现代数字信号处理-使用MATLAB分析与实现（新形态版）习题及答案 第1章课后题答案

1-1已知系统H(z)的单位采样响应h(n)=5(n)-^5(71-2),试判断该系统有无

逆系统。如有，求其逆系统的单位采样响应。

解：

H(z)=1-1z-2

因果离散时间LTI系统存在稳定因果逆系统的充分必要条件是：〃(z)的所有零

点(极点)必须在单位圆内(最小相位系统)

零点：

1——z-2=0=>z-2=2=>z2=—

22

1

z=士正

两个零点都在单位圆内，因此系统为最小相位系统，存在因果稳定的逆系统。

逆系统G(z)=会

1;z七1

G(z)=-------=—

1-2-22J_11-1-2

Z2127Z

其单位采样响应为：

g(，)=](}%,n>0且n为偶数

其他

或写为：

95)=£号0(y的一2k)

1-2一个线性移不变系统的传输函数为“(Z)=言p其中⑷<1。

(1)试求实现这个系统的差分方程。

(2)试证明这个系统是一个全通系统。

(3)H(z)和另一个系统G(z)级联后，整个系统函数为1,如果G(z)是一个稳定

系统，试求其单位采样响应gS)。

解：(1)

二丫⑶二z一1一。.

"()一X(z)一l-az-1

r(z)(l-az-ly)=X(z)(z-】-a*)

y(n)—ay(n-1)=x(n-1)-a*x(n)

因此差分方程为:

y(n)=ay(n-1)4-x(n-1)-a*x(n)

(2)

斤（*）=------

分子项：

|e-^-Q*|=卜一心（1-Q*>3）|=|I-/〃叫

并且对任意复数夕有

\1-p\=\1-p\=|1-/?|

取B=a*eW得|1-优/勺=|1-ae-^\

因此频率响应分子等于分母，等于1,得证。

(3)

〃(z)G(z)=1

11—az-1z(l—az-1)z—a

（一（1一|a|2a

9（几）=]~a,n=0

（0,n>1

1-3证明如下三个系统具有相同的幅频响应，并判断哪一个是最小相位系统，哪

一个是最大相位系统，哪一个是混合相位系统。

(1-)2(]一0.5"叫T)2

"z)=

1-O.81Z-2

(1一)(1一0.5035-1)(0.5-卬3一口)(。5/陋3一Z-I)

“2（Z）=

1-O.81Z-2

(0.5d，3_zT)2(0.5eT,3_zT)2

“3(z)=

1-O.81Z-2

解:

(1-0.5e严/3ZT)2(]0.5e-，73z-1)2

匕(Z)=

1-0.81Z-2

(1-0.5e，%zT)(l-O.5e-严/3z-1)(0.5e-产介-z一])(0.5e严A-z-1)

也⑵=1-0.81z-2

(0.5ey7r/3-z-^CO.Se-^-z-1)2

“3⑵二

1-0.81Z-2

三个系统的幅频响应相同，因为它们的零极点模乘积比例相同

最小相位系统：所有零点在单位圆内="i(z)

最大相位系统：所有零点在单位圆外=43(Z)

混合相位系统：零点在单位圆内外都有=，2(Z)

1-4假设H(z)和G(z)是有理函数，且是最小相位的，试问下面哪个滤波器是最小

相位的：

(1)H(z)G(z)(2)H⑵+G(z)

解：(1)己知H(z)和G(z)是最小相位系统，即它们所有零点和极点都在单位圆

内

零极点分布：

H(z)G(z)的冬点是"和G的奏点集合的并，极点也是两者极点集合的并。

因为H和G的所有零极点都在单位圆内，所以H(z)G(z)的所有零极点也在单，立圆

内。

因果稳定性：

若，和G均因果稳定，则H(z)G(z)也是因果稳定(极点均在圆内)。

因此H(z)G(z)仍然是最小相位系统。

(2)两个最小相位系统的和不一定是最小相位，因为零点会发生变化，可能出

现在单位圆外。

1-5一个因果线性移不变系统的传输函数为H(z)=试求“(z)

的形如H(Z)=Hm(Z)"ap(Z)的因式分解，其中Hm(z)是最小相位的，”即储)是

全通滤波器。

解：

,、(1-V2z_1)(l+V2z_1)(l+0.4zT)

H&)=-----------1-0.85Z-1-----------------

H(z)=0-低-1)(1+伍T)(l+0.4Z-1)

所有零点在网内

z-1-1/V2z-1+1/V21

(1(1/A②z-i)(1I(1/伪z-i)1-0.85Z-1

'全通'部分

『6试用初值定理证明，如果/i〃,(n)是最小相位序列，且h(〃)是具有相同傅里叶

变换幅值的因果序列，则有IMO)|v儿“(0)。

解：

设九”(九)是最小相位因果序列，八(九)是与之具有相同傅里叶变换幅值的因果序列。

则它们的Z变换之间只相差一个全通函数从口白)，即

H(Z)=Hm(Z)"ap(Z)

由初值定理(对因果序列)：

h,„(0)=lim”m(z),h(0)=limH(z)

ZT8ZT8

设最小相位系统函数为

nNi(i—。展一1)

小)=K相」"同<1，刃VI

当ZT8时，Z-10,因此

limH(z)=K=hW

ZT8mm

取K>0(可通过相位适当选择使九〃,(0)为正，不影响幅频特性。

全通函数为

占z-i-*

“(Z)=1]：告,\pk\<1

hlPkz

当Z->00时，

z~1-pj

lim-------------1-=-pt

zt81—pkz

于是

LL

JimHap(z)=口(-pj)=c,\c\=Y[\Pk\

k=lk=l

因为\Pk\<1(若\pk\=1则对应纯时延或单位圆上的零点，不改变最小相位性

质，这种情况不属于与%不同的情形)，所以。

于是

h(0)=limH(z)=JlimH7n(z)j•"粤"即⑵]=%(())•c

取绝对值：

I九(0)1=%(0)|・Icl

由于|c|V1且%(0)>0,

1M0)1V|%(o)|

1-7表1.7.1所列的所有系统都是同态系统，已知其输入运算，试确定其输出运

算。

表1.7.1题1-7表

序

号系统变换T[x(n)]输入运算

1y(n)=T[x(n)]=2x(n)加法

2y(n)=T[x(ri)]=xl(n)x2(n)乘法

co

3x(z)=T[x(n)]=Wx(n)z-n加法

n=-00

co

4x(z)=T[x(n)]=W^(n)z-n卷积

n=-8

8

5x(z)=T[x(n)]=W%(九)之一"乘法

n=-8

6y(n)=T[x(n)]=x2(n)乘法

7y(n)=T[x(n)]=|x(n)|乘法

8y(n)=e#(n)加法

9y(n)=e"(n)乘法

解：⑴

输入加法:%1(几)+%2(九)

输出：2%(n)+x2(n)]=2%(ri)+2x2(n)=y1(n)+y2(n)

所以输出运输也是加法。

(2)

T[%i(n)・x2(ri)]=2x1(ri)x2(n)

而・T[x2(n)]=(2%!(n))-(2x2(n))=4x1(n)x2(n)

不相等，所以不是输入乘法。

(3)

x(n)=x1(n)+x2(n)

Z[%i+x2]=Z[xx]+Z[x2]

输出运算：加法(在频域上，两个z变换的加法)。

(4)

Z[—(n)*x2(n)]=Xi(n)X2(n)

所以输出运算是乘法。

(5)

时域乘法TZ域复卷积(不是普通乘法)：

zbiGDMOi)]=看彳乂10)刀2(5

所以输出运算：复卷积(循环卷积)。

(6)

检查：

2

T[%i(n)-x2(n)]=[%i(n)x2(n)]

T[%i(n)]•T[x2(n)]=―—九)

两者相等，所以输出运输也是乘法。

(7)

取绝对值：

T[x1(n)-x2(n)]=|xi(n)x2(n)|=|x1(n)||x2(n)|

T[%i(n)]-T[x2(n)]=|%i(n)|•\x2(n)\

相等，所以输出运算是乘法。

(8)

n+x

T%5)+X2(n)]=e^()2(n)=ex1(n)ex2(n)

T[%i(n)]-T[x2(n)]=短式％M6)

所以输出运算：乘法。

(9)

T[%i(n),%z(n)]—gxi(n)ex2(n)

xxn

T[%1(n)]•T[x2(n)]=e^e^>=回⑺+必⑺

与e"Q)e皿5)不相等，所以不是乘法输出。

通常表述为：输出运算是对数域的乘法映射回原始域的运算，简称为幕运算(⑥)

使得a®b=exp(lna-lnb)o

序号系统变换7口(n)]输入运算输出运算

1y(n)=T[x(n)]=2x(n)加法加法

y(ri)=T[x(n)]

2乘法与第一行相同，应为加法

=xl(n)x2(n)

%(z)=r[x(n)]

oo

3=Wx(ri)z~n加法加法

n=-8

x(z)=T[x(ri)]

co

4=WX(7l)zf卷积乘法

n=-8

%(z)=r[x(n)]

co

5=Wx(n)z~n乘法复卷积(或圆周卷积)

n=-8

6y(n)=T[x(ri)]=x2(n)乘法乘法

7y(n)=T[x(n)]=|x(n)|乘法乘法

8y(n)=加法乘法

对数域乘法(即软303=

9y(n)=e*(n)乘法

exp(lna-Inb))

1-8考虑通信系统中的信道均衡场景，接收信号[(〃尸h(〃)*s(〃)+y(〃)，其中h(〃)

为未知信道脉冲响应，】，(〃)为加性高斯白噪声。建立基于二阶统计量的盲反卷积

数学模型，设计LMS自适应反卷积滤波器，写出迭代公式并分析步长因子N对

收敛速度的影响。

解：

(1)数学模型

基于二阶统计量的盲反卷积，接收信号：

y(n)=h(ri)*s(n)+v(n)

其中(n)为独立信号，/i(n)为未知FIR信道，火几)为高斯白噪声。利用自相关Ay(T)

建立Yule-Walker方程，可辨识九(九)(存在幅度与延迟模糊)。

(2)LMS自适应反卷积滤波器设计

滤波器输出：

M

T

s(n):£o)m(n)y(n—m)=a)(n')Y(n')

n=0

其中3(n)为均衡器系数,Y(n)=[y(ri),y(n-l),...,y(n-M)]To

恒模准则(CMA)：

代价函数：

2

/3)=F[(|s(n)|-&)2],R2=

瞬时梯度下降(LMS型更新)：

2

a)(n+1)=co(n)-〃•(s(n)-7?2)-s(n)-V(n)

(3)迭代公式

滤波：s(n)=a)T(N)Y(n)

2

误差：e(n)=s(n)(s(n)-/?2)

更新:co(n+1)=3(n)-〃e(n)y(n)

(4)步长u的影响

收敛速度：

时间常数Toc1/(〃儿四)，增大〃可加快收敛。

稳定性：

需满足V'，2(近似条件)。

M^max(^xr)

稳态失调：

失调量Ms.oc〃平越小稳态误差越小，但收敛越慢。

1-9已知卷积同态系统的输入x(〃)=<5(〃)，求其输出

解：

卷积同态系统的一般结构为：

y(n)=D-qD*[%(n)]]]

其中

2为特征系统:时域卷积一频域加法(通过Z变换取复对数实现)。

L为线性系统(对复倒谱序列进行处理)。

。「为逆特征系统:频域加法一时域卷积(通过取指数再逆Z变换实现)。

当x(n)=6(n)时,有: