人教版九年级数学上册第26章 二次函数 数学活动 导学案

26.二次函数数学活动

（导学案）

01学习目标

（1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.

能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质

分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知

识解决探究性问题.

（2）经历观察猜想一列式建模一验证推理一归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建

模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数

学思维方法.

（3）在自主探究和小组合作中体脸数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规

律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养.

重点:探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，

学握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法.

难点:从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次

函数最值、图象特征对应的实际意义.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问

题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律.

抛出问题：若两个数的和为10,这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜

想.

导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二

次函数数学活动.

新知探究

【学法指导】

新知自研：自研课本数学活动的内容

【学法指导】自研课本数学活动页内容

(一)和定数乘积的最值探究

活动1.和为定数，哪个数的积最大？

自主计算，初步猜想

给定两个正整数和为10,学生分组计算：1X9、2X8、3X7、4x6、5x5、6x4……记录乘积结果，观察变化规

律，猜想规律.

规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等的乘积最大.

建模推理，验证猜想

设其中一个数为x,则另一个数为10-x,设两数乘枳为y,列出函数关系式：

y=x(10-x)=-x2+10x(x>0,10-x>0,即0<10)

引导学生分析函数：二次项系数<0,抛物线开口向下，函数有最大值.

根据顶点公式，当x=--=5时，Va=±^£^1=25，验证猜想成立.

2a皿4。

规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值m,设一数为X，另一数为m-x,乘积y=-x2+mx,当

x=_A=丝，即两数相等时，乘积取得最大值.

2a2

(-)抛物线图形建模探究

活动2刹车距离与刹车时车速的关系

动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，

细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制H平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨

迹特征.

解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”,

为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表：

刹车时车速/(km/h)404856647280

刹车距离/m1722.427.935.343.452.8

⑴以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲

线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.

(2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个人致满足这些数据的函数解析式.

(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为70m,已知这条高速公路

限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶？

解决问题活动过程：①把6组坐标(40.17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8)在平面直角坐标系描

点，用平滑曲线连接.

观察猜测图象特征：

图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数(抛物线)特征，排除一次、反比

例函数.

结论：该变量关系近似二次函数.

②求二次函数解析式

设二次函数一般式:y=ax斗bx+c,选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8),代

入列三元一次方程组：

16OOa+4Ob+c=17

•4096a+64b+c=35.3

6400a+80b+c=52.8

分步消元计算：

2式-1式：2496a+24b=18.3①

3式一2式：2304a+16b=17.5②

联立①②化简求解，近似得：

a=0.0083,b=-0.099,c-7.7

解析式：y=0.0083x2-0.099x+7.7

验证：代入x=56,y^0.0083x562-0.099x56+7.7=28.2,与实测27.9误差极小，模型成立.

③判断车辆是否超速(刹车距离70m,限速100km/h)

已知y=70,代入解析式解方程，求出车速x,和1(X)比较.

解方程：().0083x2-0.099x+7.7=70

整理：0.(X)83x2-0.099x-62.3=0

两边同乘10000得：83x2-990x-623'X)0=0

用求根公式工/±”2-4",舍去负根(车速不能为负)，计算得：x»3.8km/h

2a

v93.8<100

结论：该车没有超速.

归纳总结：解决问题思路：

1.建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型；

2.待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式；

3.函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根；

4.实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题.

易错提醒：

1.不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数；

2.车速是正数，一元二次方程负根必须舍去；

3.本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常.

【自研自探】

自研课本数学活动内容

典型例题

例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值.

【分析】长方形面积:长x宽，长+宽=18（定值），构建二次函数，开口向下，顶点处面积最大.

【详解】设长方形长为xcm,则宽为（18・x）cm,面积为ycnR依题意得

y=x（18-x）=-x2+18x

a=-l<0,函数有最大值。

顶点横坐标：x=--=9宽：18-9=9

2a

最大面积：y=92=81

答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米.

例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如

图1）和截面示意图（如图2）,攻球员位于点O,守门员位于点A,0A的延长线与球门线交于点B,且点A,

B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：

s/in0912151821・・・

h/m04.24.854.84.2•・•

L……jD

OAB

图1图2

⑴根据表中数据预测足球落地时，§=m；

⑵求h关于s的函数解析式；

（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守戌功，若一次

防守中，守门员位于足球正下方时，s=24m,请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.

【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函

数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键.

（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；

（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入（1248）可求出参数，由此可解答；

（3）把s=24代入二次函数解析式求出，，再与最大防守高度比较即可.

【详解】(1)解：由表格可知，$=9时和s=21时，〃相等，s=12时，户18时，〃相等,

抛物线关于5=15对称，

•.•当$=0时，h=0,

s=30时，/?=0.

(2)由(1)知，抛物线关于$=15对称，设立=a(s75)2+5,

把(12,4.8)代入上述解析式，

1

.•.0(12-15)2+5=4.8,解得““利

112

h=---(s-15)2+5=----+-s.

45453

(3)当s=24m,

/?="—(5-15)2+5=-—X92+5=-I.8+5=3.2>2.6

:.4545

••・守门员不能成功防守.

第二环节合作探究

1.讨论如何解决两数的和为定值，积最大问题？

2.讨论如何解决抛物线型问题？

拓展提升：1.如图，一小球M从斜坡04上的点。处抛出.球摘出的路线可以用图中的抛物线表示，并建

1049]

立如图所示的平面直角坐标系，斛坡0A所在直线解析式为2,若小球到达最高点。的坐标为M16人

⑴求抛物线的解析式;

(2)在斜坡0A上的8点有一个障碍物，8点的横坐标为5,障碍物的高度为2,小球"能否飞过这个障碍物？

通过计算说明理由；

(3)该高度为2的障碍物放在斜坡QA上，若使小球能够通过，求H障碍物放置的水平范围.

【详解】⑴解E16人

将(°，°)代入得〃=—1,

x=—y=—x

⑵将R2代人-2,

1「9

y=——+2=—

得，R4,44,

1(7丫49

将2代入一I4；16,

3

v=­

得,2,

93

•.・一＞一

42,

•••小球M不能飞过这个障碍物;

71十竺」

x—“2

4J162

749491

x-x+—+-x-=--2-

216J162

-x2+3.r-2=O,

解得：廿2.

/.l<x<2,

••・若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：1<工<2.

层巩固练习

1.两数之和为20,其中一个数取值范围3sxs8,求两数乘积的最大值.

【详解】设一个数为x,两数积为y,则函数y=-x2+20x,对称轴x=10,开口向下，在对称轴左侧y随x增大而

增大，给定区间在对称轴左边，最大值在x=8处.

解答x=8,另一个数12

乘积y=8x12=96

答：乘积最大值为96.

2.如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形A8CO的三边组成，隧道的最大高度为4.9米；AB=\0

米，比:=2.4米，

(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式.

⑵若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才

不会碰到隧道的顶部，乂不违反交通规则，问，〃的取值范围是多少？

【详解】⑴解：设抛物线解析式为）'=-+”

由题意知，隧道的最大高度为49米；AA=10米，8c=2.4米,

由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，Z5）,且过（00）点，

[25a+5b=2.5

则有1100"】g=°

d=-0.1,)=1,

••抛物线的解析式为5二1（彳-5尸+2.5,

(2)由题意得，y=-61(x3+2.5

“=4-2.4=1.6时,-O.I(X-5)2+Z5=L6

H'J

..A=2=8

，~•

当刀=2或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时〃?=2,

当〃?=3时，此时刚好违反交通规则，

汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则,

2</w<3

•••”的取值范围是2</〃<3.

真题感知

1.（2026.四川成都）已知二次函数=6+/UTC•的自变量X与函数y的几组对应值如表:

X・・・-2-1013・・・

y•••3430-12・•・

下列说法错误的是（）

A.函数图象的开口向下

B.函数图象的对称轴是直线x=T

C.2a+c=0

D.b2-4ac>0

a-b+c=4

<a+8+c=0

【详解】解：将点(T4),(l⑼,(Q3)代入尸加+版+c得：［c=3

a=-\

b=-2

解得J,

・•・二次函数的解析式为'=-丁-21+3,

•,•«=-1<0,

・•・函数图象的开口向下，则选项A工确；

将二次函数)'=*一21+3化成顶点式为y=-(.i+l『+4,

函数图象的对称轴是直线工=T，则选项B正确；

又...〃=-1,/?=-2,0=3,

..3+c=2x(-l)+3=l,则选项c错误；

2

^-4«C=(-2)-4X(-1)X3=16>0>则选项口正确.

2.(2025•连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中上是铅球离初

始位置的水平距离，)，是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度。4为1.6〃?，则铅球掷出的水

【解答】解：由题意，OA=1.6m,

得A(0,1.6),

将A(0,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5,

得：1.6=a(0-3)2+2.5,

解得：a=4

•••y=-7；(x-3)2+2.5,

令y=0，得一卷（x-3/+2.5=0,

解得：xl=8,x2=-2,

，OB为8m,

故答案为：8.

3.（2025•临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出的

1

水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为工米，如图所示,

求水柱落地处离池中心的距离.

【详解】解:设这段抛物线的解析式为）'="（"一〃）一+&（"/°）,

fl,31

由题意可知，顶点坐标为12人

/?=-

2,k=3,

（

y=a\x——+3

.•・抛物线解析式[2）,

由题意得抛物线经过（°」），

...I2J.

解得〃=T，

y=-sfx--1+3

•••抛物线解析式为I2)

当水柱落地时，）'二°，即

v

...C4M.

1N/61x/6

x=—+—x7=------

解得24,’24（舍去），

水柱落地处离池中心124J米.

4.(2025•陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部打，左、右门洞上，L3均呈抛物线型，

水平横梁AC=I6/H,L\的最高点B到AC的距离BO=4m,L2,1.3关于BO所在直线对称.MMMP,

NQ为框架，点M,N在L上，点尸，Q分别在上，L3上，MMIAC,MPLAC,NQ1AC.以。为原点,

以AC所在直线为x轴，以60所在直线为)，轴，建立平面直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式：

(2)已知抛物线口的函数表达式为y=4产，NQ/m,求MN的长.

JLO4

【解答】解：(1)•.•8O=4〃z,

•••抛物线Ll的顶点3坐标为(0,4),

设抛物线L的函数表达式为)，=〃(工-0)2+4,

■AC=16〃?，

结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0),

将C(8,0)优入y-a(A-0)°+4,

得0=64。+4,

则a=-兼，

1