2027年高考数学一轮专项复习（北京专用）-数列（原卷版+解析版）

数列（测）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题k和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题K上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.等差数列｛册｝前及项和为Sn,a2+a9+an=12,则S13=（）

A.32B.42C.52D.62

2.已知等比数列（斯｝的各项均为正数，｛Q,J的前n项和为S”，若S3=21,§2=9,则勺的值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知｛%｝为等差数列,｛儿｝为等比数列,其中即=九=1,%=83=3，则<）

A.a4Vb4B.a4>b4

C.（Z5<65D.>Z>5

4.已知数列｛%｝中，。1=1,------=0»5为其前71项和,则§5=（）

即即+1n

A.二B.三C.11D.31

1616

5.已知｛6｝为无穷等比数列，且公比0<q<l,记又为｛%｝的前n项和，则下面结论正确的是（）

A.a3<a2B.axa2>0C.｛%｝是递减数列D.S”存在最小值

6.已知数列｛a｝满足%=-1,做=一8,且对任意n£AT,anan+l+2an+1=an+m,则。2025=（）

35

A.-8B.-1C.-D.-

22

7.已知等差数列｛册｝的公差为d,数列｛b｝满足品•b二1（九€犷），则“d>0”是"｛垢｝为递减数列〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

8.对于数列｛%｝若存在实数M>0,使得对一切正整数n,恒有|孙1<M成立，则称数列｛曰｝为有界数歹U.

设数歹叫麻｝的前n项和为S”，则下列选项中，满足数列｛SJ为有界数列的是（）

nD

A.an-2n+1B.an-（-2）C.即一心;.-即一（一D"储

9.已知等差数列｛%｝与等比数列｛4｝的首项均为-3,且的=1，。4=啊，则数列｛斯加｝（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

10.设｛斯｝与｛九｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合时=伙|的=%/^^｝山下列四个命题.

①若｛Q,J与｛九｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛5｝与｛九｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛即｝为等差数列，｛b｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛即｝为递增数列，｛b｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

则上述命题中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知数列｛即｝的前〃项和%=n2+3n+2（neN“）,则数列｛即｝的通项公式为.

12.已知等比数列｛册｝,记其前n项乘积7兀=axa2…Q”.若72=-2,T3=-8,则的=;｛斯｝的前4

项和为.

13.数列｛即｝,｛“｝都是等差数列，且al二；,仇二表aio+bo=ll,则数列｛即+%｝的前100项的和

是.

14.已知等比数列｛4｝的前律项和为又,满足%=1,2S1=3%+i-3.则§2为___;满足Sn>5的最小的

整数n为.

15.已知｛斯｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为S”，-+^-=l（neN0.给出下列四个结论：

a

n3rl

①02—V2；

②数列｛%｝有最大值，无最小值；

③吟＞5+1)册+i:

④存在加WNL使得%。〈黑.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程.

16.(13分)已知数列｛%｝为各项均为正数的等比数列，Sn为其九前项和，。2=3,«3+a4=36.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若S,V121,求n的最大值.

17.(13分)已知数列｛Q,J满足+。2+。3+…+即="处，且的=1

⑴求数列｛册｝的通项公式：

(2)记数列｛%｝的前n项和为又

①若的,Qk，Sk+2成等比数列，求正整数A的值；

②数列&｝的前71项和为7\，证明〃V2.

18.(14分)已知等差数列｛%｝中，&=3,公差dHO;等比数列｛九｝中，力3=。1，瓦是1和的的等差中项，

匕2是％和&的等差中项.

⑴求数列｛斯｝,｛久｝的通项公式；

(2)求数列｛斯+以｝的前n项和S”：

(3)记金=0n.仇i，比较0+1与的的大小.

19.(15分)已知数列｛斯｝的前〃项和为Sn(neN*),在数列｛4J中，瓦=%=1,*一(n-1)*=2n-l,

瓦力2b3…0勾+i=3§力

⑴求数歹U｛%｝，仍“｝的通项公式；

(2)设G=(-l)n+1•詈,〃为数列&｝的前〃项和,求7n的最值.

20.(15分)正整数集合4=｛。1，。2，的，…，0｝，且为V。2V。3V…Vn>3,B中所有元素和为T(B),

集合C=｛T(B)|BG4｝.

(1)若4=｛1,2,5｝,请直接写出集合C；

(2)若集合8中有且只有两个元素，求证〃%,即，。3,…，即为等差数列〃的充分必要条件是"集合。中有2n-3个

元素”；

⑶若C=[1,23…,2023｝,求ri的最小值,以及当n取最小值时,即最小值.

21.(15分)已知：正整数列｛册｝各项均不相同，nEN\数列｛〃｝的通项公式/“=唔上誉

⑴若「5=3,写出一个满足题意的正整数列｛Q”｝的前5项：

⑵若%=1,«2=2,Tn=会求数列｛斯｝的通项公式；

⑶证明若VkWN*,都有四式九，是否存在不同的正整数i,/,使得北，。为大于1的整数，其4^WiVj.

数列（测）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

4.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

5.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.等差数列｛%｝前七项和为Sn,a2+aQ+an=12,则S13=()

A.32B.42C.52D.62

【答案】C

【详解】由等差数列得：。2+=(。1+d)+(即+7d)4-(a1+10d)=3al+18d=12,

:*a1+6d=4,即a7=4,

故选：C.

2.已知等比数列｛册｝的各项均为正数，｛Q'｝的前几项和为％,若$3=21,52=9,则%的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q（q>0）,

则俨1+。2+%=21（a3=12[%q2=12

'I%+=9'卜1+。2=9*=9，

两式相除得告=/3q2—4q—4=0,解得q=2（负根舍去），

所以Q1=母=3.

故选：c

3.已知｛QJ为等差数列,｛bj为等比数列,其中的=瓦=1,的=%=3,则()

A.。4<^4B.a4>b4

C.Q5VD.U5>b$

【答案】C

【详解】・・・｛得｝为等差数列且。1=1,。3=3,

-a=

a3i2d=2=>d=1,

••a”=71,CZ4=4,CI5=5,

•・•｛0｝为等差数列且九=1,%=3,

•・坐=q2=3nq=±V3»

bi

n1

.'.bn=(+V3),b4=±3V3,b5=9,

・••当瓦=-3百时，Q4>①，当九=3百时，。4<%，故A、B不正确；

*.*a5=5,b5=9,a5<b5,

故选：C.

4.已知数歹lj｛册｝中，%=1,---=0,S”为其前几项和，则Ss=()

QnQn+1

31

A.二11B.3C.11D.31

1616

【答案】B

【详解】由乙一二一=0得口=；,又・・・。1=1,・•・数列｛册｝为首项为1,公比为:的等比数歹U，

OnOn+1«n22

故选：B.

5.已知｛即｝为无穷等比数列，且公比0<q<l,记5,为｛斯｝的前71项和，则下面结论正确的是（）

A.a3<a2B.ara2>0C.｛Q〃｝是递减数列D.Sn存在最小值

【答案】B

【详解】A：当%>0时，0<q<l,a3<a2f成立，当由<0时，0Vq<l,a3>a2^不成立，A选项

错误；

B：=。1以国=ajq>0成立，B选项正确；

C：当ai>0时，数列｛斯｝为递减数列，当的<0时，数列｛Q”｝为递增数列，C选项错误；

D：当田>()时，S”存在最小值，当Q]VO时，S”存在最大值，D选项错误；

故选：B.

6.已知数列｛或满足即二-1,a2=-8,且对任意anan+l+2a；j+1=an+m,则。2025=()

A.-8B.-1C.；D.

22

【答案】D

【详解】令九=1可得由。2+2a2=%+6，

代入数据得：一1x(-8)+2x(-8)=-1+7n，解得m=-7,

所以%%+1+2%+i=%+1(/+2)=0n-7,

令九二2,解得的=£令九=3,解得。4二-1，令〃=4,解得Q$=-8,…，

可得数列｛a,J的周期为3,则。2025=a3x675=。3=全

故选：D.

7.已知等差数列｛斯｝的公差为d,数列｛"｝满足时•勾=l(ne"),则"d>0"是"｛九｝为递减数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为期,b=1(71EN*),所以“¥0且bW0,则以=工，

an

若d>0,不妨令%=-7+2n,则无=—b2h3=—1.b4=1»力4=：，…，

显然｛0｝不单调，故充分性不成立，

若｛九｝为递减数列，则｛aj不是常数数列，所以｛aj单调，

若｛%｝单调递减，又y=：在(一8,0),(0,+8)上单调递减，则｛力,｝为递增数列，矛盾；

所以｛aj单调递增，则d>0,且％>0,其中当a1<0,d>0时也不能满足他“｝为递减数列，故必要性成

立，

故"d>0〃是气扇｝为递减数列”的必要不充分条件.

故选：B

8.对于数列｛为」，若存在实数M>0,使得对•切正整数人恒有|工〃|<M成立，则称数列卜才为有界数列.

设数列｛%｝的前几项和为工，则下列选项中，满足数列｛S,J为有界数列的是()

n，l2

A.an=2n+lB.an=(-2)C.an=D.an=(-l)n

【答案】C

【详解】对于A,%=2n+l,此时｛%｝为等差数列，则Sn=(3+27)“=n2+2n,无界，故A错误;

对于B,即二(一2)。此时｛册｝为等比数列，则5'二陪审=-3+|(-2)\无界,故B错误；

1

对于C,an------贝Us”-1_：+…+白---77-1--77<1»

n(n+l)nn+1223nn+1n+1

所以|S〃|<1恒成立，即Sn有界，故C正确；

对干D,Q”=(-1)%2,则。2瓶-1+a2m=—(26-1)2+(2m)2=4771—1,

则s2m=3+7+…47n-1=(3+4丁川=2m2+小，

故当n=2m时，S〃明显无界，故D错误；

故选：C.

9.已知等差数列｛%｝与等比数列｛九｝的首项均为-3,且的=1，。4=的4,则数列｛%4J()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【详解】QI=-3,的=1，则d=^^=2,a„=—3+2(n-1)=2n-5,

、n

a=C3=8Cbl.,bL=~3,Q3b41q1b,=-3­x(--lin-i=—(-i)-3

444<5oZn乙乙

a,也=㈠)；管-5),显然第一项为正，第二项为负，几之3时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，

设d=\anbn\=^^-,n>3,

则。+LV中一等二节普，

〃24时，Cn+1-Cn<0,Cn+1<c„t即数列fc”)从C4往后递减，

9

且。1匕1=9>。4%--8»

所以｛对｝｝中，。1月最大,

又a2b2=~l，a3b3=-^,asb5=一段

所以a2b2是最小项,

故选：A.

10.设｛斯｝与出,J是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合时=｛例的=勿水€$｝出下列四个命题.

①若｛%｝与｛九｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛斯｝与｛九｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛5｝为等差数列，｛仇J为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛5｝为递增数列，｛%｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

则上述命题中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】对于①，｛%｝,｛九｝均为等差数列,M=向怒=瓦｝,｛%),｛7｝不为常数列且各项均不相同,故

它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，

••.M中至多一个元素，①正确：

对丁②，令%=21,狐=一(-2)计1,满足包/,小｝均为等，匕数列，

但当n为偶数时，0n=2"-1=九=一(-2)“-1,此时M中有无穷多个元素，②错误：

对干③，设%=4q”(Aq,0,qH±1),an=kn+b(/<0)»

若M中至少四个元素,，则关于n的方程+b至少有4个不同的正数解，

若qV0,q工±1,考虑关于九的方程Aq"=+b奇数解的个数和偶数解的个数，

当打“二府+人有偶数解，此方程即为川q|n=kn+b,方程至多有两个偶数解，

且有两个偶数解时/Uln|q|>0,否则4/dn|q|V0,

vy=A\q\n,y=/m+b单调性相反，方程Aq"=An+b至多一个偶数解，

当Wqn=k72+b有奇数解，此方程即为一川q|“=/m+b,方程至多有两个奇数解，

且有两个奇数解时一4kln|q|>0=Ak\n\q\<0,否则⑷dn|q|>0,

y=-A\q\n,y=/m+b单调性相反，

方程一川q|"=+b至多一个奇数解，••・4kln|q|>0,4kln|q|<0不可能同时成立,

若q>0,qH1,

则rhy=力q"和y=kn+b的散点图可得关于九的方程力q"=kn+b至多有两个不同的解，矛盾；

故/Iq"=kn+b不可能有4个不同的正数解，即M中最多有3个元素，

如％=(-2)",0n=6n—8,此时瓦=ai，%=。2,匕4=。4，③正确;

对于④，••・｛斯｝为单调递增，为递减数列，

M=｛k\ak=bk｝,｛%｝,｛九｝不为常数列且各项均不相同，

前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确，

则上述命题中正确的个数为3个，即①③④.

故透:C

【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨

论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.

第二部分（非选择题共110分）

四、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知数列｛%｝的前〃项和Sn=M+37l+2（7lEH）,则数列｛%｝的通项公式为

(6,71=1

【答案】Qn=

l2n+2,n>2

2

(详解]Sn=n+3n+2,取n=1得到国=二6,

当n22时，Sn_i=(n-l)2+3(n-1)+2,

22

an=Sn-Sn_i=(n+3n+2)-[(n-l)+3(n-1)+2]=2n4-2,

当n=1时，不满足%=6

所以即二屋逅九之2"

a

故答案为：n=｛2n+2,n>2,

12.己知等比数列｛%｝,记其前几项乘积…%•若72=-2,%=-8,则%=；｛%｝的前4

项和为.

【答案】4-5

【详解】由题意，Q3=,=T=4,

T2-2

由丁2=«i«2=。然=-2,T3=Q符3=-8,

解得小=1»q=-2,

”(-2)4

所以S4=

1-(-2)

故答案为：4；-5.

13.数列｛%）,｛九｝都是等差数列，且即=1瓦=|,%。+比o=ll,则数列｛斯+%｝的前100项的和

是.

【答案】5150

【详解】由数列｛%｝和｛bn｝都是等差数列,得%+1-%与耳+1-%均为常数，

则4+i+bn+i-(^+=0n+i-an+bn+1-瓦为常数,数列｛%+是等差数列，

由瓦得力+瓦=2,又。10+比()=11,得｛%+几｝的公差d="。+窜-,+3)=+

，41U-1

所以数列｛%+4J的前100项和为2X100+1°°—T)=5150.

故答案为：5150.

14.已知等比数列｛册｝的前n项和为Sn，满足臼=1,2Sn=30n+i-3.则S2为____；满足力>5的最小的

整数n为.

【答案】|3

【详解】••,%=1,2Sn=3an+1-3,

当?i=1时，5i=ai=1»则2sl=3a2-3,a2=

C.1L58

AS2=flj+a2=1+-=-；

•••｛的｝是等比数列，设公比为q,，q=2=4，

%3

•.』=曾=詈裳冏"-4令S”>5,贝吟冏"一”>5，

化简得两边取自然对数并整理得，九〉医心2.87,故最小整数九二3,

当％=3时，53=|(1)-1«5.44>5,满足条件.

故答案为：3.

15.已知｛册｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为s,，L+9=i5ehr).给出下列四个结论：

an3n

①a2=V2；

②数列｛即｝有最大值，无最小值；

③n%>(n+1)4+1；

④存在沏£旷，使得时。<黑・

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【详解】令九=1,则工+白=2•2=1,所以%=2,

S1«1

11

令”=2,得+市1,

ai+a2

又%>0,可解得劭=或，故①正确;

依题意有%>0,S>0,因为工+白=1(〃€N"),所以±=1-白<1,

na

n%anSn

所以%>1,Sn>1>由2=1-；^即=±7，

an%品一1

gti.ln__品+1_______Sn__Sr.+l(Sn-l)-Sn(Sn+l-l)_Sn~-Sn+i

n+1n

Sn+l-15n-l(5n4-l-l)(S„-l)(Sn+l-DlSn-l)'

因为S〃随着71的增大而增大，所以Sn-Sn+iV0,所以“+1-％—割F<°，

即%+1V即，所以与随着〃的增大而减小，故｛%｝为正项单调递减的无穷数列，

且1<斯工。1=2,故数列｛%｝有最大值，无最小值，即②正确；

因为Sn-1=%一1+与+…+/=1+。2+…+Qn21X九二n，当且仅当n=1时取等号:

所以Q”=7-77=1+7T7W1+2,即九%<n+1<(_n+l)an+i»故③错误：

因为由<1+：对任意九GN*恒成立，当且仅当九=1时取等号,

故有。2022<1+募=翳，即④正确•

故答案为：①②④

五、解答题共6小题，共8S分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程.

16.(13分)已知数列｛%｝为各项均为正数的等比数列，Sn为其n前项和,。2=3,%+。4=36.

(1)求数列｛o„｝的通项公式：

(2)若SnV121,求n的最大值.

【答案】(1)%=3nT；(2)4

【详解】解:⑴在等比数列｛%｝中,设｛%｝公比为q.

因为。2=3,。3+。4=36

所以I2Tq=3'"

+Qiq=36.

所以3q+3q2=36.即q?+g—12=0.

则q=3或q=-4.

因为%>0,

所以q>0,

所以q=3.

因为。2=a1q~3»

所以%=1.

所以数列｛%｝的通项公式即=Q10L1=3"T

（2）在等比数歹ij｛册｝中,

因为Sn一半子（q于1）

i-q

所以sn=守=*3〃_1）

因为又<121,

所以Sn=g（3"-1）<121.

所以3”<243.

所以n<5.

因为nGN*.

所以？1<4.即九的最大值为4.

【点睛】本题考查了等差数列的退项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.（13分）已知数列｛Q“｝满足aI+a2+。3+…+%=吟&，且%=1

⑴求数列｛%｝的通项公式：

⑵记数列&｝的前几项和为S”

①若％,小，SR+2成等比数列，求正整数k的值；

②数列｛1｝的前几项和为Tn,证明〃V2.

【答案】⑴即二〃（九€田）：

（2）1=6,证明见解析.

【详解】（1）因为由+。2+。3+…+%=小?”，

所以九N2时有Q】+。2+的+…+即-1="尸，作差得“=如普一四尸=2=£,

£LL斯一］H—1

累乘可得&x—x•••x乌-=-x-x•••x—=>—=n,

ai。2an-i12n-1a\

又％=1,所以%=n(n>2),

显然Qi=1也符合，故时=n（neN*）；

（2）①由（1）可知｛6｝为等差数列，首项与公差都是1,所以5“=邈等=科+nc_(%+%+2)候+2)

~，〉k+2-2

k2+Sk+6.

—；—，/=匕

M+5k+6

当力,ak,S〃+2成等比数列时，有幺==k=6或k=-1(舍去)；

②易知］一而3_26_・），

所此=2（»9+2（»3+…+2（卜土）=2（1系）,

因为？iWNL所以1—/"yVl,所以Tn<2.

18.（14分）已知等差数列｛斯｝中，&=3,公差dHO;等比数列出“｝中，/=，&是。2和。3的等差中项，

与是由和做的等差中项.

⑴求数列｛斯｝,｛九｝的通项公式；

（2）求数列｛%+%｝的前几项和1；

⑶记Cn=an-比较Cn+1与呢的大小.

【答案】⑴即二2几一1,^=4-（1）n-1；

（2瓦=n2+8-（旷3；

（3）C2>J,当n22时，cn+1<cn.

【详解】（1）因为&=3,

b3=a2~d=3—d

｛2瓦=与+。3=3+3+d,

2b2=a1+a2=3—d+3

故右2=空，瓦=由质二瓦必得储一2d=0,

解得d=0或2,

因为d*0,所以d=2,%=3-2=1,

故/=为+（几一l）d=1+2（〃-1）=2n—1,

其中Z?2=一=2,%=等=4,故公比q=；,

所m=4.（旷\

(2)an+bn=2n—1+4-(g)

n—1

故又=Q[+瓦+a2+》2+…++以=1+3+…+2n—14-44-2+,,,+4,(g)

n(l+2n-l),4-啕”=/+8-旷

=­T—+

/r\r2n-1.2n+l

Qy?n2n-39金+1=%+1以+1=—•

所以品+1一金=猾2n---l-----3--2--n----

2n-32rl-2

当71=1时，C2-Cj>0,当72工2时，Cn+l-Cn<0,

所以C2>q,当时，cn+1<cn.

19.(15分)已知数列｛4｝的前n项和为Sn(neAT),在数列｛瓦｝中，比=%=l,nan-(n-1)即.[=2n-1,

2b3,•也i4i+l=3$n.

⑴求数列｛册｝,｛b｝的通项公式；

(2)Scn=(一1)"1.持7n为数列匕J的前〃项和，求7n的最值.

【答案】(l)an=n,九=3时1

⑵最小值为*最大值为1

【详解】(1)由已知得，当"22时

710n=[710n-(n-1)即_1]+[(n-1)0«-1一(九-2)an_z]+...+[2a2-aj+ax

=(2n-1)+(2n—3)+•­•+3+1=n2.

a,i=n(n>2)

当n=1时，%=1,也满足上式.所以册=n(n>1)

当nN2时，bn+l=，「瓦,=3SLSE=\：.bn=3"T(n>3)

3

当71=1时，比=1,符合上式

当力=2时，瓦"2=3>=3,所以%=3,也符合上式，综上，刈工1)

n-1

an=九，bn=3.

(2)由(1)可得：金=(一1)"】号=^^

$(-3)

•••[一++导+++…+^^

123n—1n

两式相减:

4

--=1+

3(-3)

11-

33

-+n

(-3)“4

1-

2+3+4n

1616(-3)n-,

当〃为奇数时，不妨设〃=2/c-l,k£N*,则

__2k+12k-4k+1

T

72〃+1-2k-1=C2k+1+C2k=声T=—静一<°

・・・｛72»1｝单调递减，1=A>73>75>>看

当"为偶数时，不妨设n=2k,k€N*,则

2k+12k+24/c+1

72k+2-'『2k=c2k+l+c2k+2>0

32〃32k+l32/c+l

・・・｛心｝单调递增，1=T2<T4<r6<-<T2k<白

S1O

•••7”的最小值为手最大值为1.

20.(15分)正整数集合［={。1，。2，的，…，%}，且％v。2Va3V…V%，MN3,B中所有元素和为T(B),

集合C={T(B)|BG4}.

⑴若4={1,2,5},请直接写出集合C；

⑵若集合8中有且只有两个元素，求证“％,即，。3,…，即为等差数列〃的充分必要条件是"集合C中有2n-3个

元素”；

(3)若C=f1,2,工…,2023},求n的最小值,以及当n取最小值时,%最小值.

【答案】(1)C={123,5,6,7,8}

(2)证明见解析

(3)n=11»an=1000.

【详解】(1)C={1,2,356,7,8}

(2)若小,。2，。3「，即为等差数列，

不妨设%=%+(i-l)d,%=%+(7—l)d,且i<j,i,j=1,2,3,…,n,

:.Qj+Q/=2al+(i+/-2)d,

v1<i<；<n,

•••3<i+;<2n-1,

，C中有2n-l-3+l=2n-3个元素，

…，即为等差数歹『'是"集合C中有2n-3个元素”充分条件

若集合C中有2九一3个元素，则至少有如下有2九-3个元素

+。2V+。3VV+。5V+a6V…<+%-1V%+%

a

v。2+n<a3+an<…<+an

又有如下2九一3个元素

国+。2V+。3V。2