第4章 相似三角形 单元检测题 （含解析）

2023-2024浙教版九年级上数学单元检测

（测试内容：相似三角形全章）

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列各组线段中，成比例线段的是（)

A.I,2,4,8B.2,6,4,8C.1,2,3,4D.3,4,5,6

2.若富,则孚的值为（）

23h

C.-D.2

3.如图，已知AB〃CD〃EF,BC:CE=3:4,A产=21,那么。尸的长为（）

8c的值是（）

5.如图，/XABC与△。£尸位似，位似中心为点。.若△46C的周长与△£>"的周长比

4

为g,则的值为（）

A.2:3B.2:5C.4:9D.4:5

6.如图，点。在△ABC边A8上，ZACD=NB,点/是△A8C的角平分线AE与CO

的交点，且A/=2所，则下列选项中不正确的是（）

7.如图，点尸在平行四边形ABCO的边上，延长肺交。力的延长线于点E,交AC于

点。，若登V，则笔的值为（）

'△CQEyDk

A.（）.8B.1.25C.2D.0.5

8.在大小为4x4的正方形网格中，下列四个选项中的三角形，与下图所示的三角形相

似的是（）

9.如图是物体A3在焦距为〃cm（即0E=0"=况m）的凸透镜下成倒立放大实像的光

路示意图.从点A发出的平行于B。的光束折射后经过右焦点尸，而经过光心。点的

光束不改变方向，最后A点发出的光汇聚于点C,8点发出的光汇聚于点。，从而得

到最清啦的实像.若物距O8=Am,则像距。。为（）cm.

（第9题）（第10题）

10.如图，。是等边△ABC边A8上的一点，且A。：DB=2：3,现将AABC折叠，使

点。与。重合，折痕为EF,点、E,F分别在AC和8c上，则CE：CF=（）

76

BcD.

8-?-i7

二、填空题（每题4分，共32分）

11.己知线段a=lcm,Z?=4cm,线段c是〃、b的比例中项，则c=cm.

“.△ABC和△A'B'C'中，ZA=60°,Zfi=40°,ZA'=60。，当NC=时,

^ABC^A'B'C.

13.为了测量直立在水平地面上的旗杆43的高度，把标杆QE直立在同一水平地面上（如

图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别BC=8.72m,EF=2.18m.已知

B,C,E,尸在同一直线上，ABLBC,DELEF,Z）£=2.47m,贝1」48=m.

14.有一张矩形纸片A3CQ如图所示，点N在边AO上，现将矩形折叠，折痕为BN,点

A对应的点记为点加，若点"恰好落在边。。上，则图中与△NQM一定相似的三角

形是.

（第13题）（第14题）（第15题）

15.一个等腰三角形，其底与腰的长度比为近二1,这样的三角形称为黄金三角形.如图，

2

△4BC是黄金三角形，AB=AC=\0,AB>BC,则8C的长为.（保留根号）

16.如图，三角形纸片48c中，AC=6,BC=9,分别沿与3C,AC平行的方向，从靠

近4的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是.

17.如图，在平行四边形48co中，£是线段AB上一点，连结AC、DE交于点、F.若

AE2

则

~EBS4AEF

18.如图，在边长为6的等边△ABC中，点七、。、尸分别在边A&BC、AC上,

三、解答题（38分）

19.（6分）已知AAbC的三边长为。、b、c,且a：/?：c=5：12：13,若a=10cm,求

△4BC的周长和面积

20.（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1,当三角形的三个顶点都在

正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.

⑴如图I,请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，旦所画三角形与原三角形的

相似比为正：1.

（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边,并写出所画三角形与

原三角形相似比.相似比为：

21.（8分）如图，在中，ZACT=90°,CO是边A3上的高.

（1）写出图中所有的相似三角形.并给予证明.

⑵若AC=3,BC=4,求AO的长.

22.（8分）如图，矩形A8CO中，AB=3,BO4,点E在A。上，BE与AC交于点F.

（1）ACA.BE,求AE的长；

（2）设△OE广和△QCF的面枳分别为S和S2,当AE;加时，求Si：S2；

（3）当AE的长是多少时，△OC〃是等腰三角形？

EDDD

备用图1备用图2

23.（10分）如图，在：。中，直径人4垂直弦C。于点£,连接4。,八。,8。，作。/_1,4。

于点尸，交线段OB于点G（不与点0,4重合），连接OF.

⑴若班：=1,求GE的长.

（2）求证：BC2=BGBO.

（3）若。=AG,猜想NC4。的度数，并证明你的结论.

参考答案：

I.A

【分析】计算线段的比值，若比值相等则是成比例线段.

【详解】解：A、1:2=4:8,故成比例线段；

B、2:6。4:8,故不成比例线段；

C、1:2*3:4,故不成比洌线段；

D、3:4工5:6,故不成比例线段；

故选：A.

【点睛】木题考查了成比例线段，若在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条

线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，即一组线段从c、d,若

有a：b=c:d,这四条线段成比例线段，这是解题关键.

2.C

【分析】求出：设〃=2攵，b=3k,再求出答案即可.

b3

【详解】解：.,,?二?，

23

a2

二.—,

b3

设a=20b=3k,

...-a-+--b=-2-k--+-3-k=-5-k=—5,

b3k3k3

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果

cut=be,那么f=二.

ba

3.B

【分析】根据平行线分线段成比例求解即可.

【详解】解：・・・A8〃CD〃M,

.BCAD

••=9

CEDF

VBC:CE=3:4,4尸=21,

.321-DF

••一，

4DF

解得

故选：B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理中的对应线

段是解答的关键.

4.D

【分析】根据平行可判定两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：・・・0E〃BC,

ZADE=ZB,ZAEC=ZC,

/.AADE^ABC,

.DE2

••=—,

BC5

・•・根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即沁=住［=4,

3A46c15/25

故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三比形的判定和性质是解题的关键.

5.C

【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解.

【详解】解：•・•这两个位似三角形的周长比为1,

：.OA:OD=4:9,

故选：C.

【点睛】本题考查了位似和相似三角形的性质，牢记位似中心到对应点所连的线段比等于相

似比是解题关键.

6.D

【分析】证明必8s6ABC,得出黑喑=等喋，利用所判断选项A、C,

ACBCABAE

CFAC2

证明得出==判断选项B,分别用A%表示出AO和50,判断选项

BEAB3

D,即可得出结论.

【详解】ZACD=/B,ZCAB=ZCAB,

ACD^iABC

ADDCACAF

~AC~~BC~~AB~~AEy

4尸+石尸=4石且4/=2后尸，

-AF=AE,

2

Ab2

~AE~3

.ADDCACAF2

故选项A、C正确;

22

/.AC=-AB,AD=-AC,

33

4

/.AD=-AB

9t

•.AD+BD=AB,

45

BD=AB-AD=AB——AB=-AB,

99

•丽=玉:丁故选项D错误;

9

.•人石平分/84C,

•1-4BAE=CAE,

丁ZACD=N8,

:0CFSMBE,

CFAC?

•'•芸=黑=3,故选项B正确；

BEAB3

故选：D.

【点睛】本题考查相似三侑形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

7.B

【分析】先根据勾股定理算出已知三角形的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与选项

中三角形各边是否与已知三角形三边形成比例，得出答案.

【详解】解：根据勾股定理得，题目中三角形三边长分别为：

>/22+22=2V2，

x/12+32=V10»

选项A中，三角形三边长分别是2,M，3日与己知三角形三边不成比例，故A逐项

不正确.

选项B中，三角形三边长分别是2,4,而，与已知三角形成比例，比例为根据三

边成比例的两个三角形相似，故B选项正确.

选项C中，三角形三边长分别是2,3,屈,与已知三角形三边不成比例，故C选项不正

确.

选项D中，三角形三边长分别是石，4,与已知三角形三边不成比例，故D选项不

正确.

故答案选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相

似是解决问题的关键.

8.C

9.D

【分析】由题意可得A8〃OG〃CO,AB=OG,易推出，A8*CDO,G/。。.CDO,

根据相似三角形的性质及A3=OG得黑=空=空=空，设。尸=mm,贝IJ

CDCDODDF

OO=(x+〃)cm,列出关于x的分式方程，解方程即可.

【详解】解：由题意得：AB//OG//CD,AB=OG,

ZABO=NGOF=NCDO,ZAOB=4COD,NGFO=NCDF,

.jABOsCDO,GFO^CDO,

,ABOBOGOF

"CD-OZ)*CD-DF1

AB=OG,

.AB-OG-OB-OF

…而一而一而一而‘

设DF=xcm,则OD=(x+a)cm,

ba

••=~,

x+ax

解得：x=—,

b-a

经检验x=，二为原分式方程的解，

b-a

八八a2a2+ab-a2ab

/.OD=x+a=-----+〃=---------------=------,

b-ab-ab-a

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，分式方程，熟练掌握知识点并灵活运用是解

题的关键.

10.A

【分析】依据翻折变换的性质得到DE=CE、CF=DF；设AD=2k,则DB=3k；根据相似

二角形的判定与性质即可髀决问题.

【详解】解:设AD=2k,则DB=3k,

VAABC为等边三角形，

，AB=AC=5k,NA=/B=NC=NEDF=60。，

/.ZEDA+ZFDB=120°,

又NEDA+NAED=120。，

・・・NFDB=NAED,

.,.△AED^ABDF,

由折叠得CE=DE,CF=DF,

•••△AED的周长为7k,ABDF的周长为8k,

•••△AED与△BDF的相似比为7：8,

ACE：CF=DE：DF=7：8.

故选:A.

C

【点睛】主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三

角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度.

11.2

【分析】由c是〃、〃的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长,

注意线段不能为负.

【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段

的乘积，

:.c2=4x1,

解得：c=2或c=-2(线段长度是正数，负值舍去)，

:.c=2(cm).

故答案为：2.

【点睛】本题考查比例线段，注意线段长度不能是负数.理解比例中项的概念是解题的关键.

12.80。.

【分析】利用两对对应角相等的三角形相似判定即可.

【详解】解：・.・NA=60。，ZB=40°,

.,.ZC=180o-60°-40o=80°,

'：乙A'=/A=60。，

・••当NC'=NC=80。时，△ABCs/XA'B'C'.

故答案为:80。.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是了解相似三角形的判定方法.

13.9.88

【分析】根据平行投影得AC〃O£可得尸£证明RAABCs然后

利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：•・•同一时刻则得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是〃C=8.72m,£F=2.18m.

：,AC//DF,

/.ZACB=ZDFE,

*：ABLBC,DE1EF,

JZABC=ZDEF=9Q°,

:・R小ABCsRmDEF,

.ABBCAB8.72

..---=---,即nn----=----,

DEEF2.472.18

解得AB=9.88,

；・旗杆的高度为9.88m.

故答案为:9.88.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投

影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.证明心△人8cs/XR/△。石尸是解题

的关键.

14.AA/C4

【分析】由矩形的性质得乙4=NO=NC=90。，从而得到N0NM+NDMN=9O。，由折叠的

性质可得：NBMN=ZA=90。,从而得到NDNM=NBMC,由此推断出&NOMS_A/(».

【详解】解：四边形A8CO是矩形，

.\ZA=ZD=ZC=90p,

NDNM+NDMN=90°,

由折叠的性质可得：N8MN=NA=90。，

NNMD+NBMN+NBMC=180°,

;.ZNMD+/BMC=90。，

/DNM=/BMC,

:』NDMs一MCB,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性

质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键.

15.5>/5—5/—5+55/5

【分析】直接根据黄金三角形的定义求解即可.

【详解】解：•・•.A8C是黄金三角形，AB=AC=10,AB>BC,

.BCx/5-1

•.---=------,

AB2

，BC=^^xAB=^^xlO=5布-5,

22

故答案为：56-5.

【点睛】本题主要考查了黄金三角形的定义应用，熟练掌握黄金三角形的定义是解答本题的

关键.

16.14

【分析】由平行四边形的性质推出。尸〃8C,DE//AC,得到4AS&A8C,

△BDESABAC,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：如图，由题意得当=:，四边形。比才是平行四边形，

AB3

DF//BC,DE//ACt

ADF^^ABC,ABDE,

.DFAD\DEBD_2

••正一瓦一晨~AC~~AB~31

VAC=6,BC=9,

:•DF=3,DE=4,

•・•四边形。比尸平行四边形，

・••平行四边形。比户纸片的周长是2(3+4)=14,

故答案为：14.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

【分析】四边形A8C。是平行四边形，则A8=CDA8CD,可证明3E4尸尸，得到

DFCDAB.AE2...….一但石公4

—=—=77*由后=1进.步即可得到答案•

ErAEAE3

【详解】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

/.AB=CD,ABCD,

ANAEF=ZCDF,AEAF=/DCF,

:・.EAFs.DCF,

.DFCDAB

••百一版―

..AE2

.---=—,

EB3

.AB5

**AE-2*

.S^ADF_DF_48_5

故答案为：!

J

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明

EAFsOCT7是解题的关键.

18.5/3

19.周长60,面积120

20.(1)解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为1,夜，石，

所画三角形与原三角形的相似比为夜:1，则所画三角形的各边长分别为拉、2、M，如

下图所示

(2)解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2,2a，26，

有一个边为公共边，假设公共边为2,并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为2拉

边相对应，此时相似比为1：夜，

则所画三角形的各边长为2,而,如下图所示：

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角

形的判定和性质.

21.(1)AABC-△DBA-ADAC(证明略)

⑵解：\ZACB=90°,AC=4,8C=3,

根据勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=5,

•；S=-xACBC=->ABCD,

・八Anr22

:.ACBC=ABCD,

3把匹上，

AB5

22.(I)•.•四边形ABCD是矩形；

•)△ABE是直角三角形；

又,.,ACJ_8E,

/.ZAFB=90°,

ZABE+ZAEB=ZABE+ZBAC=90°.

AZAEB=ZBAC

:♦XABCXEAB、

.ABBC

=-,EA=-.

FA34

(2)

过F作BC,AD的垂线，长度分别为hl和h2,

VAAEF^ACBF,

.hlm

*/hl+h2=3,

/.h\=—，力2=3-

777+46+4

XVAAGF^ACBA,

.AG_h\

''~BC=~AB

・“16

•.Ab=--------.

777+4

777+4

64

ASi：S2=^—^xl2x-!-：f9-—^-1X3X1=(-

加十42ym+4j2m+4m+4

S।：S2=m(4-m):16

Q

(3)本题分三种情况：①当CD=CF=3时，AF=2,由(1)得AE:BC=AF:FC,.\AE=-；

②当DF二CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，・,.AE=4；

97

③当DF二CD=3时，作DM_LAC于G,则CM=FM=-,AF=一，

55

14

由(1)得AE:BC二AF:FC,AAE=—

综上，AE=g、4、蒋

JJ

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理，添加合适的辅助线是解题的关键.

23.(1)1

(2)见解析

⑶NC4O=45。，证明见解析

【分析】(1)由垂径定理可得NAED=90。，结合b_L4O可得ND4E=NR7O,根据圆周

角定理可得NDAE=NACD,进而可得N4CO=NR?。，通过证明-BCE可得

GE=BE=\；

(2)证明ASCbs二CE8,根据对应边成比例可得依y=再根据A8=28O,

BE=^BG,可证8c2=8G8O；

(3)设NZME=NC4E=a,4FOG=4FGO=。，可正。=90。一〃，ZOCF=90°-3tz,

通过