四川省雅安市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

四川省雅安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面向量，，若，则(

)A.-1 B. C.1 D.-42．已知i为虚数单位，则(

)A.-1 B.1 C. D.i3．若α为钝角，，则(

)A. B. C. D.4．已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为(

)A. B. C. D.5．要得到函数的图象，只需将函数的图象(

)A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度6．已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(

)A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7．如图，已知，设，，则(

)A. B. C. D.8．如图，A，B，C，D是圆形公园边界上的四个点，四边形区域为草坪，测得，，.现要扩大草坪面积，但区域内的草坪固定不动，设计者拟在弧上重新选一点，将原来的区域改为区域，那么重新种植后，草坪总面积（四边形的面积）的最大值是(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知向量，为单位向量，，则下列说法正确的是(

)A.与的夹角为 B.C.向量与向量垂直 D.若与共线，则10．如图，在正四棱柱中，，，P为线段上一动点，则下列说法正确的是(

)A.直线与直线无交点B.直线不可能与直线垂直C.三棱锥的外接球的体积为D.点A到平面的距离为11．在锐角中，，，，则(

)A. B.C. D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．________.13．已知在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，，则满足条件的的个数为____________.14．用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A，B，C，将一个球放置在这个框架上（如图），若M是球面上一点，且三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知复数z满足：.(1)求z的虚部；(2)记z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求与夹角的余弦值.16．（15分）如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点.(1)求证：平面；(2)过，D，E三点作正方体的截面，求该截面的面积.17．（15分）已知函数满足下列两个条件：①函数的最大值为2；②函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)求方程在区间上所有解的和.18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)判断的形状；(2)若，，，边上的两条中线，相交于点P，求；(3)若D在边上，E在边上，且，设，求θ的最大值.19．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，N为边中点，连接，平面平面，.(1)求证：平面；(2)若，，.(ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值；(ⅱ)线段上是否存在一点M，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，求出值；若不存在，请说明理由.参考答案1．答案：D2．答案：A3．答案：A4．答案：C5．答案：C6．答案：C7．答案：C8．答案：D9．答案：ABD10．答案：AD11．答案：BCD12．答案：13．答案：214．答案：15．(1)由，得，因此z的虚部为-1；(2)由(1)知，，所以，，，所以，，故.16．(1)证明：连接交于点O，连接，在正方形中，对角线与互相平分，所以O为的中点，在中，因为E为的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面.(2)取的中点F，连接，，，因为E，F分别是，的中点，可得，在正方体中，可得，所以，所以过，D，E三点作正方体的截面为梯形，因为正方体的棱长为4，可得，，，过点F作，可得，所以该截面的面积为.17．(1)由条件①得.由条件②知，则，，故.(2)令()，解得，所以单调递增区间为().(3)，即，，则或()，解得或，，在内解为，，，，其和为.18．(1)由正弦定理得.即，又，，，所以或，①当时，是等腰三角形；②当时，是直角三角形.因此是等腰三角形或直角三角形.(2)若，则，，不满足三角形三边关系，舍去；若，则，，因为点是，边上的两条中线，的交点，所以P为此的重心，且根据重心性质可得，，则.(3)若为等腰三角形，且，在中，由正弦定理得，其中，故，结合得，，整理得，故，由辅助角公式可得，其中，，故，解得，若为直角三角形，即，在中，，即，因此.19．(1)因为为等边三角形，N为边中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面.(2)(i)连接如图所示，由(1)可知平面，则，所以即为直线与平面所成角，因为为等边三角形，，N为的中点，所以，在中，，则，即直线与平面所成角的正弦值为.(ii)取