2027年高考数学一轮复习人教A版选必一知识点清单

2027年高考数学一轮复习：人教A版选必一知识点清单

模块十一空间向量与立体几何

1.空间向量共线定理：对空间任意两个向量""。工。），舒"=存在实数义，使得3=与（短

变长，长变短，或平行转移）

2.空间向量共面定理：若向量不共线，则向量］与向量3石共面o存在唯一的有序实数

对（%,y）,使〃=xa+yb

空间向量共面定理可用于证明四点共面、线面平行

3.空间向量基本定理：如果三个向量［3"不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数对

（X,），,Z）,使得｝=x7+y%+z2其中q区［叫做表示空间向量的一个基底，3石2都叫做基

向量

4.空间向量的坐标运算：

设4=（内，），1，4丘=（々,%，22）,则

⑴模长公式:口=厅=汨+yj+zj

⑵数量积公式:

a-b=a网cos(a®=x(x2+y]y2+z(z2

(3)夹角公式:

/硼+/+-&+£+:

(4)4A：

aJ_B<=>aB=0<=>X[X2+y[y2+z1z2=0

(5)±ft：

—♦i—♦—*

allb<=>67=2/?<=>=Ayz=Az

JV)=AX2,2tt2

5.充分利用直线的方向向量和平面的法向量（找而定之,设而求之）

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证明空间中——线、面的平行、垂直，求夹角、求距离

设直线/,小的方向向量分别为43,平面的法向量分别为〃，匕，则

口）〃/m<=>a/!b<=>a=秋2wR【线线关系】

⑵/A.m<^>aA.b<^>a-b=0【线线关系】

（3）/〃acaJ.〃ca•〃=0【线面关系】

la<^>a//u<=>a=2w,2eR［线面关系］

（5）a〃/?o〃〃uo”=2匕丸eR【面面关系】

—♦―-*—

⑹aJ,/?o〃J.yo〃3=0【面面关系】

(7)【线线角】设异面直线/，m夹角为其方向向量分别为工5,则

ft,ew10,—

\nUI2

(8)【线面角】设直线/与平面a所成角为直线/的方向向量为G,平面a的法向量为第

则

sin6=cos（a,〃）|力

(9)【面面角】设平面a与平面0所成角为。，口,6分别为平面a,/7的法向量则

说明：三角函数值的转换：sin2x+cos2x=1Sma=tana

'cosa

6.(1)点到直线的距离：已知A是直线/上一点，尸是直线/外一点，直线/的单位向量为〃，

设而=3,则向量而在直线/上的投影向量而=伍力，所以点P到直线/的距离为

PQ=\a-（«=|AdsinNPAQ

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（2）点到平面的距离：设幺为平面。的一条斜线段，〃为平面的法向量，则P点到平面=

的距离为

模块十二直线和圆的方程

1.⑴直线的倾斜角a的取值范围是0<a<180

(2)斜率k=tana=—~—=—=--,直线的方向向量〃=(1,k)

x2一5nB

2.直线的方程:

1.直线方程:

形式方程局限已知条件

点斜（工0，%）是直线上1定点，女是斜

y-yo=k(x—xo)不能表示斜率不存在的直线

式率

斜极女是斜率，力是直线在y轴上的

y=kx-^-b不能表示斜率不存在的直线

式截距

两点y—y\_x—xi（xi，yD,02，丫2）是直线上的两

XI#及，川吟戈

式>1X2~Xi个点；

极距不能表示与坐标轴平行及过a,b分别是直线在x轴、y轴上的

a+b=l

式原点的直线截距

一般

Ar+8)+C=0A2+B2工0

式

3.两条直线的位置关系：

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匕：力6+Bty+G=0l1:y=kix-}-b\

方程

l2'A2x+B2y+C2=0/2：）'=hv+5

AYA2+8*2=0

垂直k[l（2=-1

（当当B2Ho时,可记为察•霍=一1）

（AB—AB=0百（力*2—&B1=0

平行1221

（BrC2-B2cl黄0双l42G-&G*0"i=“2，丹H%

重合&=QA2,Bl=CB2,G=口。2（口工0）k\=k2,瓦=b2

4.⑴两点间的距离公式：6（X1，必）,6（工2，）’2）

xx2?2

山川=7（i-2）+（>i-y2）

（2）点到直线的距离公式：点尸（与,凡）到直线/：Ax-3），+C=0的距离

_\Ax0+By0+C\

互+短

⑶两条平行直线4:Av+By+C,=0和乙：AV+BV+G=0间的距离:

>JA2+B2

5.对称问题：

①点关于点对称:点POi/i）关于点QOo，yo）的对称点为（2%-无i，2y（）-%）。

证明：设点夕（勺,月）关于点Q（~,y。）的对称点为P'Q2J2），则根据中点坐标公式，有

（%。=必

|_yjy2,可得对称点尸（小，yz）的坐标为（2x0-xlt2yo-月）。

U0=

②点关于直线对称：点P（%o，yo）关于直线，：At+B.y+C=0对称的点为:

口Zlo+L]LJo+口o+」Uo+口

（x-2A->yo-2B-

0A2+B2--TO-

证明：点P（&,yo）关于直线/:Ai+B.v+C=0对称的点为PQi，%）,连接"'，交/于M

点，贝口垂直平分PP,所以且M为PP中点，乂因为M在直线/上，故可

%%=-1

人%+%+8X+必+「_°'解出。1，%）即可。

/IrD-rLz-V

22

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③直线关于点对称：直线/:以+8)+。=0关于点(%,%)对称的直线为：

Ax~\~By-(2Ax()+2By()+C')=0。

求直线关于点对称的直线方程方法为：

法一：在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线

方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

6.①直线到角的公式：直线=kiX+Z?i逆时针旋转到与直线Li=k2x4-电重合时所转

过的最小的正角为6(8£(0,7T)),则tern。=4丁：(加七工-l)o(两直线的斜率存在)

②直线夹角公式：直线11：丫=忆6+4与直线%：丫=七%+玩相交所成的锐角或直角为8(。

£(0,多)，则SM»=|黯影|(七卜2手一1)。(两直线的斜率存在)

7.⑴圆的标准方程：(x-r/)2+(y-/?)2=r2

(r>0),圆心坐标为(。,〃)，半径为八圆的问题尽量与圆心、弦的中点联系起来

［该圆上的点的坐标可设为(a+rcosa〃+rsin8)】

思考：上、下、左、右的半圆方程怎么表示？

(2)圆的一般方程：x2-i-y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),圆心坐标，W)，半径rJ£)-+；_―4F

8.圆的弦长公式：如图，

|A@=2yjr2-d2,

其中d为弦心距

9.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为4,圆的半径为厂，则

(1)相离<=>d>r；(2)相切<=>d=r：(3)相交od<r【还要掌握：求过一点与圆相切

的切线方程】

10.圆与圆的位置关系：设圆0，。2半径分别为R,r(R>r)t\O}O2\=d

(l)d>R+ro外离(四条公切线)

(2)cl=/?+/*<=>外切(三条公切线)

(3)R—r<d<R+ro相交(两条公切线)

(4)d=R—r<=>内切(一条公切线)

(5)0cd<尺一厂。内含(无公切线)

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11.公共弦所在直线方程，由两圆方程相减(消去二次项)得到

12.阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离比为常数的点的轨迹；任何一个圆都可以用阿波罗尼

斯圆的定义表示

13.①过圆上一点的切线方程：与圆(X—a)2+(y—b)2=相切于(4,％)的切线方程为：

01-a)(x-a)+01-b)(y-b)=r2»

②切点弦所在的直线方程：过圆(％-a)2+(y-b)2=/外一点(与,力)作两条切线，切点分

别为A、B,则切点弦A8所在的直线方程为：(/一a)(x-a)+(yi-b)(y-b)=rz°

模块十三椭圆、双曲线、抛物线

1.椭圆的标准方程和几何性质:

定义|PFJ+IPFJ=2a>IAF2I(P为椭圆上的一点)

焦点、的住矍焦点在X轴上焦点在V轴上

JL

图形一

o\ff2x

标准方程x2y2y2/

—7+=1(Q>匕>0)

4葭+后=1(a>b>0)

aD4

焦点(c,0),(—c,0)(0,c),(0,-c)

焦距

\FIF2\=2c

4(-a,0)，似a,0)A1(0,-a)tA2(0,a)

顶点

H(0,-b),B2(0,b)Bi(一40)应(瓦0)

轴长短轴长：2b,长轴长：2a

a,b,c的关系Q2=/j2+

范围-a<x<a,-b<y<b-b<x<bt-a<y<a

对称性对称轴：工轴，y轴：对称中心：坐标原点

e=^,ee(0,1)。

离心率当e越接近1时，c越接近”，椭圆越扁；

当e越接近0时，c越接近0,椭圆越圆。

过桶圆的焦点与桶圆的长轴垂直的直线被楠圆所极得的线段

通径

通径长：—O

a

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2.楠圆焦点三角形的性质:

P为椭圆摄+\=1(Q>匕>0)上异于长轴端点的点，&、尸2为两个焦点，则称

作焦点三角形，设NFIPF2=8。

①△F1PF2的周长为2a+2c。

②=四即：=押加.IPFZI.sinO.

③4c2=2=|PFJ2+

\F1F2\|PF2|2_2\PF1\\PF2\COS0.

3.直线与椭圆的位置关系：直线)，=丘+机与椭圆总+总=1(«>/?>0)的位置:关系的判断

方法：联立/y2_消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与桶圆的位置关系、

莪+屏=1

对应一元二次方程解的个数及/的取值的关系如表所示.

直线与楠圆解的个数A的取值

两个不同的公共点西_解/>0

一个公共点一解/W。

没有公共点无解J<0

4.双曲线的方程和性质：

定义IIP/71!-l^ill=2a(0<2a<IF/2I)(〃为双曲线上的一点)

焦点位置焦点在X轴焦点在y轴

2222

标准方程xyyx

而一京=1仅>°，6>0)9—京=1伍>°，b>°)

图形

焦点坐标(C,0),(-C,0)(O,c),(O,-c)

焦距=2c

顶点4(-Q,0),4z(a，0)4(O,-Q),&(O,Q)

轴长虚轴长：2〃，实轴长：2。

对称性对称轴：％轴，y轴；对称中心：坐标原点

e=-C,ee(1,+^dx

离心率a

e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大

ba

渐近线y=±aXy=±bX

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过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被椭圆所截得的线段

通径

通径长：9

5.双曲线焦点三能形的性质：P为双曲线条一，=1（a>0,b>0）上异于顶点的点，&、

2

尸2为两个焦点，则称作焦点三角形，设/用。e2=氏则SAFSF,h=j。

12tan-

6.直线与双曲线的位置关系：

设直线/:y="+/»（，?=0）,①

双曲线C:会3=1（a>0,b>0）,②

把①代人②得（〃—片3”—2a2mkx—a2m2—crh2=0.

（1）当从一023=0,即攵=±2时，直线/与双曲线。的渐近浅平行，直线与双曲线相交于一点。

a

（2）当店一片S#0,即zwg时，/=（一2〃〃正）2-4（尻一4标）（一42m2一届户）。

/>0=直线与双曲线有两人公共点；

/=0=>直线与双曲线有一个公共点；

/<0=直线与双曲线有。入公共点。

7.抛物线的标准方程与几何性质：

标准方程)2=2pMp>0))r=-2px(p>0)x2=2py\p>0)jr=-2py(p>0)

ftw

图形%卡

才1-^—^

范围x20,y£RxWO,y£R)，20,xeRyWO,xeR

对称轴x轴x轴y轴y轴

焦点坐标呜。）F(~r°)3)产(of)

淮线方程X=~2Ty=-ly=l

顶点坐标0(0,0)

离心率e=1

通径长2P

8.直线与抛物线的位置关系：

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直线,)，=依+。与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个

I口2=2口口

数，即二次方程榜+2(妙一〃)x+及=0解的个数.

当&W0时，若/>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；

若/=0,直线与抛物线有一个公共点；

若/<0,直线与抛物线没有公共点.

当*=0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有I个公共点.

9.圆锥曲线的弦长公式：

若斜率为4�)的直线与圆锥曲线相交于A(xi,ji),5(x2,J2)两点,则：

|口口|=J1+口2.%-x2\=Jl+r|2•7(%+必)2-4%%2。

1口口1=J+3,从一月1=J1+',>/(%+丫2)2-4yly2(壮0)。

10.椭圆有关解题大招：

(1)与椭圆有关的最值问题：①椭圆上的点尸到焦点的距离最大值为。+。，最小值为a-c；

②当椭圆上的点P在短轴端点时，N&尸产2最大。

(2)椭圆中点弦的相关结论：

设椭圆的弦AB的中点为P,则：①椭圆方程为今+卷=1(a>b>0),则心&•k0P=一，；

②椭圆方程为噌■+a=1(a>b>0),则女八8,k°p=—色。

(3)椭圆的切线方程：过桶圆橙+，=1上一点尸(X”)处的切线方程为置+矍=1o

(4)楠圆的切点弦方程：过精圆总+\=1(。>匕>0)外一点P(xojo)作椭圆的两条切线，

切点分别为A和&则切点、弦/1B所在的直线方程为:警+券=1。

azbz

(5)椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、8是椭圆条+，=1(a>b>0)上关于原

点对称的两点，点。是该椭圆上不同于A、区的仟一点，^}kPA-kPB=~^

(6)椭圆与蒙日圆：椭圆'+'=1(。>匕>0)的两条互相垂直的切线的交点尸的轨迹是

2222

蒙日圆：x+y=a+bo

11.双曲线有关解题大招：

(1)双曲线的切线方程：过双曲线挤一，=1(a>0,匕>0)上一点尸(33，0)处的切线方程

为：兼-繁=1。

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(2)双曲线切点弦方程：过双曲线今一(a>0,匕>0)外一点P(.”o)作双曲线的两

条切线，切点分别为4和B,则切点弦48所在的直线方程为:警一崂=1o