〃+1)]-(2/+加=4+4〃+2>(),〃€N*,

则>.(4〃+2)对于〃£N’恒成立，得力>-6,可得iN()n2>-6,反之不成立.

命题点2数列的周期性

例5(2025•孝感模拟)在数列(小｝中，。尸-2,“小+产小-1,则数列｛〃”｝的前2025项的积为()

A.-lB.-2C.-3D.：

2

答案A

解析因为alta^\=an-\,册NO,

所以0"+尸1一■,

又0=2,贝I]«2=|,«3=|,«4=-2,

所以数列｛〃”｝的周期为3,且41a2a3=-1,

设数列｛m｝的前〃项积为T„,

则T1位5=。1。2。3…。2025=(-1)675=-1.

命题点3数列的最值

例6数列｛/&｝满足从=若，则当“时，小取最大值为

答案41

3九-43n-710-3n

解析方法-2八2〃一：2n

・・・当后3时,b,^>bn,也｝单调递增，

当“24时，be<b〃，｛d｝单调递减,

故当〃=4时，（Z?“）max=b4=J.

O

3八一4

f3n-7>

—匕+1，271T2n,

方法二即《

-bn-1，3n-7>3n-10

V2n-12n-2，

解得常理,

又nGN*,An=4,

故当"4时，(/?3最=仇4

o

思维升华(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，眄定数列的周期，再根据周期性求值.

(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列｛m｝的单调性.

跟踪训练3(1)(2024・周口模拟)在数列｛〃“｝中，0=1,。2=5,即+2=a“+iS(〃，N"),则。2025的值为()

A.5B.-5C.4D.-4

答案C

解析因为4尸1,s=5,a”+2=a“+i-a"(〃£N‘)，

所以。3=。2-。1=4,。4=。3-。2=-1,。5=。4-。3=-5,〃6=〃5-。4=-4,。尸恁一胆口,。8=。7-。6=5,

故数列｛〃”)的周期为6,

所以<72025=«6«337+3=«3=4.

(2)已知数列｛小｝的通项公式为4产而。］_2,若｛〃”｝为递增数列,则％的取值范围为()

A.(l,+8)B.(o,+°0)

C&+8)D6+8)

答案D

2

解析an=kn-n-2,若｛〃”｝为递增数列，

则m,

有k(n+1)2-(n+1)-2>knr-n-2(n£N*),

解得匕a(〃£N)，

则心岛人，

当"=】时，(肃)m/，所以《，

则A的取值范围为Q,+8).

课时精练

［分值：90分］

IN知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.观察数列1,ln2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,则该数列的第12项是()

A.l212氏12C.ln12D.sin12

答案D

解析通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项

是sin12.

2.已知数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，若S产〃2」,则°3等于()

A.-5B.5C.7D.8

答案B

解析因为S,产〃2-1,

22

所以fl3=S3-52=(3-l)-(2-l)=5.

3.已知数列｛许｝的项满足尸;且则a〃等于()

(n+l)2B-E

C^—

2n-l2n-l

答案B

解析由a〃+i="”，得饕1拶,所以料，'，料,…,修詈,占鬻〃2),所以

攵.但幺.…义…义1乂二，所以包=_,因为。尸1,所以处,又因为。尸1满

。3an-2an-i345nn+1n(n+l)n(n+l)

足上式，所以小=一京.

n(n+l)

4.已知数列｛斯｝的通项4尸号，则数列｛m｝中的最大项的值是()

nz+90

A.3V10B.19C.-D.—

1960

答案C

解析令人%)=]+三。＞0),

运用基本不等式得於)26，IU,

当且仅当x=3g时，等号成立.

因为(h=—90，〃七N",所以」,

n+—n+—6、10

nn

所以当n=9或72=1()时，年卷最大.

5.已知数列｛斯｝满足〃尸1,a“-a”+产则。”等于()

22

An+nnn-n+2

A—

C—D―-—

n2+nn2f+2

答案D

解析易知,由题意，得————=n,

an+lan

贝U当屋22时,-----=n~1,-----=n-2，…，——=1,

anan-ian-ian-2a2ai

以上各式相加得

J-J_=l+2+…+(〃/)=迎0(〃22),

anai2

所以产科_n2-n+2

~-2~

2

即a„=(心2)

n2-n+2

当n=\时，0=1适合此式，

所以诙=2

n2-n+2"

6.(2025・江门模拟)物理学家法兰克・本福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以几开头的数出现的

概率为25)=1。劭片.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若

80,

XP105)二簪*(k£N)贝心的值为()

.l+10g5

n=k2

A.7B.8C.9D.10

答案C

80

解析£P10(n)=Pm(Wio(^l)+-+Pio(80)=lg号+lg寝+…+怆案=怆?，

KK十1oUK

n=k

Ig8141g3

而牒=亳=遥=2怆3比9,故

Ig2Ig2

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.已知数列｛斯｝的前〃项和公式为S,尸-三，则下列说法正确的是()

n+1

A.数列｛斯｝的首项为

B.数列｛册｝的通项公式为斯二岛5

C.数列仅“｝为递减数列

D.若数列｛1｝的前〃项积为T,”则*

答案ABC

解析对于A,数列｛知｝的首项为0=S尸土三，故A正确；

对于B,当时，a=S,rSi=-77--=适合上式，故B正确；

tllhn+1nn(n+l)2

对于c，因为而叩…】…:广•前F，所以数列｛〃〃｝为递减数列，故c正确；

对于D,…义」?二」-,所以数列⑸｝的前〃项积,故D错误.

234n+1n+1n+1

8.已知数列｛〃“｝的前71项和为S,”且S-〃n=(〃・l)2,4产萋，则()

A.S〃=”2

B.an=2n

C.数列｛儿｝是递减数列

D.数列｛4｝的最小值为盖

答案AD

解析„n-Sn-K〃，2),

:・S"n=SnA,则5n.l=(n-l)2,

即S产〃2(,2UN),

22

,当〃22时，i7/f=n-(n-1)=2n-1,

又s=l满足上式，，小=2〃-l(〃WN“),故A正确,B错误；

一o2n-i22n+i

易知瓦>0,•；bn二-^~，

(71+1)4'

・.如+=22n4二件i)4,当绥＞1时，〃＞注+1,

4

“bn"(n+l)-\n+l/n+1

・•・当1W〃<3时，儿>瓦+1,当时，b“<b.1,

・•・数列的｝不是递减数列，且当〃=3时，儿取得最小值登，故C错误，D正确.

81

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知数列｛斯｝满足为二//〃，〃WN",数列｛m｝是递增数列，试写出一个满足条件的实数2的

值：.

答案1(%取满足在3的任意一个实数值即可)

解析因为数列｛小｝是递增数列，且〃产庐加，则加力,

即(//+1)2-A(/z+1)>n2-Xn,

整理可得2〃+1力>0,即a2〃+1,

因为"£N*,即〃21,

所以2〃+123,所以上3.々取满足后3的任意一个实数值即可）

10.九连环是中国传统民间智力玩具，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.现假设

有〃个圆环，用。〃表示按照某种规则解下〃个圆环所需的最少移动次数，且数列｛斯｝满足。尸1,诙=2,

年即2+2"」（心3,〃WN*）,则解开九连环最少需要移动次.

答案341

解析由题意，。产品2+2”“，

故fls-fli=22,

的-々3:24,

。为1-62小3=22小2,

以上各式相加，可得。加1-0=22+2，+…+22小2=41+42+・・・+4””，

即。2步尸1+41+42+—+4""=2±=上~匚,

1—43

所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为G=F=341.

四、解答题（共28分）

11.（13分）已知数列｛小｝的各项均为正数，其前〃项和为S”且满足。尸1,am=2店C

（1）求G的值；（5分）

（2）求数列｛%｝的通项公式.（8分）

解⑴•・Zi=l,an+\=2y[S^+\,

a2=2yfs[+1=2\fa[+1=3.

（2）方法一由a,t+\=2y/S^+\,

得S〃+i-Sn=2JSn+1,故S+i=（JS^+1）".

，S”>0,»*•JS〃+i=JS^+1,

即，Sn+i-ys^=i,

则属-向=二1（心2）,

JSn—7Sn—2=\，…，=1，

由累加法可得+（〃/）=〃,

二•S,尸〃2(〃22),

又5|=0=1,满足上式，

22

当〃22时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=2w-1,

又s=l适合上式,*.an=2n-\.

方法二由alt+\=2y[S^+\,

得(《HI-1)2=4S”，

当〃22时，(的-1)2=4工-1,

・'・(。，田-1)2-(。〃-1)2=4(S”6Z)=4〃”.

/.a^^-d^-2a„+\-2an=0,

即(即1+斯)(。”+l-fln-2)=0.

V«n>0，，如+「。”=2(〃22).

又•.•〃2-。1=2,

・・・｛〃”｝为等差数列，且公差为2,

«„=1+(/?-1)X2=2/z-1.

12.(15分)已知各项均不为0的数列｛%｝的前〃项和为S”且。尸1,S尸现竽

(1)求：〃“｝的通项公式；(6分)

(2)若对于任意〃£N“，2”》与恒成立，求实数2的取值范围.(9分)

解⑴因为数列｛〃“｝的前〃项和为工,

且所1,S尸匕号里,即45巾”。田+1,

当〃22时，可得4S“=a”一心+1,

两式相减得4an=an(an+\-an.\),

因为q〃KO,故。"+|-。”-尸4,

所以。1,。3,…，。2小1,…及02,04，…，42”,…均为公差为4的等差数列，

当〃=1时，由0=1及s尸。个+1,解得s=3,

4

所以。2“-i=1+4(〃-1)=2(2止1)-1,。2/3+4(〃-1)=2X2〃-1,

所以数列｛m｝的通项公式为a„=2n-\.

(2)由⑴知功=2〃・1,

可得S尸⑵Ll）（2n+l）+l=〃2,

4

因为对于任意〃£N*,2”%2S”恒成立，

所以,1芸恒成立，

设呜；，则3也罟*沁铲，

当1-V2＜n＜l+V2,即〃=1,2时，

bn+『bp。,bn＜bn+l,

当心1+企，即，〃£N,时，

btt^\-b,＜0,仇＞儿+i,

所以也＜/?2＜仇＞。4＞岳＞…，

故（bJmax%^，所以，2，

即实数2的取值范围为假，+8）.

10能力拓展

每小题5分，共10分

13.（2024.武汉模拟）在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过〃层薄膜，记光波的初始功

率为P。，记入为光波经过第攵层薄膜后的功率，假设在经过第攵层薄膜时，光波的透过率心=，=4，其

pk-i2k

中上1,2,3,…，小为使得-22-2%则〃的最大值为（）