2026-2027学年浙教版八年级数学上册同步练习：一元一次不等式

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习

第3章一元一次不等式

专题3一元一次不等式

题型归类

题型一不等式的概念和基本性质

【典例1】下列入等式的变形中，错误的是()

A.若a>b,则〃+3>。+3

B.若aVA则一公>一人

C.若一夕则心>一2)，

D.若一2x>a,则;v>一)

【变式1］设。>b>0,c为常数，给出下列不等式：①〃一Q0；②优>

be；(3)i<I；④庐>出?。其中正确的是()

A.①②B.①③

C.①③④D.②③④

题型二一元一次不等式的解法

【典例2】解下列不等式，并把解集表示在数轴上：

(l)5x-12<2(4x-3)；

⑵誓2个+1。

【变式2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来。

⑴/2若-1；

（2号23（1一2）。

题型三一元一次不等式组的解法

2丫+1>—4

{%+1>2%—2o

%+5>0,

【变式3】解不等式组:并写出它的所有整数解。

中N2x+1,

题型四确定不等式（组）参数的取值范围

【典例4】已知关于X的不等式组3,仅有三个整数解，求。

（2*>3（x—2）+5

的取值范围。

【变式4】对于任意实数〃3〃，定义一种新运算："2※*7W，L〃L〃+3,

例如：2X6=2x6—2—6+3=7。请根据上述定义解决问题：若关丁•工的不等式a

V4XxV8有2个整数解，则。的取值范围是（）

A.—1〈（W2B.-WV2

D.-4VaW-l

题型五一元一次不等式(组)的应用

【典例5】某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批

乒乓球拍和羽毛球拍。已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要35()元，购

买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元。

(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？

(2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可

购买的羽毛球拍最多有多少副？

【变式5】【问题情境】

小明所在的班级准备开展学科知识竞赛，需要购买48两种款式的运动盲

盒作为奖品。

素材1：己知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在

无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若

买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元。

素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：

甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，

一律按商品价格的八疔出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；乙商店：购

买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售。

【解决问题】

(1)在无促销活动时，求4款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少

兀。

(2)小明计划在促销期间购买48两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲

盒机个(0V机＜40)。若小明在甲商店成为会员购买，共需要元；若在乙商

店购买，共需要元(均用含m的代数式表示)。

(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量加在什么

范围内时，去甲商店更合算？

过关训练

❸知识必备”

1.若a〈b,则不等式（a—〃）Qa—/?的解集为（）

A.x>_1B.x>1

C.x<lD.x<-1

2.利用数轴表示不等式组的解集，正确的是（）

JII—»"ill」

-1012-1012

AB

।~_E

-1012-1012

CD

(->-1,

3.不等式组卜的解集为

l+2x>-1

4.若不等式组『>Q'的解集是一1VxV2,则a的值为___

(4-2x>0

C—Q>一1

r'无解，则。的取值范围是。

{a-x<0

6.解不等式(组)：

(1)4%—122%+4；

(2x-4<0,

⑵gxV-(2+x)。

7.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,其中a=3,b=5o

(1)若△ABC是直角三角形，求c的值。

(2)若a,b,。的平均数小于c,求整数c的值。

8.每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季。某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1000

箱。这两种水果的售价与进价如下表所示：

品种售价/(元/箱)进价/(元/嘴)

蜜桔2820

脐橙3125

(1)该商家售完这1()0()箱水果所获得的利润为640()元，则该商家购进了蜜桔多

少箱？

(2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包

成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的:未打包的按原价出售。

若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元,则该商家至少要购进蜜桔多少箱？

爵翁能力突破〃“

9.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组。若每组比预定的人数多1人，则

学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人。每

组预定的学生有()

A.24人B.23人

C.22人D.无法确定

10.若关于x的分式方程岩+言=1的解为正数，且关于y的不等式组

y+9<2(y+2),

<2y.a的解集为>25,则所有满足条件的整数。的和是()

^>1

3

A.13B.15C.18D.20

11.对于实数x,y,我们定义符号min{x,y}的意义为当xVy时，min{x,y}=x；

当时，min{x,y}=y<>如：min{6,-4}=-4,min{4,4}=4O若,

甘斗二等，则x的取值范围是。

12.若不等式手的解都能使不等式(加一6.<2〃?+1成立，则实数阳的

取值范围是。

13.阅读材料，并解决问题:

解方程组已=*①

(2(x-y)+y=10o②

将①整体代入②，得2x44->=1(),解得y=20

把y=2代入①,得x=6,・,•56，

(y=2。

这种解法称为“整体代入法”。

很多方程组都可采用此方法进行求解。

—I/、rmn(3(a+3)—2(8—1)=6,

已知关于mb的方程组•''''

(4(a+3)+3(b—1)=25。

(1)求的值。

⑵若关于x的不等式组仔>°+人恰好有1个整数解，求〃z的取值范围。

,3x<4m—3

14.根据以下素材，探究完成任务。

如何设计新能源公交车采购方案？

素材为响应绿色出行政策，某公交公司计划采购一批新能源公交车。现有A

1型(纯电动)和B型(插电式混动)两种车可供选择。

素材若第一次采购3辆A型车和2辆B型车，总费用为306万元；第二次采

2购2辆A型车和5辆B型车，总费用为468万元。

素材若公司计划第三次采购A型车和B型车共10辆，且B型车不少于4辆,

3总费用不超过660万元。

问题解决

任务

(1)请运用适当方法，求出A型车与3型车的单价。

1

任务

(2)探究符合要求的A型车与B型车的采购方案。

2

答案解析

专题3一元一次不等式

题型归类

题型一不等式的概念和基本性质

【典例1】下列穴等式的变形中，错误的是（D）

A.若a>b,则a+3>/?+3

B.若aVb,则一〃>一/?

C.若一则x>—2y

D.若一2x>〃，则》>一）

【点悟】不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立；

不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边

都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式仍成立。

【变式1】设。〉人>（）,c为常数，给出下列不等式：①。一人>（）；②砒〉

be；®b2>ab,其中正确的是（B）

A.①②B.0@

C.①③④D.②③④

题型二一元一次不等式的解法

【典例2】解下列不等式，并把解集表示在数轴上：

(1)5A—12<2(4x-3)；

⑵詈2平+1。

解：(l)5x—12V2(4x—3),

5x-12V8x-6,

5x—8xV12—6,

—3x<6,

Ax>—"2o

在数轴上表示斛集如答图lo

-5-4-3-2-1012345

典例2答图1

（2）—>^^+1,

2x+223（2x-5）+12,

2x+226x—15+12,

2x—6x2-15+12-2,

-4x2-5,

Ax^-o

4

在数轴上表示斛集如.答图.2o.，一.

-5-4-3-2-101_5_2345

才

典例2答图2

【点悟】解一元一次不等式与解一元一次方程类似，不同的是在将未如数

的系数化为1时，如果都乘（或除以）的数是负数，不等号要改变方向。在数轴上

表示不等式的解集时，要确定边界和方向。（1）边界：有等号的是圆点，无等号

的是圆圈；（2）方向：大于向右，小于向左。

【变式2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来。

、，23

（2）号23。-2）。

解：（1）去分母，得3%—1224“一6。

移项、合并同类项，得一了26。

两边都除以一1,得xW—6。

解在数轴上表示略。

(2)去分母，得x+526(x-2),

去括号，得x+526x-12,

移项，得x—6x2—42—5,

合并同类项，得一5x2—17,

x的系教化为1,得xWf

斛在数轴上表示略。

题型三一元一次不等式组的解法

9r+1>—2

【典例3】利用数轴解不等式组：-

、％+l>2x—2。

解.产+1>-3,①

•（x+l>2x-2o②

斛不等式①，得工》一2。

斛不等式②，得xV3。

解在救轴上表示如答图。

-5-4-3-2-1012345

典例3答图

,原不等式组的斛集为一2<xV3。

【点悟】确定不等式组的解集有两种方法：（1）口诀法：同大取大，同小取

小，大小小大中间找，大大小小找不到；（2）数轴法：将各个不等式的解在教轴

上表示出来，借助数轴确定各不等式解的公共部分。

求不等式组的特殊解（整数解、负整数解、自然数解等），先要求出不等式组

的解集，再找出解集中满足条件的特殊解。

fx+5>0,

【变式3】解不等式组：《3”-1并写出它的所有整数解。

—>2x+l,

x+5>0,©

解:

（匕2x-Fl,②

由①，得xN—5,

由②，得xW-3,

...不等式组的斛集为一5WxW—3,

；・整数解为-5,-4,—3。

题型四确定不等式（组）参数的取值范围

“2—3,仅有三个整数解，求”

【典例4］已知关于x的不等式组

2x>3a—2）+5

的取值范围。

解：解不等式组，得2a-3VxWl。

又•・•关于x的不等式组仅有三个整教斛,

一2〈20—3〈一1,解得：WaVl。

【点悟】已知不等式组的解集，求不等式（组）中字母系数（或有关字母的代

数式）的值，一般先求出已知不等式（组）的解，再结合给定的解，得出等量关系或

不等关系。

【变式4】对于任意实数加，〃，定义一种新运算：〃2※〃二小〃一〃2—〃+3,

例如：2^6=2x6-2-6+3=7o请根据上述定义解决问题：若关于工的不等式。

V4※工V8有2个整数解，则。的取值范围是（B）

A.—1V〃W2氏一1«2

C.一4«—1D.-4VaW-l

3%—l>a,

【解析】4Xx=4x—4—x+3=3x—1。努不等扎组得山VxV3。

3x-l<8,3

又;不等式组有2个整数斛,

；.0W等VI,解得一1W〃V2。

题型五一元一次不等式(组)的应用

【典例5】某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批

乒乓球拍和羽毛球拍。已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要35()元，购

买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元。

(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？

(2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4340元，则可

购买的羽毛球拍最多有多少副？

解：(1)设购买一副乒乓球拍需要x元，一副羽毛球拍需要y元，

f2%4-4y=350,

根据题意，得

(6x4-3y=420,

(x=35,

.得

(y=70o

答：购买一副乒旦球粕需要35元，一副羽毛球拍需要70元。

(2)设购买机到羽毛球拍，则购买(80—m)到乒乓球粕，

根据题奇，得35(80—+70/71W4340,

解得机W44,

的最大值为440

答：可购买的羽毛球拍最多44副。

【点悟】列不等式(组)解决实际问题时，要注意找到“小于”“大于”“不

足”“不超过”“至少”“以上”等关键词语。解题时，要善于从这些词语中找

不等关系，建立不等式(组)，然后求出这个不等式(组)的解集，再结合实际情况

确定符合题意的解。

【变式5】【问题情境】

小明所在的班级准备开展学科知识竞赛，需要购买A,5两种款式的运动盲

盒作为奖品。

素材1:已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在

无促销活动时，若买15个4款运动盲盒、10个8款运动盲盒，共需230元；若

买25个A款运动盲盒、25个3款运动盲盒，共需450元。

素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：

甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，

一律按商品价格的八拧出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；乙商店：购

买商店内任何商晶，一律按商品价格的九折出售.

【解决问题】

(1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少

兀O

(2)小明计划在促销期间购买A,B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲

盒〃7个(0<〃7<40)。若小明在甲商店成为会员购买，共需要1.6〃?+291元;

若在乙商店购买，共需要1.8〃?+288元(均用含m的代数式表示)。

(3)请你帮小明算算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量，〃在什么

范围内时，去甲商店更合算？

解：(1)设在无促裾活动时，A款运动盲盒的销售单价为x元，3款运动高盒

的销名单价为y元。

fl5x+10y=230,(x=10,

由题意，得解得

.25x+25y=450,ly=8。

答：在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价为10元，〃款运动言盒的

销餐单价为8元。

(2)若在甲商店的买，共需要35+0.8xl0/w+0.8x8x(40-/n)=(1.6w+291)^o

若在乙商店购买，共需要0.9xl0m+0.9x8x(40-m)=(1.8，〃+288)元。

⑶当1.6〃z+291Vl&〃十288时，

解得m>15,

A15</n<40o

答：购买A款运动百盒的数量在15V机V40范囹内时，去甲商店更合算。

过关训练

西@知识必备〃〃

1.若a<b,则不等式亿一加>〃一〃的解集为(C)

A.x>-1B.x>l

C.x<lD.x<—1

【解析】Va<^,•\a-b<Ot

・♦•原不等式的解集为xVl。

2.利用数轴表示不等式组/一2<0,

的解集，正确的是（A）

(-2X-1<

JL11A—li1□——>

-1012-1012

AB

-----151J>二A=i_._._cz>

-1012-1012

CD

【解析】「一2<0,①

1-2X-141。②

解不等式①，得xV2。

斛不等式②，得工》一1,

・,•原不等式组的斛集为一1WXV2。

(->-1,

3.不等式组3的解集为—1。

(1+2%>-1

【解析】F'f①

(1+2%>-lo②

斛不等式①，得工2-3。

解不等式②，得工2—1,

；・原不等式组的斛集为x2一1。

XQ

4.若不等式组’的解集是一l〈xV2,则a的值为一1。

(4~2%>0

【解析】解不等式组，得aVxV2。

又•・•不等式组的解集是一1VXV2,

••a的值为-1°

S—>——1

一’无解，则〃的取值范围是。

{a—x<0

【解析】解不等式5—3X2—1,得xW2。

斛不等式〃一xVO,得X>4o

又•・•该不等式组无斛，，。22。

6.解不等式(组)：

(1)4X-1^2A+4；

(2x—4V0,

⑵1

弓%<一(2+%)。

解：(1)移项，得4x-2x24+l。

合并同类项，得2x25。

两边都除以2,得工22.5。

(2x-4<0,①

(2)《

(ix<-(2+x)0②

解不等式①，得xV2。

解不等式②，得xV一士，

3

，原不等式组的斛集为xV一士。

3

7.已知ZkABC的三边长分别为小b,c,其中。=3,b=5。

(1)若AABC是直角三角形，求c的值。

⑵若a,b,c的平均数小于c,求整数c的值。

解：(1)若力为斜边，51]c=Jb2—a2=4；

若c为斜边，则c-Ja2-bb2=V34o

综上所述，c的值为4或回。

(2)Va,b,c的平均数小于c,

・♦•工■山Vc,・・・c>4。

3

又...5-3VcV5+3,

・・・4VcV8,即整数。的值为5或6或7。

8.每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季。某水果专销商购进脐橙和蜜桔共I000

箱。这两种水果的售价与进价如下表所示：

品种售价/(元/箱)进价/(元/箱)

蜜桔2820

脐橙3125

(1)该商家售完这1000箱水果所获得的利润为6400元，则该商家购进了蜜桔多

少箱？

(2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包

成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的豆未打包的按原价出售。

若这两种水果全部卖出，利润不少于6500元,则该商家至少要购进蜜桔多少箱？

解：(1)设购近蜜桔x赤，则购比脐橙(1000-x)先，

(28—20)x+(31—25)(1000—x)=6400,

斛得x=200。

答：该商家购进了蜜桔200笳。

(2)设购比蜜桔y笳，则购进脐橙(1000—7)笳，

1y(55-20-25)+(31-25)(l000-y-功+(28—20)x(y—500,

解得72416|。

•・)是整数且是5的整数信,

：.y至少取420。

答：商彖至少要贿选蜜桔420笳。

⑥©能力突破〃〃

9.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组。若每组比预定的人数多1人，则

学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人。每

组预定的学生有(C)

A.24人B.23人

C.22人D.无法确定

【解析】设每组预定的学生有x人，

(9(x+l)>200,

由题意，得

19(%-1)<190,

解得2gVxV225

:3为正整数，.*.x=22o

10.若关于x的分式方程T+的解为正数，且关于)，的不等式组

X13«3X

(y+9<2(y+2),

j2y_Q>i的解集为y25,则所有满足条件的整数〃的和是(A)

A.13B.15C.18D.20

【解析】斛分本方程，得x二。-2。

Vx>0JL洋3,/.«—2>0JLa—2r3,

.\«>2JL。丰5°

(y>5，

斛不等式组，得<Q+3

9>云。

;不等式组的斛集为『25,

A—<5,：.a<7,

A2<«<7X"5,

・••所有满足条件的委教〃的和为3+4+6=13。

11.对于实数x,yf我们定义符号min{x,），}的意义为当xVy时，min{x,y}=x；

当时，min{x,y}=y<>如：min{6,—4}=—4,min{4,4}=4。若min俨f,

则x的取值范围是o

3）3-----7-

（解析】,:minf；1，

••二一・工一，斛得X》六

12.若不等式手》一x—g的解都能使不等式（〃7—6）XV2〃Z+1成立，则实数用的

取值范围是一至0

6

【解析】解不等式—>一X—得X>一4。

当/〃-6=0,即7/1=6时，0V13恒成立；

当机一6,0,即〃时，不等式（，〃-6）xV2〃z+l的解要改变方向，

...根―6V0,即m<6,

2m+l

解得X>

m~6

27n+l

JCVx>—4都能使成立,

m~6

A>2TH+1AO”中+23

•••一4三-，解符/"孑一o

m~66

24

综上所述，