2027年高考数学一轮复习（天津专用）平面向量与复数（原卷版+解析版）

平面向量与复数（综合训练）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.i是虚数单位，则叁=（）

3-1

A.1-liB.-1-lic.lli11.

+D.——+—i

22222222

2.已知复数z满足zi=z+4i,则|z|=（）

A.V2B.2c.2V2D.4

若誓为实数（i为虚数单位1,则实数

3.〃=()

1+1

A.-2B.2c.-1D.1

4.复数Z满足z(l+i)=a+3i,则复数z=()

A.2-iB.2+iC.2-2iD.8+8i

5.已知3=(1,2),坂=(2x,x-l),且Z〃®-2Z),则实数x=()

11cI

A：B.-D.3

6.如图，在平行四边形力8CD中，AC=a,b（）=h,则CB=（）

22

1一一1一一

C.——a-bD.-a-b

22

7.已知非零向量石石满足同=2阵且则£与石的夹角为（）

n2it

A.BD.

3-iT

8.已知同=1,W=2,1与B的夹角为W，则否在i上的投影向量为（）

1一

A.aB.-bC.1D.-b

42

9.如图，在△力8c中，=pAD=2DB»尸为CO上一点，且满足方=3与，若/C=4，AB=6,

则力•函的值为（）

C.4D.4后

第n卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.已知复数z=g（其中i为虚数单位），则忖=.

11.i是虚数单位，化简导的结果为____.

3-41

12.已知i是虚数单位，若复数z="（〃?cR）是实数，则〃?=_______.

1+21

13.已知讥B；是夹角为60°的两个单位向量，若向量〃疝+25在月上的投影向量为35，则实数〃?=.

14.已知向量a=（2,0）,书十3,行），则COS（4,B）=.

15.货新福篇在△力8c中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），点E为线段AC的中点、，•户=2FB，

43

若AD=niAE+nAF＞则一十一的最小值为.

mn

三'解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（14分）

已知i是虚数单位，复数z=（〃?2-〃?）-（〃/-l）i,WGR.

（I）当复数z为实数时，求小的值:

(2)当复数z纯虚数时，求〃?的值.

17.(15分)

已知i是虚数单位，复数z满足l+zi=。.

(1)求z与|z|；

(2)彳为复数z的共挽复数，若(1+可(l-6z)=a(q,6wR),求?的值;

18.(15分)

已知向量值二(—3,1),^=(1-2),c=(1,-1).

⑴求2”5的坐标，恸的值;

⑵若。/("花)，求实数々的值；

⑶若"Q+加)，求实数％的值.

19.(15分)

已知向量£,B满足£=(1.2),W=20.

（1）若a〃石,求向量石的坐标:

⑵若（。+可，（5”2可，求£与2的夹角氏

20.1f新考法|（16分）

在“8C中，角4B、。所对的边分别为〃、b、c向量£=sinJ,sin2-,方=（2,6）且满足房/万

（1）求角力的值;

（2决力的平分线交8c边与点。，求F的最小值・

AD

平面向量与复数（综合训练）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小即答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.i是虚数单位，则;3=（）

3-1

A11•„11.^11,11.

22222222

【答案】A

【分析】根据复数运算法则求结论即可.

.、生l_2i（J2i）（3+i）_3+i_6i_2i2_5_5i_l_11：

［年肝】3-i-（3-i）（3+i）-9+1-10~2-22,

故选：A.

2.已知复数z满足zi=z+4i,则|z|二（）

A.V2B.2C.2&D.4

【答案】C

【分析】先化简，再根据复数的模长公式计算即可.

【详解】由zi=z+4i,得2=令，所以IW=S^=2夜.

故选：C.

3.若部为实数（i为虚数单位），则实数。=（）

1+1

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【分析】利用复数的运算结合虚部为零可得.

o+i_(4+0(1)_«4-1(l-g)i

【详解】T+T-(l+i)(l-i)-^~+2

因为器为实数，故1—。=0,得0=1.

故选：D.

4.复数z满足z(l+i)=|a+3i],则复数z=()

A.2-iB.2+iC.2-2iD.8+8i

【答案】C

【分析】根据复数模，目数除法运算公式，即可求解.

【详解】由题意可知，z(l+i)="+3i|=4,所以N=Sy=2(l-i)=2-2i.

故选:C

5.已知3=(1,2),B=(2X,X-1),且则实数X=()

A.—B.-C.-D.3

333

【答案】A

【分析】先计算g—的坐标，再利用向量平行的坐标运算即可.

【详解】由题意可得，^-2^=(2x,x-l)-(2,4)=(2.r-2,x-5),

因a〃0_2q),则2(2x—2)=x—5,得x=_；.

故选：A

6.如图，在平行四边形力8c。中，~AC=aJ5d=b,贝ijCB=()

【答案】B

【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即匕求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得而=砺-反=而二就=3-与.

22

故选：B.

7.已知非零向量1/满足同=2%,且则£与否的夹角为()

冗271

A.B.四D.

36-VT

【答案】A

【分析】由已知可得（万一孙石=0,结合已知计算可求得cosR3）=；,进而可求夹角.

【详解】因为伍

所以（”孙3=0,所以小户=0，

所以同卡际向“一人」=0,因为同=2同,W/0,

所以cosR»=；,又因为（）《他今《兀，所以他?=1

所以£与坂的夹角为

故选：A.

8.已知同=1,忖=2,£与3的夹角为三，则坂在£上的投影向量为（）

1-

A.aB.—bC.1D.-b

42

【答案】A

【分析】由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.

lx2x-

【详解】坂在£上的投影向量为彗.与="力；

--r-2^-■a*=a-

I2

故选:A

9.如图，在“4C中，ZR4C=y,AD=2DB»尸为CQ上一点，且满足丽=34，若/C=4,

则万.西的值为（）

8应C.4D.4后

【答案】C

【分析】根据基底向量方法，以石，衣为基底表达万•丽，进而根据数量积公式求解即可.

【详解】因为而=3而，所以行-元=3（前-万卜

所以辞=，就而，所以/=，衣+L方，

4442

一一一2一______

xc5=JD-JC=|J5-JC,

所以万・丽就+为｝(初一就卜)2-占」国定

22

二g|万刀H充|cosi=lx6-4<4-^6X4：<2-4

故选:C

第II卷(非选择题)

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.已知复数2=言(其中i为虚数单位)，则目=.

【答案】2

【分析】先利用复数除法运算化简复数z,再利用复数模的公式求解即可.

【详解】因为工=昔=存黑畜=曰卢=-95，

1+21(1+21)(1-21)555

故答案为：2.

11.i是虚数单位，化简若•的结果为____.

3-41

【答案】-1]+12i

【分析】根据复数的运算法则求解即可.

1洋解】l+2i_(l+2i)(3+4i)3+4i+6i+8i?-5+10i_12

111)，J3-4i~(3-4i)(3+4i)~9-16i2~25-55，

12

故答案为：一《+《乙

12.已知i是虚数单位，若兔数z=f=W©R)是实数，则〃?=________.

1+21

【答案】:/。5

2

【分析】由复数的乘除法运算化简复数，要使z=g(〃?eR)是实数，令三里=0、即可得出答案.

ni+i(w+i)(l-2i)ni-2mi+i+2〃？+2+―2〃？+1)tn+2-2m+1.

[详解]z=,=(|+2i)(].2i)=5------=------5-------=『I-

若复数z=f?(〃?wR)是实数，则名里=0,解得：〃?=9

1•41J

故答案为：

13.已知。是夹角为60,的两个单位向量，若向量〃南+2坂在3上的投影向量为正，则实数〃?=，

【答案】2

【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律计算即得.

【详解】由题意可得向量〃疝卜2g在坂上的投影向量：

(ma:;5)・B1=(〃疝•g+25)•月:(rna-b+2)b=3b,

HH1,)

；.MG.B+2=3，即机同•Wcos60+2=3,mx-+2=3,解得：m=2

故答案为：2

14.已知向量4=(2,0),行=卜3,#),则cos{〃,B)=.

【答案】-正

2

【分析】苜先求出75,同，W，再由夹角公式计算可得.

【详解】因为不二(2,o),E=(—3,力)，

所以不•》=—6+0=—6，同=2,W=J(_3).+(百)=2>/3,

一L-6

所以8皿人=丽

2x2>/32

故答案为：一立

2

15.7新情境|在△力8C中,点。是线段8c上任意一点(不包含端点)，点E为线段4C的中点，~AF-iFB»

43

SAD=niAE+nAF，则一+一的最小值为.

mn

【答案】8

I7

【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到/的关系，再用代换।法求最小值即可.

一I一__2一

【详解】因为点£为线段力C的中点，万=2而，所以彳七二；/C，AF=^AB,

A

所以AD=mAE+nAF=—mAC+—nAB,

23

又因为。在线段BC上，

所以有为万=2胫=＞益一五§=丸（配一前）=而=2正+（1—为刀且丸€（0,1）,

1,

-in=X

根据平面向量基本定理可知：;，

且€(0,1).即机e(0.2),〃e(0,,

所1以有2m+?〃=1

加43(43丫121.8?3〃，./8?3〃

则——I■—=—+——m+—〃=2+2H-----H--->4+2/------=8,

m〃I/〃〃八23J3m2nV3m2n

当且仅当粤=手，即帆=1,〃=：时取等号，

3”？In4

故?孑案为：8.

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

16.（14分）

已知i是虚数单位，复数z=（〃尸一中，weR.

（1）当复数z为实数时，求机的值；

（2）当复数z纯虚数时,求机的值.

【答案】（1）1或-1：

（2）0.

【分析】（1）虚部为零，则为实数；

（2）虚部不为零，实部为零，则为纯虚数.

【详解】（1）当〃?2_]=（）时，得加=±1；.......................6分

,m2-m=0,9八

（2）当〈2,c时，得〃?=0........................14分

〃厂一1工0

17.（15分）

已知i是虚数单位，复数z满足l+zi=0.

⑴求Z与国；

（2”为复数z的共加狂数，若（1+可（1-历）=44,6cR）,求:的值；

b

【答案】（l）z=i,|z|二l

⑵-2

【分析】（1）根据等式求出复数z,进而求得复数的模.

（2）首先求出共扼复数，然后代入等式化简求出出6的值，进而可求山?的值.

b

【详解】（1）因为l+zi=O,所以z=,二i,

1

所以囱=而/=1.......................7分

（2）由（I）知/=3所以彳=-i.

因为（1+可（1一历）=a,所以（1-0（1-折）=4.

化简得l-/>-（6+l）i=a,所以力=-l,a=l-力=2.

所以£=—2.......................15分

b

19.（15分）

已知向量值二（一3,1）,6=（1,-2）,c=（1,-1）.

⑴求21-5的坐标，W的值；

⑵若。电+花），求实数女的值；

（3）若5，（1+幼），求实数k的值.

【答案】（1）2"5=（-7,4）,国=石；

（2）^=-2；

4

⑶上下

【分析】（1）由向最线性关系和模长的坐标运算求23坐标和问；

（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数；

（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.

【详解】（1）由题设22—B=2-（-3,1）—（1,—2）=（—7,4）,同=#+（-2）2=亚:.......................4

分

（2）由题设G+花=（-3,1）十八（1,一2）=（攵-3,1-及），乂。/伍+选），

所以早=则k-3=2左一1,可得％=一2：............................................9分

1-1

(3)由(2)及3•！伍+花)，则八(。+%$)=左一3+朋一1=0,可得.......................15分

19.(15分)

已知向量入取满足£=(1,2),恸=2。.

(1)若力/吊,求向量♦的坐标;

⑵若R+B)_L(512®,求［与.的夹角0.

【答案】(1»=(2,4)或否=(-2,-4).

⑵

【分析】(1)根据题意，设5=后=(上年)，由向量模的公式可得左的值，即可得答案.

(2)先求出同，由向量数量积的计算公式可得分2-2片+3二行=0,可解得cos6=；,结合夹角的范围分

析可得答案.

【详解】(1)根据题意，大而，设5=%=化不)，

若忖=2石，则麻=公+4公=5产=20

解得左=±2,故万=(