《相似三角形》分层练习（含解析）

第20课相似三角形

知识点oi相似三角形的概念

1.对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

2.相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数)

知识点02相似三角形的性质

1.相似三角形的传递性：如果办GS44282C2,那么

△ABCs/\4B2c2.

2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

能力拓展

考点01相似三角形的性质

【典例1】

1.如图，AADES-ABC,AD=4O,BD=20,3c=50,ZA=70°,ZABC=30°.

(I)求ZAED和NADE的大小；

(2)求OF的长：

(3)8C与。E的位置关系如何？试说明理由.

【即学即练1]

2.如图，已知△ABC和△A夕C相似，则图中角度。和边长x分别为()

盛分层提否

题组A基础过关练

AR1

3.已知一=-,若BC=2,则放=()

DE2

2026-2027学年

A.4B.6C.8D.16

4.若△ABCs^DEF,且48=10cm,BC=12cm,DE=5cm,则Er的长度为（）.

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

5.已知△A8cs△£>£/,若N4=30。，ZE=50°,则NP的度数为（）

A.110°B.100°C.90°D.80°

6.如图，若AABCsADEF,则NC的度数是（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

7.如图，>ABCS»DEF,相似比为1：2,若BC=1,则£7邙勺长是（）

8.如图，已知△ABCs.ACP,NA=70。，NAPC=65L则N8的度数为（）

A

BC

A.45°B.50°C.55°D.60°

9.如图，ABCsD4C,ZB=31°,ZD=117°,则/8CO的度数是（）

D

A.32。B.48°C.64°D.86。

10.如图所示，若AABCS^DEF,则ZE的度数为；

11.如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,D为AB边上一点，KAABC^AACD,则AD

A

BC

AR5

12.如图，已知ABCsADE,—-=8c=20cm,N84C=40。，ZABC=65°,求

(I)NADE和NAED的度数；

(2)DE的长.

13.如图，D、E1分别是AC、AB上的点，△AOEsaABC,且。E=8,8c=24,CO=18,

A£>=6,求AE、BE的长.

2026-2027学年

题组B能力提升练

14.如图，已知△A8CS/\BOC,其中AC=4,CD=2,则8C=()

A.2B.25/2C.26D.4

15.在aABC中，AB=48cm,BC=40cm,CA=36cm,一个和它相似的三角形的最短边是

12cm,那么该三角形最长边是（）

A.48cmB.16cmC.36cmD.144cm

16.如图，AABCsAABC],那么它们的相似比是()

A.1：2&B.2V2：1C.1：42D.72：1

17.如图，在正方形网格中：44C、一顼邛的顶点都在正方形网格的格点上，.44（7~田厂,

则NA8C+NAC8的度数为（）

A

A.30°B.45°C.60°D.75°

18.如图，AADESAACB,己知NA=40。，ZADE=-ZB,则NC='

19.如图，匕人BCsADM；、N8=28。，ZD=I4O°,则NBA。的度数为

20.如果RABCSRIDEF,ZC=ZF=90°,AB=5,BC=3,DE=I5,则DF=.

21.如图，在△ABC中，同。平分NB4C交4C于点。.点£、户分别在边AB、AC上，且

BE=AF,R7〃人B交线段人。于点G,连接BG、EF.

(1)求证：四边形BGFE是平行四边形；

(2)若△A8GSZ\AGRAB=10,AG=6,求线段BE的长.

题组C培优拔尖练

22.如图，在△/!8c中，AC=4,BC=2,点D是边AB上一点,CO将△A8C分成△八C。

和小BCD.Z^AC。是以4C为底的等腰三角形，且△6。£＞与46AC相似，则C。的长为()

ADB

2026-2027学年

A.B.2C.472-4D.

S2'—3

23.如图，矩形ABCD中，4。=〃z,AB=〃，要使BC边上至少存在一点P，使、ABP、△力PO、

△CDP两两相似，则〃?、〃间的关系式一定满足()

22

24.如图，在Rtz\ABC中，ZACB=90°,AC=5cm,ZBAC=60°,动点M从点B出发，在

BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒6

cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0WK5),连接MN.

(1)若BM=BN,求I的值：

(2)若△MBN与△ABC相似，求I的值.

25.如图，已知相似比为攵(攵>1),且“3c的三边长分别为。、b、c

(a>b>c),△AB©的三边长分别为％、4、q.

(1)若。=%，求证：a=kc\

(2)若试给出符合条件的一对A6C和△44G，使得人b、c和q、b、、q都是正整

数，并加以说明;

(3)若〃=%,c=A，是否存在“A8C和△4乃£使得攵=2?请说明理由.

参考答案:

I.(1)ZA£D=8O°,ZAP£=30°

⑵。七=与

(3)平行，理由见解析

【分析】⑴由NA=70°,Z4BC=3()°,即可求得NC的度数，再根据相似三角形的对应角

相等，即可求得NAED和"AOE的大小；

(2)根据相似三角形的对应边成比例，即可求得OE的长；

(3)根据相似三角形的对应角相等，即可得N4OE=N4BC,即证得4C〃O£.

2026-2027学年

【详解】(I)VZA=70°,ZABC=30°,

,ZC=180°-ZA-ZABC=80°.

•:^ADE^>/\ABC,

/.ZAED=ZC=80°,ZADE=ZABC=30°；

(2)VAD=40,BD=20,

,A3=AD+3D=60.

,/AADE^ABC,

.ADDE40DE

••---=----,即an---=----,

ABBC6050

解得：。后二华；

J

(3)BC//DE.理由如下,

由(1)可知NA£D=NC=80。，

/.BC//DE.

【点睛】此题考查相似三帘形的性质，三角形内角和定理，平行线的判定.熟练掌握相似三

角形的对应角相等是解题关键.

2.C

【分析】根据图形的对•应确定△ABCS/^VQC,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：由题意：AABCsAABC,

AZa=ZA'Cfi=40°,

ACBCl82a

----=----,即nn一=——=2,

A'CB'Cxa

工解得x=9,

经检验工=9符合意义，是原方程的解.

故答案选：C.

【点睛】本题考查三角形相似性质，分式方程，解题时注意检验是解题关键.

3.A

【分析】根据相似三角形的性质得到例=痣，代入求解即可.

DEEF

【详解】解：•・•AABCs乙DEF,

.ABBC\21

..—=—=—,uJ—=—,

DEEF2EF2

解得EF=4.

故选：A.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质.相似三角

形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等.相似三角形的相似比等于周长比，相似三

角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的匕，相似三角形的面积比等于相似比

的平方.

4.C

【分析】由AABCSADEF,可得当，再代入数据建立方程，解方程后可得答案.

DEEF

【详解】解：△ABCsADEF

AB_BC

‘•淀=而'

A8=10cm,BC=12cm,DE=5cm,

,10_12

解得：DE=6,

经检验：DE=6符合题意,

故选：C

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的对应边成比例''是解题的关键.

5.B

【分析】根据相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：•••△ABCS/XQE凡

.-.ZD=ZA=30°,

,:ZE=50°,

/.ZF=18()0-ZD-ZE=IO()°.

故选：B

【点睛】本题主要考查了用似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应角相等，对应边成

比例是解题的关键.

6.C

【分析】根据三角形内角和即可求得NC的度数.

【详解】解：在中，24=70。,/8=60。

NC=50°

故选C

2026-2027学年

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题

的关键.

7.B

【分析】根据已知条件得到组=5,即可得到E〃=28C=2,问题得解.

EF2

【详解】解：△ABCs/WE/,相似比为1：2,

.BC1

••---=—，

EF2

：.EF=2BC=2.

故选：B

【点睛】本题考杳了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键.

8.A

【分析】根据相似三角形对应角相等可得NA8;NAPO65。，再根据三角形内角和定理即

可求解.

【详解】解：*：△NBCS^ACP、

，NAC8=N4PC=65。，

•:ZA=70°,

••・ZB=180°-NA-ZACB=180o-70°-65o=45°.

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.也考查

了三角形内角和定理.

9.C

【分析】根据相似三角形的性质得到ND4C=N8=31。，Z5AC=ZD=117°,ZBCA=ZACD,

根据三角形内角和定理计算即可..

【详解】解：VZB=31°,ZD=117°,

/.ZDAC=ZB=31°,ZBAC=ZD=\\10,ZBCA=ZACD,

/.ZBCD=ZBCA+ZACD=2(180°-31117°)=64°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.

10.42°##42度

【分析】先求出N8,根据相似三角形对应角相等就可以得到.

【详解】解：・・・NA=UO。,NC=28。,

:.NB=42。，

■:△NBCsXDEF、

:.ZE=42°.

故答案是：42°.

【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练

掌握.

II.4.

【分析1根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长.

ARAC

【详解】•••△ABCs/XACD,

ACAD

96

VAB=9,AC=6,—=------，解得：AD=4.

6AD

故答案为：4.

【点睛】本题考查相似三侑形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质.

12.(1)ZADE=65°,ZAED=15°

(2)8cm

【分析】(1)根据三角形的内角和得到NAC9=18()o—NR4C-N43C=75。，根据相似三角

形的对应角相等即可得到结论；

（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论.

【详解】（1）解：vZBAC=40°,ZABC=65°,

・•・ZACB=180°-ZBAC-ZABC=75°,

ABCADE,

/.ZAD£=ZAZ?C=65°,ZAED=ZACB=75。；

c版..AB5

（2）解：.---=—,

BD3

.AD2

•・--=—,

AB5

ABCsADE,

,DEAD2

••==9

BCAB5

2026-2027学年

­/AC=20cm,

/.DE=20x—=8cm.

5

【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边成匕例的性质，准确找出对应边与对应

角是解题的关键.

13.4E=8,BE=10.

【分析】由△A5C,RDE=S,6c=24,CD=18,AD=6,根据相似三角形的对应边

成比例，即可求得答案.

【详解】解：•••△AOES^ABC,

.AEADDE

•・左一瓦一正’

BC=24,CD=18,AD=6,

：,AC=AD+CD=24,

AAE=8,AB=\S,

：,BE=AB-AE=\O.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质.注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是

解此题的关键.

14.B

【分析】通过△A8CSZSBDC,利用相似三角形的性质得出BC2=AC・CQ,进而得出答案.

【详解】解：•••△MCs△皮）C,

••府一正’

VAC=4,CD=2,

.,.«C2=4C-CD=4X2=8,

ABC=2>/2（负值已舍去）.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了相似三:角形的性质，正确得出对应边成比例的关系是解题关键.

15.B

【分析】根据相似三角形的性质得出关于x的方程，求出方程的解即可.

【详解】解：设三角形的最长边为xcm,

在△A8C中，/W=48cm,BC=40cm,C4=36cm,一个和它相似的三角形的最短边是12cm,

.4836

..—=一，

x12

解得：工=16,

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质得出方程是解此题

的关键，注意：相似三角形的对应边的比相等.

16.D

【分析】根据网格可知A8=2,可知相似比.

【详解】解：由题意可知4?=2,9\=叵,

,ABx/2

..------=-----，

A41

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形相似的性质，三角形的相似比就是对应边之比.

17.B

【分析】利用相似三角形的性质，证明NmC=135。，可得结论.

【详解】解：•.MBC^AEDF,

.•.NZMC=ND£F=135°,

/.ZABC+ZACB=180°-135°=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明

Za4C=135°.

18.28

【分析】根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：•••△4OES/\ACB,

/.ZAED=ZB,NAOE=NC,

•・•ZADE=-ZB,

4

AZC=-ZB,

4

/.Z«=4ZC,

2026-2027学年

VZA=40°,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=28°.

故答案为：28.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的对应角相等是解题的关键.

19.168°

【分析】根据相似三角形对应角相等求解即可.

【详解】解：•••△ABCS/XQAC,

••・N8=NOAC=28。，ND=140。，

・・・N84D=NOAC+N8AC=28°+140°=168°,

故答案为：168。.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应角相等.

20.12

【分析】由相似三角形的性质求解ER再利用勾股定理求解。厂即可得到答案.

【详解】解：如图，

RtABCSRIDEF,

,ABBC

~DE~~EFy

53

—=,

15EF

..EF=9,

经检验：律=9符合题意，

由勾股定理可得：DF=yjDE2-EF2=V152-92=12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

21.⑴见解析;(2)BE=3.6

【分析】（I）根据尸G〃人8,又人。平分NB/1C,可证得，ZAGF=ZGAF,从而得：.4尸=

FG=BE,又因为产G〃人4,所以可知四边形8G尸石是平行四边形；

AGAF

（2）根据△■GSaG-可得而=而，求出"的长,再由⑴的结论：45

BE,即可得BE的长.

【详解】（1）证明：・・・凡；〃48,

:•乙BAD=CAGF.

*：ZBAD=ZGAF,

AZAGF=ZGAF,AF=GF.

，：BE=A*:.FG=BE,

又,：FG〃BE,

，四边形为平行四边形.

(2)解：△ABGSRAGF,

.AGAF

即色=",

106

：.AF=3.6,

*：BE=AF,

：.BE=3.6.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，平行线的性质，等腰三角形的判定及相似三角

形的性质.熟练掌握平行四边形的判定方法及相似三角形的性质是解答本题的关键.

22.D

【分析】根据已知条件得到八。=8,根据相似三角形的性质得至嗤=,=笔，设8

2vx即可得到结论.

*，得至U-解方程组

【详解】解：•••△AC。是以AC为底的等腰三角形,

：,AD=CD,

84c相似,

.BC_BD_CD

'~AB~~BC~~AC

设CD=x,BD=v,

2026-2027学年

：・—二』」

1*x+y24

2

.Xy+y=4

4y=2x

解得：x=2yf

••y-----,

3

.丫_4后

••X----,

3

.•・CD=—

3

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到方程组是解题的关键.

23.D

【分析】由十△ABP和△PCD相似，口J得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式.设PC=x,

那么BP=m-x,根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于NC边上至少有一点符

合条件的P点，因此方程的△出,由此可求出m、n的大小关系.

【详解】解：若设PC二x,贝ljBP=m-x,

VAABP^APCD,

AI3BPnm-x

/.——=——即一=----,

PCCDxn

即x2-mx+n2=0方程有解的条件是：

m2-4n2>0,

(m+2n)(m-2n)>0,则m-2n>0,

/.m>2n.

故选：D.

【点睛】本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决.

24.(1)1=108・15；(2)当t=£或时，ZiMBN与^ABC相似.

【分析】(1)由已知条件得出AB=10,BC=573.由题意知：BM=2t,CN=^t,BN=

56-75t,由BM=BN得出方程2t=575—6t，解方程即可；

(2)分两种情况：

①当aMBNsaABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；

②当ANEMsAABC时，由相似二角形的对应边成比例得出比例式，即可得出I的值；

【详解】解：(I)•・•在RSABC中,ZACB=90°,AC=5,ZBAC=60°,

AZB=30°,

/.AB=2AC=10,BC=5V3.

由题意知：BM=2l,CN=V3t,

・・・BN=56-⑨，

VBM=BN,

/.2t=573-73t,

cR

解得：1=二