北师大版九年级数学上册复习专练：配方法的应用

专题03配方法的应用（举一反三专项训练）

【新教材北师大版】

....................................题型归纳|.....................................

【题型1利用配方法求值】.......................................................................1

【题型2单配方比较大小】.......................................................................3

【题型3双配方比较大小】.......................................................................5

【题型4单变量单配方求最值】..................................................................6

【题型5双变量双配方求最值】..................................................................8

【题型6双变量先消元再配方求最值】...........................................................10

【题型7利用配方法判断三角形形状】...........................................................12

【题型8利用配方法证明恒成立问题】...........................................................15

【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】.....................................................19

【题型10利用配方法解决新定义问题】...........................................................21

【题型1利用配方法求值】

【例1】（2025九年级上•广东深圻・专题练习）若将一元二次方程/-6%-2=0化成（％+m）2+几=0的形

式，则2m—n的值为.

【答案】5

【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键.

通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数，〃和〃的值，再代入计算即可.

【详解】解：原方程/一6%-2=0,

配方得为2-6x+9-9-2=0,

即（无一37一11=0,

与形式（Y+?刀）2+力=0对比，

得m=-3,n=-11,

•••2?n-n=2x（—3）—（—11）=-6+11=5.

故答案为：5.

【变式1-1］（25-26九年级上•江苏宿迁・月考）已知多项式4=%2一%+（3-2幻，若无论x取诃实数，4的

值都不是负数，则k的取值范围是.

【答案】k<^

o

【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解.

22

【详解】解：71=x2-x+(3-2/()=+3-2/c-^=(r-0+y-2k,

•.•无论x取何实数，A的值都不是负数，且卜一乡220,

•••———2/<±0,

4

解得k<，

O

故答案为：k<^.

【变式1-2](24-25九年级上•江苏泰州•期中)已知m+几=4,mn-p2+8p220,则mnp的值为.

【答案】16

2

[分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由〃T十n=4得加=4-n,将其代入?nn-p+8p>20

后，将不等式整理并配方得5-2)2+(p-4)2<0,根据非负数的性质可得n=2,p=4,进而可得m=2,

再将〃?、〃、〃的值代入nmp即可得答案.

【详解】解：,.•m+n=4,

•­m=4—n,

将n=4—九代入nm—p24-8p>20得：(4—n)n-p2+8p>20,

整理后配方可得:6—2尸+(p-4尸40,

•••n—2=0,p—4=0,

•••Ti=2,p=4,

•••m=4-2=2,

•，-mnp=2x2x4=16,

故答案为：16.

[变式1-3]已知42+y2―2%-4y+5=0,则工+--白一-+--4~7；+…+:——~京启的值等于

J'xy(x+l)(y+l)(x+2)(y+2)(x+2023)(y+2023)

【答案】2024

2025

【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求未知数的值是解题的关键.利用配方

法把方程/+丫2-2“一4、+5=0变形为(％-1)2+3-2)2=0,求出x,y的值，再代入到题目中的式子,

利用裂项法求和即可解答.

【详解】解：•.•X2+丫2-2%-4丫+5=0,

AX2-2x+1+y2-4y+4=0,

(x-l)2+(y-2)2=0,

x-1=0,y-2=0,

x=1»y=2.

i

A+(xl)(yl)++…+--------------,

++(x+2)(y+2)(x+2O23)(y+2O23)

=展+*+羡+.+202工025,

_1,11,111.11

=J一十一—十一—十•"•十'''

2233420242025

2024

2025

故答案为：募

【题型2单配方比较大小】

【例2】（24-25九年级上•江苏徐州•期中）若相为实数，P=-m2-m+1,Q=m2-5m+4,则比较P,

。的大小可得:

【答案】P<Q

【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可.

【详解】解：Q—P=(m2—5m4-4)—(―m2—m4-1)

=m2-5m4-4+TH24-TH-I

=2m2—4m+3

=2(m-l)2+l,

v(m-I)2>0,

-l)2+1>0,

:.Q-P>0,

••・P<Q,

故答案为：P<Q.

【变式2-1】己知。=%2-2%，Q=2x—S（x为任意实数），则关于P,Q的大小关系判断正确的是（)

A.户>QB.P=QC.P<QD.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.将P-Q变形为(％-2¥+1,再结

合非负性判断即可.

【详解】解：•••P-Q=/一2x-(2%-5)=/-4x+5=(%-2A+1>0,

:•P>Q,

故选：A.

【变式2-2](25-26八年级下•浙江杭州•期中)已知/=2x+m,B=x2+m+4,则比较代数式A与8的

值：AB.(请用表示)

【答案】V

【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符

号，即可得到A与3的大小关系.

【详解】解：B-A

=x2+m+4-2x-m

=x2-2x+4

=(x-l)2+3

v(x-l)2>0,

(r-l)2+3>0,即3-A>0,

---A<B.

【变式2-3](25-26九年级上•江苏泰州•期中)已知，M=12m-33,N=2m2-46，则MN.(填

“>”，“v”或“=”)

【答案】V

【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

通过计算M与N的差值，得到一2(m-4)2-1<0,从而判断历恒小于N.

【详解】解：M—N=(12m—33)—(2m2—4m)

=12m-33-2m2+4m

=-2m2+16m-33

=-2(m—4)2—1,

v(m-4)2>0,

-4)2-1<0

:♦M<N.

故答案为：<.

【题型3双配方比较大小】

［例31L!»知义=Q?+/+18,y=8b+4a—3,贝卜，y的大小关系是.

【答案】x>y

【分析】首先用作差法计算X-)，，得出的式子利用完全平方公式分类分解因式，进一步判定符号解决问题即

可.

【详解】x-y=a2+b2+\^-(86+4。・3)=a2+h2+\S-8b-4a+3=Ca-2)2+(b-4)2+l.

2222

v(a-2)>0,(Z?-4)>0,A(«-2)+(8・4)+l>0,也就是x>)，.

故答案为x>)，.

【点睛】本题考查了利用作差法比较代数式的大小，以及配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关

键.

【变式3-11已知a、b是实数，x=a2+b2+20,y=4(2b-a).则x、y的大小关系是()

A.x<yB.x>yC.x<yD.x>y

【答案】B

【分析】判断“、y的大小关系，把x-y进行整理，判断结果的符号可得X、y的大小关系.考查了配方法的

应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数

大.

【详解】解：％—y=a?+炉+20—8b+4a=(a+2)2+(b—4产，

•••(a+2>NO(6-4)2NO,

•••x-y>0,

二x>y,

故选：B

【变式3-2］若4=7+2x-6y,B=-产+4%-1］,则人、B的大小关系为()

A.A>BB.A<BC.A>BD.A=B

【答案】A

【分析】利用做差法求出48=(x-l)2+(y-3)2+l,然后利用偶数次幕的非负性即可得出(%-l)2+(y-3)2+l*>(),

即可得出4-3>0,从而得出正确选项.

【详解】解:A-B=X2+2X-6y-(-y2+4x-lI)

=x2+2x-6y+y2-4x+l\=x2-2x+y2-6y+\I

=(X2-2X+I)+(y2-6y+9)+l=(x-l)2+Jjy-3)2+1

v(x-l)2>0,(y-3)2>0,

••.(A：-l)2+(y-3)2+l>l>0,

故选：A.

【点睛】本题考杳了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在.

【变式3-3】已知〃、人满足x=/+〃+21,)，=4(2b-a),则x、)的大小关系是()

A.x<yB.x>yC.x>yD.x<y

【答案】C

【分析】用x减去y,对x和y分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负，从而问题得解.

【详解】•­x=a2+b2+2],y=4(2b-a)

•••x-y=a2+b2+21-4(2b-a)

=a2+b2+2\-勖+4。

=(a+2)2+(/?-4)2+\

v(d+2)2>0,(/?-4)2>0

••.x-))0

故选：C.

【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键.

【题型4单变量单配方求最值】

【例4】代数式/+轨+5的最小值为.

【答案】1

【分析】根据完全平方公式将原式变形为('+2)2+1,然后利用完全平方式的非负性分析其最值.

【详解】解：x2+4x+5=(%+2)2+1

v(x+2)2>0

心+2)2+1>1

代数式％?+4x+5的最小值为4

故答案为：1.

【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结阂及其非负性是解题关键.

【变式4-1】二次三项式/+5X+7的最小值为.

【答案】:

4

【分析】多项式常数项7分为：,前三项利用完全平方公式变形，根据完全平方式大于等于0,即可求

44

出多项式的最小值.

[详解】解：x2+5x+7=x2+5x+—+-=(X++->-；

44\2/44

则二次三项式X2+5X+7的最小值是"

4

故答案为X

4

【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式4-2](25-26九年级上•全国•课后作业)当％=_时，多项式一2/一心+3有最大值？求出这个最大

值是_.

【答案】-15

【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得一2/一4%+3=-2(》+1)2+5,再分析：因为&+1)2z0,

所以一2(X+1/+545,即当％=-1时，多项式一2%2一轨+3有最大值，且这个最大值为5,进行作答.

【详解】解：-2x2-4x+3

=-2(x2+2x)+3

=-2(x2+2%+1-1)+3

=-2(x2+2x+1)+5

=-2(X+1)2+5,

•••(«+1)2>0,

-2(%+I)2S0,

则一2(%+1)2+545,

即当％=-1时，多项式一2/-4%+3有最大值，且这个最大值为5,

故答案为：—1,5.

【变式4-3】已知x为全体实数，则一4M+7%-2的最大值为.

【答案】9

16

【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可.

【详解】解:一4/+7%-2=-4(工一。-2=-4(%-。+2

\8/64\8/16

・L，

.一仅2+7%—2的最大值为登.

16

【题型5双变量双配方求最值】

【例5】代数式-M-2b2-2a+8b-5的最大值为.

【答案】4

【分析】本题考查了配方法，非负数的性质.利用配方法将原式配方成-(。+17-2(6-2)2+4,再利用

非倒数的性质解答即可.

【详解】解：一小一2b2_2a+8匕一5

=-(a2+2a+1)—2(b2—4b+4)+4

=-3+l)2-2(b-2)2+4,

当。二-1,b=2时，代数式一。2一2匕2一2。+的一5的最大值为4.

故答案为：4.

【变式5-1]已知M=8%2一/+6*-2,N=9x2+4y+13,则M-N的值()

A.为正数B.为负数C.为非正数D.不能确定

【答案】B

【分析】将M-N整理成-(x-3)2-(y+2)2-2,从而说明M-N的值为负数.

【详解】vM-N=8x2-y2+6x-2-(9x2+4y+13)

=-x2+6x-y2-4y-15

=-[(X2-6X+9)+(y2+4y+4)+2]

=-(x-3)2-(y+2)2-2,

.•・M-N的值为负数，

故选：B.

【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质-偶次方.解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过

程中不要改变式子的值.

【变式5-2】不论a,b为何实数，a2+b2-2a-48+8的值()

A.总是正数B.总是负数

C.可以是零D.可以是正数也可以是负数

【答案】A

【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果.

【详解】解：v(a-I)2>0,(b-2)2>0,

二原式=(a2-2a+1)+(b2-4b+4)+3=(a-1)2+(b-2)2+3>3>O»

则不论a,b为何实数，a2+b2-2a-4b+8的值总是正数，

故选:A.

【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式5-3](24-25九年级上•重庆丰都•月考)【项目学习】“我们把多项式M+2ab+炉及小-2ab+炉叫

做完全平方式

如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再

减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法.例如：

求当a取何值，代数式小+6。+8有最小值？最小值是多少？

解：+6Q+8=Q2+6Q+32-32+8=(Q+3)2—1

因为(a+3尸>0,所以a?+6Q4-8>—1>

因此，当。=一3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是一L

【问题解决】

利用配方法解决下列问题：

<1)当％=时，代数式/一2%-1有最小值，最小值为.

(2)当不取何值时，代数式2/+8%+12有最小值？最小值是多少？

【拓展提高】

(3)当》，y何值时，代数式5无2一4xy+必+6无+25取得最小值，最小值为多少？

【答案】(1)1；-2；(2)当％=-2时，代数式2/+8%+12有最小值，最小值是4；(3)当x=-3,y=-6

时，代数式5/-4xy+y2+6%+25有最小值，最小值是16

【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键.

(1)仿照文中所给的配方法的思路解答即可；

(2)先提取公因数2,再利用文中所给的配方法的思路解答即可:

(3)将5/-4xy+y2+6%+25配方成(2%—y)?+(%+3尸+)6,即可解答.

【详解】解：(1)%2-2x-l=x2-2x+1-1-l=(x-l)2-2

因为(％—1)2NO,

所以--2x-1>-2,

因此，当Al时，代数式/一2%-1有最小值，最小值是—2.

故答案为：1；—2；

(2)2x2+8x+12=2(/+4x4-6)=2(/+4x+4+2)=2(%+2)2+4,

因为(％+2尸>0,

所以27+8x+12工4,

因此，当%=-2时，代数式27+8%+12有最小值，最小值是4；

(3)5x2-4xy+y2+6x+25=4/-4xy+y24-x2+6x+9+16=(2%-y)2+(%+3)24-16

因为(2k一、)220,(x+3)2>0,

所以5/-4xy+y2+6x+25>16,

因此，当2x-y=0,x+3=0,即x=-3,y=-6时，代数式5/-4%y+y2+6%+25有最小值，最小

值是16.

【题型6双变量先消元再配方求最值】

【例6】已知实数x,)，满足2x+y=4,则代数式%y-2%+2y-4的最大值为.

【答案w

【分析】将y=4-2%代入代数式，利用配方法可得-2(%-今2+泉利用平方的非负性及不等式的基本性质

即可求解.

【详解】解：由题意得：y=4-2x,

将y=4-2%代入代数式得：

xy-2x+2y-4

=x(4-2x)-2x+2(4-2x)-4

=-2x2-2x+4

11

=-2[X2-X+(-)2-(-)2]+4

=-2(%-}2+支

v2(x-1)2>0,

A-2(%-1)2<0,

n,1、2।979

.•・原代数式的最大值为：p

故答案为：

【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键.

【变式6-1](24-25九年级上•江苏宿迁•期中)已知实数a,b满足。+乒=，则代数式a?一勃？+12的最

小值是.

【答案】4

【分析】此题考查/配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法.由题意得〃=1-a,

代入代数式M_4b2+12可得(a+2/+4,由此可知代数式a?一4b2+12的最小值是4.

【详解】解：・.・Q+b2=i,

b2=1—a>0,则Q<1,

•••a2-4b2+12

=G2-4(1-a)4-12

=c2+4a-4+12

=G24-4a+8

=(a+2)2+4,

a<1,

.•.(a+2)2>0(当a=-2时取等号)，

则(a+2)2+424,

二当Q=一2时，代数式/-4b2+12有最小值等于4,

故答案为:4.

【变式6-2]已知实数％,y满足/+3x+y—3=0,则x+y的最大值为.

【答案】4

【分析】根据已知等式，可用x表示出3+y.再利用二次函数的性质可求得其最大值.

【详解】解：vx2+3x+y-3=0,

y=-x2-3%+3,

x+y=-x2—2x+3=—(x+I)?+4,

•••当”=-1时，％+y有最大值4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用工表示出x+y是解题的关键，注意函数性质的应用.

【变式6-31已知实数机，〃满足m—小=2,则代数式2九2+4m—3的最小值等于()

A.9B.6C.-8D.-16

【答案】A

【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把m-?i2=2变形为几2=巾一220,代入所求式

子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可.

【详解】解•：vm-n2=2,

•,•n2=m—2>0,7n>2,

.--m2+2n2+4m-3

=m2+2m-4+4m-3

=m24-6m4-9-16

=(m+3)2-16,

则代数式+2n2+4m-3的最小值等于(2+3)2-16=9.

故选：A.

【题型7利用配方法判断三角形形状】

【例7】已知三角形三边长为a、b、c,且满足十一4匕=7,b2-4c=-6,c2-6a=-18,则此三角形

的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无法确定

【答案】A

【详解】解：,-a2-4/?=7,b2-4c=-6,c2-6a=-18,-4b+b2-4C+C2-6a=7-6-18,整理得：a2-64+9+B

-4〃+4+/-4c+4=0,即(〃-3)2+(〃-2)2+(<?-2)2=0,加2,c二2,二此三角形为等腰三角形.故

选A.

点睹：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解.

【变式7-1】先阅读，再解决问题，例题:^m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.

解：vm2+27nn+2n2-6n+9=0,

.,.(7n+n)2+(n-3)2=0,

••.7n+n=0,n-3=0,

，TI=3»m=-3.

(1)Sx2+2y2-2xy+4y+4=0,求”的值；

(2)已知A4BC的三边长a,b,c都是正整数，H.^Sa2+b2-6a-6d+18+|3-c|=0,请问ZUBC是怎样形状的三角

形？

⑶根据以上的方法是说明代数式：%2+4%+y2_8y+2］的值一定是一个正数.

【答案】⑴士

4

(2)&48c是等边三角形：

⑶答案见解析•.

【分析】(1)将原式配方得(x-y)2+(y+2)2=0,求出％,y的值，进而求解.

(2)将原式配方得(a-3)2+(b-31+|3-c|=0,求出a,b,c的值进而求解.

(3)利用配方法可以对式子好+4"、2_8y+21化简，从而可以解答本题.

【详解】(1)解：x2+2y2-2xy+4y+4=x2-2xy+y2+y2+4y+4=(x-y)2+(y+2)2=0,

：.x-y=O,y+2=0>

；.x=y=-2,

,/=(_2)-2毛

(2)解：a2+b2-6a-6b+\S+\3-c\

=(a-3)2+(d-3)2+|3-c|

=0,

­-a=b=c=3f

是等边三角形；

(3)W：•••无？+4x+y2-8y+21

=/+4%+4+y2・8y+16+1

=(x+2)2+(y-4)2+l>l,

故》+4%+y2_8y+21的值一定是•个正数.

【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简

题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状.

【变式7-2】已知a,b,c是^ABC的三边，若a,b,c满足a2—6a+b2—8b+VFK+25=0,则aABC是

_____________三角形：若a,b,c满足M+b^+c?—ab—be—ac=O,则AABC是_________三角形.

【答案】直角；等边.

【分析】把25分成9、16,利用配方法把a2-6a+b2-8b+VF=I+25=0改写为(a-3)2+(b-4)2+GK=0,利

用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2+b?+c2—ab-bc-ac

=0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=O,再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的关系.

【详解】va2—6a+b2—8b+Vc-5+25=0,

•••(a-3)2+(b-4)2+Vc—5=0,

.••a=3,b=4,c=5»

•.•32+42=52,

••.△ABC是直角三角形；

va2Ib2Ic2abbeac=O,

.••(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=O,

•••a=b,b=c,a=c,

•••a=b=c,

.•.△ABC是等边三角形.

故答案为直角；等边.

【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变

形的过程中不要改变式子的值.

【变式7-3］若△48c的三边。、匕、c满足条件：Q2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则这个三角形最长

边上的高为.

【答案】瑞

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积:斜边的长.

首先把己知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得〃、氏c,然后根据勾股定理

的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高.

【详解】解：,*,a2+Z?2+c2+338=10a+24b+26c,

(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,

•••a-5=0,b—12=0,c—13=0,

•••a=5,b=12,c=13>

•・•52+122=132,

••.△ABC是直角三角形，

・•・这个三角形最长边上的高为：5x12+13二詈

JLO

故答案为：詈

【题型8利用配方法证明恒成立问题】

【例8】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如aM+b%+c(QHO)的多项式变形为Q(x+m)2+n的形

式，我们把这样的变形方法叫做多项式a/+hx+式。+0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能

对一些多项式进行因式分解或有关运算.

例如：对于小+6a+8.(1)用配方法分解因式；(2)当Q取何值，代数式a?+6a+8有最小值？最小值

是多少？

解：(1)原式=a2+6a+8+1—1

=G2+6a+9—1

=(a+3)2-1

=[(a+3)4-l][(a+3)-l]

=(Q+4)(a+2).

(2)由(1)得：Q2+6Q+8=(Q+3)2-1,

•••(a+3)2>0,

(口+3)2—1>—1,

••.当a=-3时，代数式a?+6。+8有最小值，最小值是一1.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

(1)用配方法因式分解：X2+2X-8；

(2)试说明不论m为何值，代数式-根2+4m-5恒为负数；

(3)若已知(a4-c)(b—Q)=:(b+c)2月.ah0,求与£的值.

【答案】(1)(%+4)(%—2)

⑵见解析

(3)2

【分析】(1)根据题干信息，利用配方法分解因式即可；

(2)先利用配方法将Tn?十4m-5变形为—(m—2)2-1,根据二次方的非负性，求出-m?+4zn—5的值

恒为负数；

(3)先将(。+。)3-。)=38+02变形为(2。一/?+<)2=0,得出2a-b+c=0,即可求出f=2.

【详解】(1)解：%2+2x-8

=x2+2x+1-9

=(x+l)2-9

=(x+1+3)。+1-3)

=(x+4)(%-2).

(2)解：,:-m2+4m-5

=-(m2—4m+4)—1

=-(TH—2)2—1,

•••(m-2)2>0,

-(m—2)2<0,

-(m-2)2—1<—1<0

••・不论?n为何值，代数式—m2+4m—5恒为负数.

(3)解：:(a+c)(b—a)=+c)2,

:.ab-a2+be-ac=(b2+2bc+c2),

:.4ab—4a2+4bc—4ac=b2+2bc+c2,

••(4cz2-4ab+b2)+2(2a—b)c+c2=0,

•••(2a—b)2+2(2a-b)c+c2=D,

•••(2a-b+c)?=0,

•••2a—b+c=0,

2a=b-c,

•••a工0,

...等=2.

【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式Q2±2ab+b2=(a±b)2.

【变式8-1](24-25九年级上•甘肃・期中)用配方法求证：代数式4•一8%+9的值恒为正数.

【答案】见解析

【分析】本题土要考查了配方法的应用，利用配方法得到4/-£工-19=4(x-1)2/5,再根据偶次方的非

负性得到4(%-1)2+525,据此可证明结论.

【详解】证明：4x2-8x+9

=(4x2-8%+4)+5

=4(x2—2%4-1)4-5

=4(X-1)2+5,

•••(x->0,

.*.4(x-l)2>0,

.-.4(x-l)2+5>5,

•••代数式4/一8%+9的值恒为正数.

［变式8-2］记z=3x(3y-%)-(4%-3y)(x+3y).

⑴若％,y均为整数，求证：当》是3的倍数时，z能被9整除；

(2)若、=%+1,求z的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)-y

【分析】(1)化简得z=-7义2+9y2,设x=3k(k为整数)，可得z=-7(3〃)？+9y?=9(-7公+/),

进而即可求证；

2

⑵将y=%+1代入z=-7/+9y2,可得z=-7/+9(%+=2(%+：)-y>-y,即可求解；

本题考查了整式的乘法运算，配方法的应用，正确计算是解题的关键.

【详解】(1)证明：，乜=3x(3y--(4%-3y)(x+3y),

二化简得，z--7x2+9y2,

••%为整数，且是3的倍数，

二可设x=3/c为整数)，

:.z——7(3Zc)2+9y2=9(­7fc2+y2),

又可为整数，

.-7/+*也为整数，

••.z能被9整除；

(2)解：将y=x+1代入z=-7x2+9y2得，

z=-7x2+9(%+I)2

=-7x2+9/+18x+9

=2x2+18x+9

2

=<c(x+,92\)63f、r63

・•.z的最小值为一

【变式8-3](24-25九年级上•河北沧州•月考)已知M=x2-x+l.

(1)当M=3时，求x的值；

(2)若M=3/+l,求用的值;

(3)求证：M>0.

【答案】(1)X1=2,.=一1

(2)1或：

(3)见解析

【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，配方法的应用：

(1)将M的值代入，解一元二次方程即可；

(2)令M相等，解一元二次方程即可；

(3)将M配方，即可得.

【详解】(1)解：当M=3时，x2-x+1=3

即%2-%-2=0,

(%-2)(%+1)=0，

=2,x2=-1：

(2)解：若M=3/+i,则%2一%+1=3公+1

即2/+%=0,

解得与=0,必=一5

当x=0时，M=1,

当《=-：时，，M=3x(-：)+1=-+1=-,

2\2/44

综上可得，M的值为1或彳：

2

(3)证明：M=x2-x+1=(%-+£

7)"

丁+3」

:・M>0.

【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】

【例9】在实数范围内分解因式：x2-5x+3=_______.

【答案】(T+孚)(7-苧)

【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键.先配方再用平方差公式法，进

行因式分解即可.

［详解］解：X2-5%+3=X2-5%+y-y=(x-1)2--y=fx-1+詈)(x-1-千).

故答案为：(一亚孚)(■>苧).

【变式9-1］在实数范围内分解因式：x2+6%-5=.

【答案】(工+3+m)(％+3-旧)

【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。

【详解】解：x2+6x—5=X24-6X+9—9—5=(x+3)2—14,

根据平方差公式可得(％+3)2-14=(x+3+714)(%+3-旧)，

故;<2+6%-5=(%+3+Vl4)(x+3-V14),

故答案为：(%+3+V14)(x+3—V14).

【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无

理数为止是解题的关键.

【变式9-2］在实数范围内分解因式2——8xy+5y2等于()

A.2(%一竽)(.1)

B.(.竽

C.2G一竽y)［一竽y)

D.(2x-4y-V6y)(2x-4y+V6y)

【答案】C

【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是有可以把因式分解到实数的范围(可用无理

数的形式来表示)，注意配方.先提公因式得212—4孙+|y2),再运用配方法变形得2[(x-2y)2—犷

最后运用平方差公式因式分解即可.

【详解】解：2x2-8xy+5y2

=2(/一9+级)

=2(无2-4xy+4y2-1y2^

3

=2^x-2yY--y2

V6\(

=2(一4+--4---y/6y]\

故选:C

【变式9-3】【阅读材料】

利用完全平方公式，可以将多项式Q3/+b%+c(a,b,c均为常数且QHO)变形为a(x+m)2+n的形式,

如/一2%-8=/-2无+1-1-8=(--2x+1)-9=(＞一1)2-9.我们把这样的变形方法叫做多项

式a/+以+c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.例如：/一2%-

8=(x-I)2-9=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(%-4).

【问题解决】

(1)用多项式的配方法将%2+6%-1化成(%+m)2+九的形式是当多项式炉+6x-1的值为-式时,X的

值为

⑵把多项式/一8%+12进行分解因式.

【答案】(1)(%+3产—10,-3；

(2)(x-2)(x-6).

【分析】(1)根据配方法即可将如十6%一1化成Q:+m)2+n的形式，山(X+3)2-I0=-10,解方程即可

求出力的值;

(2：利用配方法把原式转化为(工-4/-4,再利用平方差公式因式分解即可；

本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键.

【详解】(1)解：%2+6%—1=x2+6x+9—9—1=(%4-3)2—10,

当/+6%-1的值为一10时，

则Q+3)2-10=-10,

•••0+3)2=0,

•••x=-3,

故答案为:(x+3)2—10,-3；

(2)解：x2-8x+12=x2-8x+16-16+12

=(x-4)2-4,

=(x-4+2)(x-4-2),

=(x-2)(x-6).

【题型10利用配方法解决新定义问题】

【例10】(24-25九年级上•广东阳江•月考)小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的

多项式/一4%+7,由于X?-4%+7=(%-2)2+3,所以当无-2取任意一对互为相反数的数时，多项式

/一4%+7的值是相等的，例如，当％-2=±1,即x=3或1时，/一4%+7的值均为4：当％-2=±2,

即x=4或。时，/一4%+7的值均为7,于是小明给出一个定义：关于x的多项式，若当x—m取任意一对

互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=m对称，例如/-4%+7关于2对称.

请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

⑴多项式/-2x4-5关于x=对称；若关于x的多项式d+2nx+3关于％=6对称，求〃的值；

(2)若整式(7+6%+9)(x2-4x+4)关于％=a对称，求实数a的值.

【答案】⑴1：-6

(2)-1

【分析】本题考查了配方法的应用.

(1)依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式/+2nx+3=(x+7i)2-n2+3,又

多项式关于％=6对称，从而可以得解；

(2)将整式(％2+6X+9)(/-4%+4)进行配方，然后根据定义可求解.

【详解】(1)解：-2x+5=(x-+4,

•••多项式/-2x+5关于％=1对称；

由题意得多项式％2+2nx+3=(x+n)2-n2+3,

.•.多项式％2+2nx+3关于％=—71对称，

•.•多项式％2+2nx+3关于x=6对称，

•••-n=6,

•••n=-6；

故答案为：1,-6；

(2)解：(/+6x+9)(/-4x4-4)

=(%+3)2(%—2尸

=[(x+3)(%-2)]2

=(x2+%-6)2

=[(W•

.,.(%2+6x+9)(#—4x+4)关于x=对称，

又,.(/+6X+9)(x2—4%+4)关于x=a对称，

i

•••a=

【变式10-1](24-25九年级上•四川内江・月考)对于有理数〃，b,定义的含义为：当aNb时，

min{a,b}=b；当a<b时，min{a,b]=a.若min{40,12m—4n一m?_n2j=40,则的值等于.

【答案《

【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质.根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键.

根据min{40,127n—4〃一小2一九2}二40,得出12?八一4九一-/与40的大小关系，从而确定〃?，〃的值

即可得出W的值.

[详解】解：,•,min{40,12m—4n-m2—n2)=40,

■,•40<127n—4n-m2-n2：