北师八年级数学上册 一定是直角三角形吗（同步练习）

第一章勾股定理

2一定是直角三角形吗

基础过关全练

知识点1勾股定理的逆定理

1.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其

中正确的是()

2524

2()

715A

2.若△ABC的三边长mb,c满足|a・3|+|4@+(c-5)2=0,则△48。是(

A.直角三角形B.等腰三角形C等边三角形D.等腰直角三角形

3.如图，在7x7的网格中，每个小正方形的边长都为1.

(□△ABC的面积为.

⑵判断△ABC的形状，并说明理由;

(3)AB边上的高是.

4.阅读以下解题过程：

已知mb,。为△A8C的三边长,且满足/c242c试判断△ABC的形状.

,：a2c2-b2c2=a4-b\①

・・・/通扶)=①2)(居+为,②

（?=（rib2,@

•••△ABC为直角三角形.④

⑴上述解题过程从哪一步开始出现错误?该步的序号为

⑵错误的原因是______________________________________________________________

⑶本题正确的结论是__________________________________________________________

5.如图，在△ABC中，AB=\5,BC=20fCA=25,£是AC上一点，£LBE=BA,求EC的长.

知识点2勾股数

6.下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1、2、3B.4、5、6C.3、4、5D.7、8、9

7.观察下列几组勾股数，并填空：①4,3,5,②6,8,10,③8,15,17,©10,24,26,

⑤12,35,37,……，则第⑦组勾股数为.

能力提升全练

8.下列各组数中，是勾股数的为（）

A3,4,7B.32,42,52C.0.5,1.2,1.3D.7,24,25

9.在下列条件中：①NA+N氐NC；②NA:NB:ZC=1：2：3；③AB：BC:AC=3：4：5；

④NA二=NC,能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在5x5的正方形网格中，从格点A,B,C,。中任取三点，以三点为顶点的三角形

恰好是直角三角形的个数为（）

A.1

第第题图第1」题图

11.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向

航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，I小时后两船分别位于点48处，且

相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，则乙船沿方向航行.

12.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股数：

3,4,5；5,12,13；7,24,25；……,这类勾股数的特点：勾为奇数，弦与股相差为1.

柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；……,

若此类勾股数的勾为2〃z(〃2N3,机为正整数)，则其弦是(结果用含m的式子表示).

13.在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中A8=AC,由于

某种原因由。到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点

”(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9

千米.

⑴问C”是不是从村庄。到河边的最近路?请通过计算加以说明；

⑵求原来的路线AC的长.

14.已知整式A=(〃2_i)2+(2研，整式B>().

尝试化简整式4

发现A=B\求整式以

联想由上可知，32=(〃2-1)2+⑵?)2,当心1时，〃勺，2n,8为直角三角形的三边长,如图.

上!

]

填写下表中8的值：

直角三角形三边长n2-l2nB

勾股数组/8

一

勾股数组〃35

素养探究全练

15.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如

下的表格中，则当所20时，b+c的值为（）

a68101214•••

b815243548•••

c1017263750•••

A.100B.200C.240D.360

16.在△ABC中，BC=a,AC=bfAB=c,设c为最长边的长，当〃+Z?2=c2时，是直角三

角形；当〃2+/加2时，利用代数式比较〃2+及和，的大小关系，可以判断△A3c的形状（按角

分类）.

⑴请你通过画图探究并判断：当△46C的三边长分别为6、8、9时，△A8C是三角

形；当△ABC的三边长分别为6、8、11时，△ABC是三角形；

⑵小明同学根据上述探究进行猜想：“当时，△ABC为锐角三角形；当/+/</时,

△ABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想解答下面的'可题：

当〃二7,"24时，c在什么范围内取值，AAAC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?

第一章勾股定理

2一定是直角三角形吗

答案全解全析

基础过关全练

l.CA.72+202^252,152+202^242,222+242^252,故A不正确；

B.72+242=252,152+20V242,故B不正确；

C.72+242=252,152+202=252,故C正确；

D.72+20V252,242+15V252,故D不正确.

故选C.

2.AV|a-3|+|4-Z?|+(c-5)2=0,

；・。-3=0,4-£>=0»c-5=0,

，。=3,6=4,c=5,

Vt72+/?2=32+42=25,?=52=25，

，片+日d，

由勾股定理的逆定理可知，AABC是直角三角形.

故选A.

3.解析(1)SA=4x4-ix4x2--x3x4--x1x2=5,

ABC222

故答案为5.

(2)/iA8C是直角三角形，理由如下：

解法一：VACM2+12=5,5C2=22+42=20,ZIBM2+32=25,

••・Ad+BC?二A",

•・.△ABC是直角三角形，ZACB=90°.

解法二：如图，・.・AE=CO=2,CE=DF=\,/AEC=NCDF=9。。,

•・.△ACE2ACFD,

AZ1=Z2,

VZ1+Z3=9O°,

AZ2+Z3=90°,

・•・ZACB=90°,

・・・△ABC是直角三角形.

⑶设A8边上的高是人

/.SAAHC=-ABh=-x5h=5,

22

A/?=2.

4.⑴③（2）没有讨论才-斤等于0的情况

⑶△ABC是等腰三角形或直角三角形

解析本题通过计算过程纠错.

,.,tz2c2-/?2c2=«4-M,

・・"（〃2d2）=（混"）（层+为,

・・.（°2■庐）［己俨+为卜。,

2222222222

.*.a-Z?=0或c-（«+/?）=0,当a-b^O时,c=a+bf此时△ABC是直角三角形,

当。2_〃2=0,即时,△ABC是等腰三角形,

/.△ABC为等腰三角形或直角三角形，故从第③步开始出现错误，其原因是不能确定42f2

是不是等于0.

5.解析如图，作B7）_LAC,垂足为。，

在仆ABC中，

VAB2+BC2=152+202=625=252=AC2,

•••△ABC是直角三角形，

：.-ABBC=-ACBD

22t

：.BD=i2,

在RSABD中，AD^AB^Bb2=152-122=81,

：.AD=9,

•；BE=BA,8/)_LAC,

：.AE=2AD=18.

：.EC=AC-AE=25-\S=7.

6.CA.・・・12+22=5,32=9,・,•不是勾股数，故A错误；

B.・・,42+52=41R62=36,・,•不是勾股数，故B错误；

C.V32+42=25=52=25,且3,4,5都是正整数，.••是勾段数,故C正确；

D「.・72+82=113r92=81,・••不是勾股数，故D错误.

故选C.

7.16,63,65

解析根据题目给出的前几组数的规律可得这组勾股数中的第一个数是2(〃+1),第二个数是

〃(叶2),第三个数是(〃+1尸+1,故第⑦组勾股数是16,63,65.

能力提升全练

8.D32+4V72,故该组数不是勾股数；

(32)2+(42)V(52)2,故该组数不是勾股数；

0.5,1.2,1.3不是整数，故该组数不是勾股数；

72+242=25?且都为正整数，故该组数是勾股数，故选D.

9.C①・.・NA+N左NC,

工N4+N8+NC=2ZC=180°,

AZC=90°,

•••△A8C是直角三角形；

②由NA:NB：ZC=1：2：3,

设贝ijN8=2r,ZC=3x,

.*.x+2x+3x=180°,

解得户30。，

/.ZC=30°x3=90°,

:.XkBC是直角三角形；

③由AR：BC：AC=3：4：5.

设48=33贝i」BC=4k,AC=5%

:.AB2+BC2=AC2,

•••△ABC是直角三角形；

®VZA=ZB=ZCf

：.NA+NB+NC=3ZA=180°,

解得NA=60。，

AZB=ZC=60°,

•••△ABC不是直角三角形.

・•・能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个，故选C.

10.C如图，连接AC、AB.AD.BC、CD、BD,

设小正方形的边长为1,

则4序=12+22=5,AC2=22+42=20,

^^=12+32=10,BC2=52=25,

C》=12+32=10,BD2=l2+22=5,

：.AB2+AC2=BC2,AD^C^AC2,BD^AB^AD2,

•••△ABC、△AOC、△4B。是直角三角形，共3个，故选C.

11.北偏东50。

解析由题意可知AP=12海里，8P=16海里，AB=20海里，

V122+162=202,

•••△AP8是直角三角形，且乙4P3=90。，

由题意知NAPN=40。，

ZBPN=90Q-ZAPN=90°-40°=50°,

即乙船沿北偏东50。方向航行.

\2.nr+\

解析由勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数的勾为2〃?，设其股是〃，则弦为"2,

根据勾股定理得(2㈤2+。2=(〃+2)2,

解得a=nr-1,弦为nrI1.

13.解析（1）是，理由：在中,

■:CHMBHJ1.22+0.92=2.25,BC2=2.25,

：.CH2+BH2=BC2,

•••△CHB是直角三角形，

:.CH是从村庄C到河边的最近路.

⑵设AC=x千米，则AH=a-0.9)千米，

在Rtz\AC”中，

由勾股定理得AC2=AH2+CH2,

•*.X2=(X-0.9)2+1.22♦1.8.r=2.25,

解得广1.25.

答：原来的路线AC的长为1.25千米.

14.解析尝试