第一章 整式的乘除（6类题型突破）-北师版七年级数学下册复习

第一章整式的乘除（6类题型突破）

重要题型

【考点1】幕运算

1.已知9"1=3,27"=4,则32*"=()

A.1B.6C.7D.12

2.计算(-2)】。】+(-2)皿的结果是()

A.2,(,0B.-2C.-1D.-2,0°

3.下列计算正确的是()

A.a2-ab=/B.a*+/=a2C.2a2+3a2=6a4D.(-3〃)2=-9/

4.计算a、”得则"？”是（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知a=22”，〃=33",C=553\"=66门，则a、b、c、d的大小关系是（）

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

6.计算（-3）。的结果是（）

A.-1B.1C.0D.-3

7.已知一粒米的质量是0.（XXKX）21千克，这个数字用科学记数法表示为（）

A.21x10-千克B.2.1x10-5千克C.2.以106千克D.2.1xl(y4千克

8.若2m⑵=32,则的值为()

A.6B.5C.4D.3

9.已知〃"=2,，=3,则产心的值为（）

A.24B.36C.72D.6

10.若3x=15,3y=3,则3xy=()

A.5B.3C.15D.10

11.计算（2"）’的结果是（）

A.2个B.8心C.6a7D.8/

12.已知3。=加,270,a,〃均为正整数，则32"+6〃=()

A.mnlB.m2nC.3〃?2〃2D.m2n2

13.若27x3'=3"则x的值等于_________.

14.若丁=6,an=4,则产

15.计算：（应-1）。+2"=

16.若10v-a,10v+v+2-lOOaZ?,则10'=.

17.计算：一产23x4+（_£|-+g_5）。.

【考点2］整式的乘除法运算

18.若f+mr-15=（x+3）（x+k）,则，"的值为（）

A.-5B.5C.-2D.2

19.如果a+3Z>-2=0,那么3、27万的值为（）

A.1B.3C.9D.27

20.若〃「+2〃?=1,则4〃?2+8〃Z-3的值是（）

A.4B.3C.2D.1

21.小羽制作了如图所示的卡片A类，B类,C类各5（）张，其中A,3两类卡片都是正方形,

。类卡片是长方形，现要拼一个长为（5"7方），宽为（7a+h）的大长方形，那么所准备的C类

卡片的张数（）

A.够用，剩余4张B.够用，剩余5张

C.不够用，还缺4张D.不够用，还缺5张

22.观察下列各式及其展开式：

(a+b)2=a2+lab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b-

(a+b)4="+4。3/?+6。2。2+4。//+/?,

(a+b)5=Q5+5〃％+]()Q%2+J0a2b3+5ab4+b5

请你猜想（。+。）1°的展开式第三项的系数是（）

A.36B.45C.55D.66

23.若（-2x+a）（x-1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

24.如图，在长为3a+2,宽为2〃-1的长方形铁片上，挖去长为2a+4,宽为。的小长方形铁

片，则剩余部分面积是（）

3o+2

2b-\

2n+4

A.6ab-3a+4bB.4ah—3a—2C.6ab-3a+^-2D.4ab-3a-^Sb—2

25.已知，〃+〃=2,run=-2,贝I」(1一小)(1一〃)=.

26.若(4+1)(4-2)=/+〃比+〃，贝iJ〃7+〃=.

27.已知"=（工-2）（4-6）,Ar=（x-5）（x-3）,则M与N的大小关系是.

【考点3】整式乘法的实际应用

28.如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影

部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像.

（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）.

（2）若a=3,b=2,请求出绿化部分的面积.

A

~a^b2a+b

区+A

―3a+6-H

29.如图，某中学校园内有一块长为（3〃+2b）米，宽为（2〃+力米的长方形地块，学校计划

在中间留一块长为（2〃-b）米、宽为S米的小长方形地块修建一座雕像，然后籽阴影部分

进行绿化.

3。+26

2a+b

⑴求长方形地块的面积；（用含m8的代数式表示）

⑵求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含小〃的代数式表示）

（3）当。=3,8=1时，求绿化部分的面积.

30.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几

何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用.

例1：如图I,可得等式：a(b+c)=ab+ac；

例2：由图2,可得等式：(a+力)(。+〃)=/+〃〃+»2.

屈1ra2nB®

⑴如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为〃+〃+，：的正方形，从中你

发现的结论用等式表示为:

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a+b+c=l(),/+从+/=36.求ab+bc+ac

的值.

⑶如图4,拼成AMGN为大长方形，记长方形ABC。的面积与长方形EAGH的面积差为S.设

CD=x,若S的值与无关，求。与6之间的数量关系.

【考点4］平方差公式运算及其几何问题

31.下列各式中，不能运用平方差公式计算的是()

A.(2x-l)(-l+2x)B.(ab-\)(ab+\)C.(-2x-y)(2x-.y)D.(-〃+5)(-。-5)

32.如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为匕的小正方形(，＞加，把剩下部分拼成一

个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()

b

b

（图1）（图2）

A.a2+b2=(a+b)(a-b)B.a2-b'=(a+b)(a-b)

C.[a+b)2=a2+2ab+b2D.(a-bf=a2-2ah+h2

33.如图在边长为。的正方形中挖掉一个边长为匕的小正方形（“沙）.把余下的部分前拼成

一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

h

B.(a+b)~=cr+2ab+b'

C.(a-b)2=a2-lab+b2D.a，-ab=a(a-b)

22

34.已知a+b=2fa-b=3,贝Ua-b的值为

35.己知〃/一I=2(),m+n=5,则〃?一〃

36.如图1,边长为。的大止方形中有一个边长为力的小止方形，把图1中的阴影部分拼成

一个长方形（如图2所示）.

图1

⑴上述操作能验证的等式是:（请选择正确的选项）

A.a2-b2=(6Z4-Z?)(a-Z?)；B.cr-2ab+b2=(A-/))2；C."+"=a(a+〃)

⑵请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题:

①已知4万一从=24,2«+Z?=6,则2〃一。=.

②计算：（＞£|（1-£|（1-3%$）（，点）

37.乘法公式的探究及应用.

图1图2

⑴如图1,是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是」如图2,阴影部

分的面积是「比较图1,图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式」

⑵运用你所得到的公式，计算下列各题

①103x97；

②⑵+厂3）⑵-y+3）.

【考点5］完全平方公式运算及其几何问题

38.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b'\2=a2-lab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(ab)2=a2b2

39.如图，从边长为（/4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（。+1）cm的正方形（a>0）,

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）

1|口।—Q口

HI-►»

A.(2a2+5«)cm:B.(3</+15)cm2C.(6«+9)cm2D.(6«+15)cm2

40.若a1-5,则/I!的结果是（〉

A.23B.25C.27D.29

41.已知(x-2021)2+(x-2023)2=50,贝U(x-2022)2的值为()

A.24B.23C.22D.无法确定

42.已知V-米+16是完全平方式，则八.

43.己知。=7-3〃，则代数式/+6帅+9加的值为.

44.如图1是长为4%宽为力的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用

四块小长方形拼成一个"回形''正方形(如图2).

b

图।图2

⑴观察图2,请你写出W+4、(〃-32、面之间的等量关系是.

⑵根据(1)中的结论，若x+y=5,xy=^f求(x-y)2的值；

⑶拓展应用：若(2021y+(加一2022)2=7,求(2021-㈤(加-2022)的值

45.将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,

这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，

是解题的有力手段之一.

例如，求代数式犬+2戈+3的最小值.

解：原式=f+2x+l+2=(x+l『+2.

V(x+I)2>0,

/.(x+I)2+2>2.

・,•当x=-1时，工2+2\+3的最小值是2

⑴请仿照上面的方法求代数式八61的最小值.

(2)已知△ABC的三边mb,c满足/-6〃=-14,从一8。=一23,c2-4^=8.求△ABC的周长.

46.回答下列问题

⑴填空：/+4=[工+_1]_______=fx-lT+______

『kX)Ix)

(2诺"+*，则。?+5=;

⑶若/-3。+1=0,求■的值.

47.乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为。的正方形，B种纸

片是边长为〃的正方形，。种纸片长为〃、宽为〃的长方形并用A种纸片一张，8种册片一张，

C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

（1）观察图2,请写出下列三个代数式：（。+））2,而之间的等量关系

（2）若要拼出一个面积为（。+助）（。+与的矩形，则需要A号卡片1张，8号卡片2张，C号卡

片张.

（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：。+已=6,a2+b2=14,求而的值:

②已知（X—2018/+（♦2O2Of=4.求（.2019『的值.

48.【阅读理解】

“若X满足（80—力（工一60）=30,求（80—xf+（x—60）2的值”

解：设（80_x）=a,（X-60）=ZJ,则（80_力（彳_60）=而=30,«+/?=（80-x）+（x-60）=20,所以

（80-x『+（4-60）2=/+从=（4-8『-2,洒=2（）2-2x30=340

【解决问题】

⑴若x满足（257）（187）=30,求（25-x『+（18-4的值.

⑵若x满足x2+（107丫=260,求x（ior）的值

⑶如图，正方形A8C。的边长为x,AE=6,CG=8,长方形EFGO的面积是240,四边形

NGOH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具

体的数值）.

【考点6］整式的混合运算化简

49.计算：(X+1)(A-2)+A(X+1)+I

50.先化简，再求值：（3x+2y）（x-2y）-x（3x-2），），其中.1,），=1.

51.先化简，再求值：(2X+1)(2X-1)-(2X-3)2,其中户-1.

52.若，+垓+〃)(工2_31+1)的展开式中不含不和13项,求:

⑴〃?、〃的值.

⑵求(〃?+n)(m2-mn+//)的值.

第一章整式的乘除（6类题型突破）

重要题型

【考点1】幕运算

1.已知9"'=3,27"=4,

D.12

【答案】D

【分析】利用同底数幕乘法逆用转换求解即可.

【详解】解：・""=3,27”=4,

.32"3n=32mx33W=（32）mX（33）n=9WX27”=3X4=12,

・•・故选：D.

【点睛】本题主要考查同底数事乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键.

2.计算（-2）,0,+（-2）i°°的结果是（）

A.2100B.-2C.-1D.-2,0°

【答案】D

【分析】根据乘方运算的法则先确定符号后，据此求解即可得出答案.

【详解】解：（-2）|00+（-2）101

=2,0°-2x2100

=2,00x（1-2）

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是乘方运算的法则，掌握乘方运算的法则，正确的确定符号是解题

的关键.

3.下列计算正确的是（）

A.a2-a6=

C.2/+3。2=6〃4D.（-3a）2=-9/

【答案】A

【分析】根据同底数幕的乘法，同底数嘉的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可

求解.

【详解】解：A.故该选项正确，符合题意；

B.故该选项不正确，不符合题意；

C.2/+3/_5a2,故该选项不正确，不符合题意；

D.(-3々)2=9〃2,故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了同底数事的乘法，同底数塞的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计

算是解题的关键.

4.计算a、。得则“？”是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】运用同底数基相除，底数不变，指数相减，计算即可.

【详解】储+a="T=/,则“？”是2,

故选：C.

【点睛】本题考查同底数事的除法；注意

5.己知a=22"，〃=33",C=5533,3=66%则。、b、c、5的大小关系是()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

【答案】A

【分析】先变形化简a=22*=(225)”,/,=3344=(334)",c=5533=(553)",</=6622=(662)u,比较

11次累的底数大小即可.

333222

【详解】因为。=22%=(22$)”,-=33"=(33",c=55=(55)",^/=66=(66)",

因为竺二55X竺=55X(2)2=55X—>1,

所以55°>66，

所以(55》>(66?)”,

故55”>6622即c〉d；

同理可证〃b>c

所以a>〃>c>4,

故选A.

【点睛】本题考查了暴的乘方的逆运算，熟练掌握嘉的乘方及其逆运算是解题的关键.

6.计算(-3)。的结果是()

A.-1B.1C.0D.-3

【答案】B

【分析】根据任何非零数的零次幕是1计算即可，熟练掌握零指数幕计算是解题的关键.

【详解】根据题意，得(-3)°=1,

故选B.

7.已知一粒米的质量是0.00C321千克，这个数字用科学记数法表示为()

A.21X1CT4千克B.2.1x10,千克C.2八10-6千克D.2.1xl(r*千克

【答案】C

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为“1。"的形式，其中1«忖vI。，

〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点

移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；

由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：O.(XXXX)21千克=2.以10/千克，

故选C.

8.若Z"♦2"=32,则〃z+〃的值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】根据同底数幕的乘法法则结合有理数的乘方运算进行计算.

【详解】解:VT-2"=2吁"，32=25,且2™.2"=32

/.m+n=5

故选:B.

【点睛】本题考查同底数基的乘法计算，掌握计算法则正确计算是解题关键.

9.己知""=2,，=3,则/*2〃的值为()

A.24B.36C.72D.6

【答案】C

【分析】根据指数帚运算法则即可求出答案.

【详解】二"=2,优=3

32

...a3M=/用产=”，)3.”)2=2X3=72

故选：C

【点睛】本题考查同底数事的乘法和塞的乘方，解题的关键是熟练运用指数恭的运算法则，

本题属于基础题型.

10.若3x=15,3y=3,则3工了=()

A.5B.3C.15D.10

【答案】A

【分析】根据同底数幕的除法，由3x=15,3），=3,可得3xj，的值，本题得以解决.

【详解】解：V3x=15,3y=3,3xyx3y=3x,

3xy=3户3y=15-?3=5,

故选：A.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法与除法，熟练掌握法则是解题的关键.

11.计算（2/丫的结果是（）

A.2/B.8清C.6/D.8/

【答案】B

【分析】直接运用事的乘方、积的乘方计算即可.

【详解】解：（2/）3=（2f（*'=8/.

故答案为B.

【点睛】本题主要考查了事的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题

的关键.

12.己知3"=〃?，27〃=〃，m均为正整数，则32〃+6b=（）

A.mn2B.m2nC.3nrn2D.m2n2

【答案】D

【分析】先利用虚的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幕的乘法法则的逆

用及基的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可.

【详解】,・,27人=〃，

.・.27;3"=/?.

•Q2IJ-*-6£>

，

=32"X36Z

=（3"）1（3防丫

=in2n2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查事的乘方、同底数案的乘法法则的逆用，解答本题的关键是熟记同底

数箱的乘法、嘉的乘方的相关法则.

13.若27x3,=3"则x的值等于.

【答案】6

【分析】由题意依据同底数累的乘法进行分析计算即可得出答案.

【详解】解：27x3'r=33x3t=35+x=39,即3+x=9,解得K=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查同底数昂的乘法的应用，熟练掌握同底数累的乘法法则是解题的关键.

14.若1=6,d=4,则/吁

【答案】9

【分析】根据塞的运算的逆运算，把所求式子变成累的运算即可.

【详解】cin-6»a"=4,

...a2n,-n=（I）2+a"=6?+4=36+4=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查了哥的运算的逆运算，解题关键是灵活运用累的运算的逆运算，把所求式

子转换成幕的运算.

15.计算：（0-l）°+2T=.

3I

【答案】-/1-/L5

【分析】本题考查了零指数累，负整数指数累，，熟练掌握以上运算法则是解题的关键.

【详解】解：（虚-D0+2"=1+g=m，

故答案为：

16.若10、=a,10-=100必，则10'=.

【答案】b

【分析】将已知等式利用同底数事的乘法法则变形，从而得到结果.

【详解】解：.・・i（r=4,

Al0""2=10'-10'102=a-10'100=100必,

.*.1OV=Z?,

故答案为:b,

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，解题的关键是灵活运用公式进行变形.

17.计算：一严3、4+（」丫+（乃_5）°.

<3）

【答案】6

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算.根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再

计算乘除，最后计算加减即可.

【详解】解：-12023x4+(-；］'+(乃-5)°

=-1x4+9+1

=-4+9+1

=6.

【考点2］整式的乘除法运算

18.若f+〃ir-15=a+3)(x+”)，则〃?的值为()

A.-5B.5C.-2D.2

【答案】C

【分析】将等号右侧展开得V+〃2L15=(x+3)(x+〃)=f十(3+〃卜+3〃，根据对应项系数相等列

等式计算求解即可.

【详解】解：:V+〃氏一［5=(x+3)(x+〃)=f+(3+〃)x+3〃

in=3+〃，3/7=-15

解得加=-2,n=-5

故选C.

【点睛】本题考查了多项式的乘法运算.解题的关键在于根据对应项系数相等列等式.

19.如果劝-2=0,那么3，x27〃的值为()

A.1B.3C.9D.27

【答案】C

【分析】由。+%-2=。可得〃+弘=2,根据事的乘方及同底数塞运算法则可得3隈27・3"劝，

把〃+3)=2代入即可得答案.

【详解】,・・。+%一2=0,

£7+3/?=2,

3"x27"

=3rtx(33/

=3"x3功

二q«+3f>

=3

=9.

故选：C.

【点睛】本题考查累的乘方及同底数累乘法，哥的乘方，底数不变，指数相乘；同底数累相

乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键.

20.若"P+2〃?=l,则4〃/+8/"-3的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答窠】D

【分析】把所求代数式4-+淅_3变形为4（/+2刈-3,然后把条件整体代入求值即可.

【详解】***nr+2m=1,

-3

二4加+2〃?）-3

=4x1-3

=1.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式4/+M—3

变形为4(〃/+2/〃)—3.

21.小羽制作了如图所示的卡片A类，B类,。类各50张，其中4,8两类卡片都是正方形,

C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5。+7〃），宽为（7a+9的大长方形，那么所准备的C类

卡片的张数（）

a

A.够用，剩余4张B.够用，剩余5张

C.不够用，还缺4张D.不够用，还缺5张

【答案】C

【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解.

【详解】大长方形的面积为（5々+7〃）（7々+〃）=35笳+54他+73,

C类卡片的面积是，

・・・需要C类卡片的张数是54,

・••不够用，还缺4张.

故选：C.

【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的

运算法则是解题的关键.

22.观察下列各式及其展开式：

(a+b)2=a2+2ab+b2

(.a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4aJb+6a2b2+4abs+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+1Oc^bJ+Sab^b5

请你猜想(a+b)的展开式第三项的系数是()

A.36B.45C.55D.66

【答案】B

【分析】归纳总结得到展开式中第三项系数即可.

【详解】解：(。+6)2=a2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4a^+b4；

(a+h)5=a5+5a4b^-10a3b2+1Oc^h3+Sab^b5；

Ca+b)6=rz6+6fz5Z?+15〃4/?2+20〃3//+15a2b4+6加十心；

Ca+b)1=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5-^lab6+b7\

第8个式子系数分别为：1,8,28,56,70,56,28,8,1；

第9个式子系数分别为：1,9,36,84,126,126,84,36,9,1；

第1()个式子系数分别为：1,1(),45,12(),210,252,210,120,45,1(),1,

则(〃+8)I。的展开式第三项的系数为45.

故选B.

【点睛】本题考查了完全平方公式的规律，根据给的式子得出规律是解题的关键.

23.若(・2x+〃)(x-1)的结果中不含x的一次项，则。的值为()

A.1B.-IC.2D.-2

【答案】D

【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含X的一次项系数为零即可求出

答案.

【详解】解：(-2x+a)(x-1)=-2x2+(a+2)x-a,

**•ci+2—0,

••a=-2,

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的乘法中的不含某项的计算，正确理解题意是解题的关键.

24.如图，在长为3a+2,宽为2。-1的长方形铁片上，挖去长为2〃+4,宽为匕的小长方形铁

片，则剩余部分面积是()

3a+2

-------------2/)-1

b

2。+4

A.6ab-3a+4bB.4ab-3a-2C.6“Z?-3a+助一2D.4aZ;—3。十8。一2

【答案】B

【分析】根据长方形的面积公式分别计算出大长方形、小长方形的面积，再进行相减即可得

出答案.

【详解】解：(3々+2)(2〃-1)一〃(2。+4)

=6ab-3。+4Z?—2—2ab—4b

=4cib-3a-2,

故剩余部分面积是4HA3a-2,

故选B.

【点睛】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运算，解题的关键是掌握长方形的面积公

式.

25.己知m+n=2,=-2,pllj(1-/??)(1-//)=.

【答案】-3

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将〃?+〃与〃2〃的值代入计算即可求

出值.

【详解】解：Vm+n=2>mn=-2,

(1-m)(1-?/)=1-(m+n)+mn=1-2-2=3.

故答案为：-3

【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

26.若(汇+1)(刀-2)=/+〃比+〃,贝iJ〃7+〃=.

【答案】-3

【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出，"、

〃值，代入即可求解.

【详解】解：・・・/+加什〃=。+1)(六2)=/・；1・2,

m=-1,〃=-2,

.*.w+n=-l-2=-3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键.

27.已知”=(x-2)(x-6),Ar=(x-5)(x-3),则M与N的大小关系是.

【答案】M〈N

【分析】利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断.

【详解】,：M-N

=(x-2)(x-6)-(x-5)(x-3)

=x"-2x—6x+12—x〜+3x+5x—15

=-3<0,

:,M<N,

故答案为：M〈N.

【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，运用作差法比较大小是

解答的关键.

【考点3】整式乘法的实际应用

28.如图，某市有一块长为(3a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地，规划部门计划将阴影

部分进行绿化，中间将修建一座边长为(a+b)米的正方形雕像.

(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积(结果要化简).

(2)若a=3,b=2,请求出绿化部分的面积.

―34+6-

【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.

【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值.

【详解】解：（1）根据题意得：

（3a+b）（2a+b）-（a+b）2

=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2

=5a2+3ab；

（2）当a=3,b=2时，

原式=5x3?+3x3x2=45+18=63.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键.

29.如图，某中学校园内有一块长为（3。+2〃）米，宽为（2"〃）米的长方形地块，学校计划

在中间留一块长为（2〃-b）米、宽为沙米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分

进行绿化.

3。+2b

2b2a+6

2a-b

⑴求长方形地块的面积；（用含m。的代数式表示）

⑵求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含小人的代数式表示）

（3］当。=3,b—1时，求绿化部分的面积.

【答案】⑴（6/+7加+切）平方米

（2）（4他-2〃）平方米

（3）67平方米

【分析】（1）利用长方形面积公式直接计算即可；

（2）利用长方形面积公式直接计算即可；

（3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解.

【详解】（1）:（3a+2〃）x（2a+〃）=6a2+3M+4a〃+»2=（6/+7"+2〃）平方米，

・・・长方形地块的面积为（6/+7H+2/叫平方米；

（2）・・・（2a-〃）x抄=（4他-2〃）平方米，

・・・雕像的面积为（4岫-2〃卜平方米；

（3）•・•绿化部分的面积为+7帅+2b2-（4ab-2b2）=（6^4-3cib+4〃）平方米；

・••当67=3,h=1时，

6«2+3«Z?+4Z?2=6x324-3x3xl+4xl2=54+9+4=67（平方米），

・•・绿化部分的面积为67平方米.

【点睛】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相

乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则.

30.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几

何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用.

例1：如图1,可得等式：a（b+c）=ab+ac；

例2：由图2,可得等式：（〃+力）（。+〃）=/+初力+切.

⑴如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你

发现的结论用等式表示为:

（2］利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题:已知。+b+c=10，/+。2=36.求ab+bc+ac

的值.

（3）如图4,拼成AMGN为大长方形，记长方形4BCD的面积与长方形EPGH的面积差为S.设

CO=x,若S的值与CO无关，求。与力之间的数量关系.

【答案】(l)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

（2）32

（3）b=2z

【分析】（l）正方形面积为〃小块四边形面积总和为＜/+〃+。2+2"+2^+2比，由

面积相等即可求解；

（2）根据（1）中的结论，将式子的值代入计算即可求解；

(3)BC=2a,DE=3a,EH=CF=b,EF=CD+CF-DE=x+h-3af

根据S=S长方形八8m1S长方形EFGH，即可求解.

【详解】(1)解：：正方形面积为(a+O+c)'，小块四边形面积总和为++

由面积相等可得：(a+〃+c7=/+〃+c2+2ab+2bc+2ac,

故答案为：(〃+力+c'1=a2+。2+c?2+2ab+2bc+lac.

(2)解：由(1)可矢口2"+而c、+2ac=(〃+/?+c『一(/+/+/),

222

Va+h+c=\Ofa+b+c=36;

2(ab+be+ac)=(a4-/;+c?)2一(，『+力2+/)=100-36=64,

ab+be+ac=—x64=32.

2

(3)解：由题意知，BC=2a,DE=3a,EH=CF=bfEF=CD+CF-DE=x+b-3a,

S=S长方形人一S长方形EQ”,

：.S=CDBC-EHEF=x-2^i-b\x+b-3a),

艮|JS=2cix-bx-b2+3ab=(2a-b)x-b2+3ab,

又・・・s为定值，

/.2«-Z?=0,即〃=2a.

【点睛】本题主要考查图形面积与整式运算的综合，掌握整式混合运算法则是解题的关键.

【考点4］平方差公式运算及其几何问题

31.下列各式中，不能运用平方差公式计算的是()

A.(2x-l)(-l+2x)B.(ab-\)(ab+\)C.(-2x->')(2x--y)D.(-a+5)(-a-5)

【答案】A

【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可.

2

【详解】解：A.(2A-1)(-1+2X)=(2,V-1)(2X-1)=(2A-1),故该选项符合题意；

B、(必-1)(而+1)=」加-1,故该选项不符合题意；

C、(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=y2-4.r2,故该选项不符合题意；

2

D、(-a+5)(-a-5)=a-25f故该选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了平方差公式，掌握(。+〃)(。-〃)=片-/是解题的关键.

32.如图I,在边长为。的正方形中剪去一个边长为人的小正方形m>方)，把剩下部分拼成一

个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验证的公式是()

B.ci1—b'=(a+b)(a—b)

C.(«+b)2=a2+lab+b2D.(a-by=a2-2ah+b2

【答案】B

【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得

右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答.

【详解】解：左图中阴影部分的面积是/一从，右图中梯形的面积是

/.a2-b2=(a+b)((i-b).

故选：B.

【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示.注意运用不同方法表示阴影部分面积是

解题的关键.

33.如图在边长为〃的正方形中挖掉一个边长为力的小正方形把余下的部分前拼成

一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是()

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a~+2ab+b~

C.(tz-/?)2=a2-2ab+b2D.a2-ab=a(a-b)

【答案】A

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小E方形剩下

的部分面积为。2一从；因为拼成的长方形的长为小明宽为(〃-。)，根据“长方形的面积=长乂宽”

代入为：(a+b)x(a-b),因为面积相等,进而得出结论.

【详解】解；由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为/-人;

拼成的长方形的面积：(，+〃)x(a-〃)，

22

所以得出：a-b=(a+b)(a-b)f

故选：A.

【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面

积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论.

34.己知〃+b=2,a-b=3.则次-乂的值为.

【答案】6

【分析】根据平方差公式即可求出答案.

【详解】解：当a+b=2,a岳3时,

a2-b2=(a+b)(〃-/?)=2x3=6.

故选：6.

【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型.

35.己知加2一〃2=20,m+n=5,则机-〃=.

【答案】4

【分析】根据(〃?+〃)(m-〃)=阳2-〃2,再把加一,/=20,〃?+〃=5,代入求解即可.

【详解】解：Vm2-n2=20,m+n=5,

十〃)("[-〃)=*-n2,即5(m-n)=20,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

36.如图1,边长为。的大正方形中有一个边长为人的小正方形，把图1中的阴影部分拼成

一个长方形(如图2所示).

图1图2

⑴上述操作能验证的等式是_____；(请选择正确的选项)

A.a2-b2=(a+b)(a-b)；B.a'-2ab+b2=(a-b)^；C.a2^-ab=a(a+b)

⑵请利用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①已知4/一/=24,2。+6=6,则2。一/?=.

②计算：卜例…

【答窠】⑴A

⑵①4；②益

【分析】(1)根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；

(2)①根据平方差公式，4屋■/二(2a+b)(2〃/)，已知2户/尸6代入即可求出答案;

②先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案.

【详解】(1)解：图1阴影部分的面积为：//2,

图2阴影部分的面积为：(a+b)(a-b),

•・•图1和图2阴影部分面枳相等，

a2-b2=Qa+b)(a-b),

故选：A；

(2)解：①・・・4屋・岳二24,

(2a+b)(2a-b)=24,

*.*2a+b=6,

2a-b=4f

=1x11

21()

11

=20.

【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用

是解题的关键.

37.乘法公式的探究及应用.

图1图2

⑴如图1,是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是「如图2,阴影部

分的面积是「比较图1,图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式」

⑵运用你所得到的公式，计算下列各题

①103x97；

②(2x+y—3)(2x—y+3).

【答案】⑴；(«+/?)(«-/?)=6/2-b2

⑵①9991；②4x2-./+6y-9

【分析】(1)由拼图可知，图形1的长为(a+b),宽为—面积为(〃+〃)(.6)；图形

2的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即/一从，图形变换前后面积没有发生改变，根

据面积相等，可得答案.

(2)①通过观察分析，可得103=100+3,97=100-3,可以利用平方差公式进行计算；②找两

个括号中相同的项和互为相反数的项，把它们分别组合到一起，把)，・3看成一个整体，符合

平方差公式的结构特征，也可以利用平方差公式进行计算.

【详解】(1)(。+粗加〃)；a2-b2;(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)©103x97=(100+3)x(100-3)=1002-32=10000-9=9991；

②(2x+y-3)(2x-y+3)=[2x+(y-3)][2x-()，-3)]

2222

=_3『=4X-(y-6y+9)=4x-y+6y-9

【点睛】本题考查乘法公式中的平方差公式的几何背景和平方差公式的应用，掌握图形中各

部分面积之间的关系以及用代数式表示各部分面积是正确解答第(1)问的关键，准确把握平

方差公式的结构特征，对式子进行变形是解第(2)问的关键.

【考点5]完全平方公式运算及其几何问题

38.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是()

(a-b')2=a2-2ab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(ab)2=a2b2

【答案】A

【分析】根据大正方形的面积二边长为。的正方形的面积+两个长为小宽为力的长方形的面

积+边长为的正方形的面积，即可解答.

【详解】根据题意得：（。十与2二屋+2而+岳，

故选：A.

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关

键.

39.如图，从边长为（。+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（。+1）cm的正方形（）,

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）

A.(2«2+5«)cm2B.(M+15)cm?C.(6«+9)cm2D.(6。+15兄e2

【答案】D

【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算.

【详解】解：矩形的面积为：

Q+4）2—（。+1）2

=（/+8。+16）—（次+2。+1）

=a2+8tz+\6—a2—2a—1

=6a+15.

故选：D.

40.若。」=5,则/+二的结果是（）

aa

A.23B.25C.27D.29

【答案】C

【分析】将，=5左右两边进行平方运算，然后化简求值即可.

a

【详解】解：..,」=5,

a

••a——=25,H[J6/2+-y—2=25,

kCl)「

.・.fl2+4-=27,

故选：c.

【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

41.已知I(x—2021)2+(x—2023)2=50,则(x—2022)2的值为()

A.24B.23C.22D.无法确定

【答案】A

【分析】先变形为[(x-2022)+1]2+[(x-2022)-1产=析,然后利用完全平方公式展开即可得到

(x-2022)2的值.

【详解】解：V(x-2021)2+(x-2023)2=50,

：.[(x-2022)+1]2+[(x-2022)-1]2=50,

・・・(x-2022)2+2(x-2022)+1+(x-2022)2-2(x-2022)+1=50,

・・・(x-2022)2=24.

故选：A.

【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形.

42.已知d-日+16是完全平方式，则#=.

【答案】±8

【分析】根据完全平方公式得出结论即可.

【详解】解：・.-2一日+16是完全平方式，

/.J216=(x±4)2=X2±8X+16,

-k=±8,

/.A=±8,

故答案为：±8.

【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

43.已知。=7-38,则代数式a?+6他+9/?2的值为.

【答案】49

【分析】先将条件的式子转换成“卜367,再平方即可求出代数式的值.

【详解】解：•・•。=7-劝,

•Ia+3b=7,

a2+6碗+9〃2=(a+3〃)2=72=49,

故答案为:49.

【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换.

44.如图1是长为4a,宽为/）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用

四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.

b

图1图2

⑴观察图2,请你写出（。+村、曲之间的等量关系是______；

⑵根据（1）中的结论，若犬+5=5,-o*=p求（工-犷的值；

⑶拓展应用：若（2021-〃?）2+（〃］一2022）2=7,求（2021-〃川m-2022）的值

【答案】(\)(a+b)2=(a-b)2+4ab

⑵16

（3）-3

【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，

分别用含a和〃的代数式表示可得出答案；

（2）由（1）可得出（厂），）2=。+）,）2-4D，即可得出答案；

（3）由［（2021—加）+（机—2022）］2=（2021-团）2+（加—2022）2+2（2021-团）（优—2022）,

即可求解.

【