第4章 三角形 小结与评价 教学设计-2026-2027学年湘教版八年级数学上册

第4章三角形小结与评价教学设计

第4章三角形个

课题单元第4单元学科数学年级八年级上册

结与评价

1.掌握三角形及有关概念，会表示三角形及各部分名称；

2.掌握三角形的三边关系，内角和定理及推论；

3.掌握全等三角形的性质和判定方法及其应用；

教学目标4.掌握等腰三角形的性质却判定方法及其运用；

5.掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；

6.掌握基础作图,能尺规规范地作出三角形；

7.系统化知识要点，熟悉题型,提高综合应用能力。

教学重点1.三角形的三边关系，内角和定理及推论的运用；

2全.等三角形的性质和判定的应用；

3等.腰（等边）三角形的性质和判定方法的应用。

教学难点1等.腰（等边）三角形与全等三角形的综合应用；

2.需两次证明三角形全等、作辅助线证明三角形全等求线段和角的问题。

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

工边关京

任奇三篇给引导学生回顾本

内•定配

学生与教师一章知识点，使学

仝•等三n电4-Q_科定

三篇给

4_起回顾本章的生系统地了解本

■f---------X

知识图谱与一用毒的£化-rT~

二-等.（边）三癖附T

V1■4内容。章知识及它们之

及妮作0!

▲♦黑定京•赤论、反证法间的关系.

保♦超学反制

互逆命名

1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角

形的内角和定理？

三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和大于第三边.

思考回顾三角形的任意两边之差小于第三边.

A

BA+AC>BC----►BA>BC-AC

CB+BA>CA----►CB>CA-BA\

通过问题，让学

AC\CB>AB----^AOAB-CBB

生回忆三角形这

三角形内角和定理：

学生思考回答章的重点内容，

三角形的内角和等于180。.教师提出的问检查学生对知识

如图，NA+NB+NC=180°.题。点的掌握程度，

A及时发现问题，

查漏补缺。

BzxC

2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还

是假命题？

叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要

么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是

一个命题.

如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命

题；

如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命

题.

例命题：对顶角相等

真命题：直角三角形有一个角等于90°

假命题：同位角相等

3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命

题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样

的？

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别

是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题

称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫

作它的逆命题.

例互逆命题：

两直线平行，同位角相等。

同位角相等，两直线平行。

原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.

例若两数相等，则它们的绝对值也相等；（原

命题是真命题）

绝对•值相等的两个数相等。（逆命题是假命题）

反证法的基本思路：

（1）假设命题不成立；

（2）导出矛盾；

（3）肯定结论.

4.如何判定两个三角形全等？全等三角形有哪

些性质？

判定两个三角形全等

⑴如果两个三角形的三条边和三个角分别刈应相

等，那么这两人三角形全等.

（2）全等三角形的判定定理（边角边）：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.

（3）全等三角形的判定定理（角边角）：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

（4）全等三角形的判定定理（角角边）：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个

三角形全等.

（5）全等三角形的判定定理（边边边）：

三边分别相等的两个三角形全等.

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰

三角形的判定定理？等边三角形呢？

等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等

角”），底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简

称“三线合一”）.

应用格式：

'：AB=AC,A/XLBC,

：.BD=CD,（三线合一）

A

B1）”

线的性质定理和它的逆定理分别是什么？

线段的垂直平分线：

垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂

直平分线（或中垂线）.图中，直线/就是线段

PP'的垂直平分线.

X

线段的垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

用几何语言表示为：

•・•CA=CB,11AB,

（点P在线段AB的垂直平分线上）

:.PA=PB.

线段垂宜平分线的性质定理的逆定理；

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线

上.

应用格式：

*：PA=PB,

・•・点。在A3的垂直平分线上.

7.举例说明本章学习的几种尺规作图.

（1）已知三边作三角形.

如图，已知线段a,b,c.

求作△ABCBC=a,AC=b,AB=c.

注意事项1.一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居学生与教师一帮助学生梳理二

其一.起总结。角形这章需要重

2.判断一个命题是真的，需要进行证明.难以直点注意的地方，

接证明时，常月反证法.更好的理解知识

3.判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，点。

使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论.

4.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命

题.

5.由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，

因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关

的两个三角形合等.

典例精讲题型一：三角形的概念及边和角的性质

例1

一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边长为

整数，这样的三角形的周长最大值是（C）.

AA\8.12C.13D.\4

例2

如图，在aABC中，乙4=469,zC=74°,平分学生独立解通过典型例题，

乙48c交4C于点。，则乙8OC的度数是（A）答。帮助学生回忆三

A.76°8.81。C.92°0.1040角形的知识点，

A及时发现问题，

巩固本章知识

点，灵活运用本

BC

章知识解决问

例3

题，锻炼学生的

如图，已知△ABC三边的中线AD,BE,CF

解题能力。

交于点G.若SAA8c=12,则图中阴影部分的

面积是一6.

R/）（

题型一：命题与证明

例4

下列命题的逆命题是真命题的是（D）

A.对顶角相等

B.全等三角形的面积相等

C如果〃>0,b>0,那么成>0

。.两直线平行，内错角相等

例5

对假命题“任何-一个角的补角都不小于这个角”

举反例，正确的反例是（C）

4/a=60°/a的补角NB=1200/[>4a

8/a=90°/a的补箱年=90°/P=ia

C/a=100°/a的补角/p=80°/p<乙a

。.两个角互为邻补角

题型三：全等三角形的性质与判定

例6

如图，在四边形ABCD中，NA=90°,AD=

3,BC=5,BD平分/ABC,则^BCD的

面积为（B）

A

小

H（

A.83.7.5

C15。.无法确定

例7

如图，AB=AC,CE与BD交于点M,

=CM,点。，E分别在AC,AB上.

下列结论中：。/B=NC；②A。=AE；

③BE=CD.正确的有①②③.（填序号）

4

例8

如图，在RlAABC中，AB=CB,NABC=

90°,D为AB延长线上一点，点E在BC边

上，且BE=8。，连接AE,DE,DC.

(1)求证：△ABECBD；

(2)若NCAE=30°,求NEDC的度数.

A

上

n

(1)证明：VZABC=90°,

:./CBD=180°-90°=90°.

(AB=CB,

在△ABE和△CBO中，＜^ABE=^CBD,

(BE=BD,

:.4ABE丝△C8。(SAS).

(2)解：VAABE冬ACBD,

:./BCD=/BAE.

AB^CB,ZABC=90°,BE=BD,

：・NBAC=NBED=45°.

VZCAE=30°,

・・・N8AE=45°-30°=15°.

AAEDC=ZBED-/BCD=45°-15°=

30°.

题型四：等腰(边)三角形

例9

直线上依次有A,B.C,D四个点/D=7AB=2,若

AB.BC.CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC

的长为2或2.5.

例10

如图，等边三角形纸片ABC的边长为6,£下是边

8C上的三

题型五:线段的垂直平分线

例12

如图/Q_L8C,BD=CD,点C在AE的垂直平分线

上，若A8=5,8D=3,则BE的长为11.

A

J

BZZ3CE

例13

如图,在等腰三角形ABC中,A8=AC,OE垂直平分

A3,分别交A凡AC于点£,D

A

七

—Ac

(1)若44。七二4。。,求/。8。的度数：

⑵若4ABC与ADBC的周长分别是40cm,24cm,

求AB的长.

解:⑴〈DE垂直平分A氏

・•・ZAED=ZBED=90°,DA=DB,

・•・ZADE=40。，

，ZA=ZABD=50°,

乂・・・AB=AC,

/.ZABC=(180°-50°)+2=65°,

JNDBC=/ABC-/ABD=65o-50°=15°.

(2)VAABC的周长表示为AB+BC+CA,

△DBC的周长表示为BD+BC+CD,

・\(A4+4C+CA)-(8D+3C+CQ)

=AB+BC+CA-BD-BC-CD

=AB+CA-BD-CD

=AB+CA-DA-CD=AB,

'：△ABC与仆DBC的周长分别为40cm.24cm,

/.AB=16cm.

点Q.

在等边△ABC中，