浙教版九年级上册第4章 相似三角形 培优练习（含解析）

浙教版九年级上册第4章《相似三角形》培优练习

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列各组的四条线段成比例的是（）

A.1cm、2cm、3cm、4cmB.2cm、4cm、6cm、8cm

C.5cm、30cm、IDcm、15cmD.5cm、20cm、10cm>15cm

4£)2

2.如图，在A8C中，点。，E分别在ABAC上，若DE〃BC,——=-,£>E=8cm,

AB5

则8c的长为（）.

A.20B.10

3.下列说法中错误的是（）.

A.所有等边三角形都相似B.和同一个三角形相似的两个三角形也

相似

C.所有菱形都相似D.所有的正方形都相似

4.如图，在“AC中，点。，E分别在边ABAC上，DE//BC.若下列

结论正确的是（）

DE_1

~BC~2

厂.4。刷周长I△4D的面积二1

c----------------=—

勺周长3△A8CKJ面积=3

5.如图，已知A3C是一块锐角三角形材料，边3C=120〃〃〃，高AO=80〃〃*要把

它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，这

个正方形零件的边长是（）mm.

6.如图，RtAABC中，ZACB=90°,CO是斜边A8的高.下列结论不成立的是（）

2026-2027学年

c

A.AC2=AD-ABB.ACBC=CDAB

C.CD2=ADBDD.BC2=ACAB

7.如图所示，点尸是，ABC的边AC上一点，连接4P,以下条件中，不能判定

d/AQs.ACB的是（）

A

CB

ABAC「BCAC

A.----=-----B.=-----------

APABBPAB

C.ZABP=ZCD.ZAPB=ZABC

8.如图所示，.AQEs,AC3,NAED=ZB,那么下列比例式成立的是（）

万ADACDE-AEDE

C，=-----=,,D----=-----

•ACABBC•ECBC

9.如图，在.ABC中，ZC=80°,AC=4,BC=6.将./WC沿图中的虚线剪开，按

照下面四种方式剪下的阴影「角形与原三角形相似的是（）

A.®®®B.®®@C.①②D.④

10.如图，点E为平行四边形人BCO边8C延长线上的一点，连接AE与CO相交于点

尸.则图中相似三角形共有（）

B

A.1对B.2对C.3对D.4对

二、填空题

,,-ja3a+2b

11.己知:=:，m则il一—=_____.

b4b

12.如图，"C中，。石〃BC,£>£把48C的面积分为相等的两部分，若4c=10cm,

则O月=.

13.小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树/W前方20米E点处放置一面小镜

子，然后她沿跖方向继续往前走8米到。点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼

睛距地面1.44米，根据这些信息请你算出树的高度是米.

14.如图，把正方形纸片A8c。进行如下操作：对折正方形48co得折痕斯，连接CE,

Ar：

将C8折叠到CE上，点8对应点H,得折痕CG.那么==.

15.如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,BC=6,AC=8,四边形OEG/为内接正方形,

那么AO:EB=.

16.如图，点48分别在函数），=g（4>0）图象的两支上（A在第一象限），连结人4交x

X

轴于点C.点力、E在函数y=gs<0,x<0）图象上，AE/x轴，8。〃），轴，连结

DE、BE.若AC=2BC,▲人座:的面积为9,四边形人的面积为14,贝［。一人的值

为______

2026-2027学年

17.如图，矩形O48CH勺顶点A,C分别在x轴、丁轴的正半轴上，它的对角线08与

函数旷=々、＞0)的图象相交于点。，且00:03=1:0,若矩形O4BC的面积为24,则

X

左的值是.

18.如图，在RL^ABC中，ZC=90°,四边形a)£F,FGHM,GNP。均为正方形,

P,G,N在8c边上，点E,H,P在AB边上.如果。七=6,GF=4,那么正方形GNPQ

的面积为.

三、解答题

19.已知线段〃、b、c满足a:〃:c=3:2:4,且a+2/?+c=ll.

(I)求a、b、c的值；

⑵若线段x是线段人人的比例中项，求工的值.

20.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今

有竿不知其长，量得影长一-丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？

意思是：如图，有一根竹竿08不知道有多长，量得它在太阳下的影子84长一丈五尺，

同时立一根一尺五寸的小标杆。&,它的影子"A长五寸，间竹竿。8的长度为多少尺？

(注：1丈=10尺，1尺=10寸)

O'

h，h，

BABA

21.如图，在A8C中，ZC=90°,点。在AC上，DEJ.AB于点、E,

⑴求证：/XADEs4ABC；

(2)AC=4,A8=5且AO=3,求AE的长.

22.如图，矩形A8CQ中，M为6c上一点，EM_LAM交A。的延长线于点E.

(1)求证：/SABM^AEMA:

(2)若人B=4,BM=3,求ME的长.

23.综合与实践

【问题提出】

勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感.课本第56

页这样定义“黄金分割点”：如图1，点。将线段AB分成两部分(斗尸＞),若空=空，

APAB

则称点尸为线段A8的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

【初步感知】

AP

(1)如图1,若A6=l,求黄金比克的值.

AB

【类比探究】

(2)如图2,在A8C中，。是8c边上一点，AZ)将A8C分割成两个三角形

ss

(SABD＞SACD),若黄丝二瞪3,则称A。为ABC的黄金分割线.

①求证：点。是线段8。的黄金分割点；

②若A5C的面积为4,求/CD的面积.

【拓展应用】

(3)如图3,在4BC中，。为A8上的一点(不与A,4重合)，过。作OE〃BC,

交AC于E,BE,C£＞用交于尸，连接质并延长，与DE,8c分别交于例，N.请

问直线4N是48C的黄金分割线吗？并说明理由.

2026-2027学年

24.已知在以点。为圆心，半径为10的半圆中，ZBOC=90°,P为弧8C上一动点(点

P不与点B，。重合)，射线CP交射线A8于点已过点石作A3的垂线，交射线OP于

点。，连接C。.

⑴如图1,当四边形OCDE为矩形时，求NP。七的度数；

(2)如图2,连接破，在点P运动的过程中，试判断庄的大小是否变化.若不变,

请求出的度数；若变化，请说明理由；

(3)当C尸=12时，求白比.

>DEP

2026-2027学年

参考答案：

I.C

【分析】本题考杳的是成比例线段的判定，比例的性质，先根据比例的性质先计算每个选项

中的最长线段与最短线段的积是否等于排在中间的两条线段的积，再判断即可.

【详解】解：A.71x4^2x3,所以不成比例，不符合题意：

72x8^4x6,所以不成比例，不符合题意；

C>V5x30=10x15,所以成比例，符合题意:

Ds75x20^10x15,所以不成比例,不符合题意.

故选：C.

2.A

【分析】证△ADEsaABC即可求解.

【详解】解：・・・。七〃8c

:.NADE=NABC,ZAED=ZACB,

:.^ADE^/\ABC,

ADDE2

,——=——=-,

ABBC5

,:DE=8cm,

BC-2()cm,

故选：A

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.证明三角形相似是关键.

3.C

【分析】利用相似图形的定义逐一判断即可求解.

【详解】解：A、,等边三角形的角都为60。，.•.所有等边三角形都相似，

则A选项正确，故不符合题意；

B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则B选项正确，

故不符合题意；

C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则C选项错误，故符合题意；

D、正方形的每个内角都为90。，.•.所有的正方形都相似，则D选项正确，故不符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查了相似国形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.C

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：・・・OE〃8C,4。=!。8,

2

ADAEDE_1

/./\ADE<^AABC,~AB=~AC=~BC=3

AP1

:,A、芸=：，故原选项错误，不符合题意；

AC3

DF1

B、芸=；，故原选项错误，不符合题意；

BC3

C、鬻工》二,即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意；

D、例絮譬，却面积比等于相似比的平方，政原选项错误，不符合题意;

勺面M积9

2026-2027学年

故选：C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，性质的运用

是解题的关键.需要主要的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

5.A

【分析】本题主要考查三角形的相似，根据正方形的性质得到对应角度度相等，有

„AEFABC,对应边成比例即可求得答案.

【详解】解:设正方形的边长为X""??,

则A/=A£>—x=80—x,

•.•四边形是正方形，

:.EF〃HG,

：.cAEF“BC,

,EF-AI

,•正一而‘

即上二胜二

12080

解得x=48,

故选：A.

6.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的相似比即可求解，熟练掌

握相似三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：•.•RtzMBC,CO是斜边AB的高，ZACB=90°,

A、.uABC^ACD,

.ACAB

~AD~~ACf

：.AC2=ADAB,则成立，故不符合题意；

「ACCD

B、/.---=---9

ABBC

：.ACBC=CDAB,则成立，故不符合题意；

C、:&C4/\CBD,

.CDAD

BDCD

:.CD2=ADDB,则成立，故不符合题意；

D、BC2=ACAB^不一定成立，故符合题意，

故选D.

7.B

【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两个三角形相似，②有两边的比

相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可.

【详解】解：；ZA=ZA>,

APAB

・•・ABPs&ACB,故AK符合要求；

线=绘和NA=ZA,不能判断一WsA4CB,故B符合要求；

BPAB

VZA=ZA,ZABP=NC,

・••ABPs&ACB,故C不符合要求；；

2026-2027学年

VZA=ZA,ZAPB=ZABC,

・•・ABPs.ACB,故DK符合要求；

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用.能正确运用判定定理进行推理是解此题

的关键.

8.A

【分析】相似三角形对应线段的比等于相似比.

【详解】•：，ADES.、ACB,ZAED=4B,

.ADAEDE

*'4C-«C*

故选：A.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，牢记相似三角形的性质是解题的关键.

9.A

【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可.

【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形

与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形两边对应成比例且

夹角相等，故两三角形相似：④剪下的三角形与原三角形对应边不一定成比例，故两三角形

不一定相似；

综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似.

故选：A

【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键.

10.C

【分析】根据平行四边形的性质可得A8.CD,AD〃BC,从而即可得到,

AABEs^FCE,..ABES,.FDA,由此得到答案.

【详解】解：四边形人8CQ为平行四边形，

?.AB//CD,AD〃BC,

：、ADFS'ECF,/XABE^^FCE,

.工ABEs二FDA,

共3对，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题

的关键.

【分析】将所求式子变形为1+2,再将整体代入求值即可.

bb4

【详解】解：W^=:+2=1+2=3

bb44

故答案为：V-

4

12.55/2

5|

【分析】根据条件可得1=5,根据平行线得到AADESSABC,然后根据相似三角形的

JSBC乙

面积比等于相似比的平方解题即可.

2026-2027学年

【详解】解：:DE把48C的面积分为相等的两部分,

・S*1

♦,SABC2，

乂DE//BC,

：,iADE^^ABC,

DES-AOE_&

~BC

S.ABC2

，DE—Z^C=—xl()=5V2,

22

故答案为：572.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面枳比等于相似比的平方是

解题的关键.

13.3.6

【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据光学原理可得NAE8=NCED,然后判断出

4ABe和.COE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.

【详解】解：由光学原理得，ZAEB=ZCED,

又ZABE-乙CDE-90。，

：2BESMDE,

ABBE

~CD~~DE"

口nA320

即——=—,

1.448

解得A8=3.6米.

故答案为：3.6

14.回

2

【分析】延长£4,CG交于点"，先由折叠的性质，设力X=。七=34。=〃，即4。=2/,,

然后利用勾股定理得到EC=\iDE2+CD2=y/5a，进而得到EM=EC=45a,

AM=ME-4£=石.-“，证明出VM48VC8G,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】证明：延长£4,CG交于点M,如图所示:

对折正方形A8CD得折痕EF，

2026-2027学年

设AE=DE=—AD=a,即AD=2a

2

•・•四边形ABC。为正方形，

:,BC=AD=CD=2a,?D90?

工EC=JM+CD2=&

•・•四边形ABC。为正方形，

/.DM〃BC,

.../EMC=NRCG,

由折叠的性质可知，/ECM=/BCG,

/EMC=/ECM,

EM-EC=由a»

,AM=ME-AE=®-a

MA//BC

・•・YMAG尔CBG

,AGAM_V5«-«_75-1

••--------=-------=-----.

GBBC2u2

故答案为：正」.

2

【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质

和判定，解题的关键是正确作出辅助线求解.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，

对应角相等.相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成

比例的两个三角形相似：③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.勾股定理：若三

角形的两条直角边为〃和从斜边为C,则/+从=02.

15.16:9

【分析】由相似三角形的性质即可求出正方形的边长，同理可得出AD及/死的长，进而得

出结论.

【详解】如图，作C/V_L44,交GF于点、M,交AB于点、N,

在中，

VAC=8,BC=6,

JAB=10,

：.-ABCN=-BCAC,

22

*：GF//AB,

•••CGF^CBA,

2026-2027学年

.CMGF

''~CN~~BA'

设正方形边长为X,

24

则恐s一=彳x，解得：4=1石20，

JI

T

FDA.AB,

：.NAM=NC=90。,

VZA=Z4,

ADF^,ACB,

12()

.ADDF日——

,•---=---,即AD37，

ACBC—=—

85

,3翳

120

BEEG口口-----

同理;=即uBE_37,

ECAC

Oo

.9°

37

.4八m16°90_。

•・AD:EB=----:—=16:9,

3737

故答案为：16:9.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关

键.

16.12

【分析】设八。七2）'根据反比例函数图象的性质，AE，X轴，可求出点E的坐标，根据

△BCHSAACG可求出点3的坐标，根据8。〃），轴，可求出点。的坐标，再根据图形的面

积计算方法即可求解.

【详解】解：根据题意，设AQ吟卜

・・・AEgx轴，且点E在函数y=%〃<0.x<0）图象上,

，点£的纵坐标为幺，则4=2,解得，x=—,

mtnxa

bma

：.E

am

•・•AC=28。，点3在函数），二州（。>0）的图象上，且在第三象限上，如图所示，过点A作

.1

47，工轴于点6,4。交x轴于点〃，

2026-2027学年

.AG〃y轴，轴，则AG〃8”，且AM二,则4G=@,

k"以m

・ABCHSAACG,

BCBH.

.——=——，贝nI」BH=-G」x—=-―，即点5的纵坐标为一一

ACAGAC2m2m2m

.点3的横坐标为""士"一2”

2m

.B\-2m,---

I2m

•8。〃），轴，点。在函数），=2（〃v0.x<0）图象上,

bb

•点。的横坐标为-2机，则纵坐标为），=

-2m2〃？'

<2m

•Anu—i,B-2m,--—,D-2m,-bma

，E»S/MBE=9,

2/HJ为Im)

；(aa、1_mbaa1a-b3a3(a-b)

SMBE=AEXin---—-+———〃？•--------------=9,

2ain2m2a2m4

/.a-b=\2,

故答案为：12.

【点睛】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形点

坐标的计算方法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法是解题的关键.

17.12

【分析】过点。作轴于点E,可得ODESQBA,根据相似三角形的性质可得

sODX]_

JDEO=

根据已知条件得出S^BO=\2,进而根据反比例函数k的几何意义,

VOB)2

2sAMf

即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作OE_Lx轴于点E,

2026-2027学年

•・•四边形OA8C是矩形，

/.NBAO=90。,

，DE//AB,

・•・ODEsOBA,

OD:OB=T：e，

.▲J丝丫」

s即\OB)2

•.•矩形。45c的面积为24,

S^ABO=12

:.S(CJDIJFr.=-2X12=6

•・•函数y=-(X>0)过点£),

X

则姓=6

2

又・・・。在第一象限,

：.k=l2

故答案为：12.

18.竺/71

99

MEHO24-POs

【分析】证明得出而=奇，即a=一而匕，求出PQ=],最后算出正

方形的面积即可.

【详解】解：•・•四边形。M，FGHM,GNPQ均为正方形，

；.DE=EF=6,FM=MH=Hd=4tQG=QP,乙FMH=CPQG=90°,

/.ME=EF-FM=2,

•・•EF//HG,

・•・/MEH=NPHQ,且ZEMH=ZHQP=90°,

：..MEHs,QHP,

.MEHQ

••而一而‘

24-

,4=PQ'

Q

・・・PQ=],

/o\264

・・・正方形GNPQ的面积为2

⑶~9

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，正方形的性质，解题关键是熟练掌握相

似三角形的判定方法证明-ME”S_Q”P.

2026-2027学年

19.⑴〃=3,h=2,c=4

（2口的值逐

【分析】本题考查了比例和比例中项，

（1）设比值为七然后用攵表示出。、〃、C,再代入等式进行计算即可得;

（2）根据比例中项的定义列式求解即可得

掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即f=那么线段〃

hc

是。和C的比例中项”是解题的关键.

【详解】（1）解：,・":Z?:c=3:2:4,

则设。=3k、b=2k,c=4k,

"：a+2b+c=\1>

:.3Z+2x2A+4k=ll,

I1A:=11,

k=l,

a=3,0=2,。=4；

（2）解：•••线段x是线段〃、〃的比例中项,

・ax

••一=一，

xb

x2=ab，

W=3x2,

x2=6,

x=#或x=（舍），

即X的值卡.

20.竹竿。8的长度为45尺.

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】解：设竹竿的长度为%尺,

•・•竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸二（）.5尺，

x_1.5

…百一行‘

解得》=45（尺），

答：竹竿。8的长度为45尺.

【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关

键.

21.（1）见解析

c12

⑵彳

【分析】（l）根据/4ED=NC=90。,乙4=4即可求证：

srAD

（2）根据相似三角形的性质可得丁二不，据此即可求解.

AEAD

2026-2027学年

【详解】(1)证明：•・・4EO=NC=900,4=NA

:.^ADE^/\ABC

(2)解：VAADE^/XABC

.ACAB

••瓦一而

nn45

AE3

・•.AE=—

5

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质.熟记相关定理内容是进行几何推导的关键.

22.(1)证明过程见详解

(2)ME=y

【分析】(1)根据矩形的性质，可知=根据垂直的性质可知/8=N/W/石，

由此即可求证；

(2)根据勾股定理可在中，求出AM的长度，根据(1)中结论，即可求出ME的

长.

【详解】(1)证明：•・•四边形A8CO为矩形，

工？B90?,AD//BC.

•\ZEAM=ZAMB.

〈EMLAM,

AZAME=90°,

•：NB=ZAME,ZAMB=/EAM,

JAABMsAEMA.

(2)解：VAB=4,8M=3,

,AM7ABrBM?="2+3、=5,

.ABBM43

••9BHPn=—,

MEAMME5

7()

：,ME=—.

3

【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角

形对应边成比例是解题的关键.

23.(1)廿二T+石；(2)①见解析；②％6=6-2石；⑶直线AN不是，48。的黄

金分割线，理由见解析

【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程.熟练掌握相似

三角形的判定与性质写出比例关系是解题的关键.

(1)设AP=x,则4Q=l—x,由题意，空=空，即上三=：,整理得/+工_1=0,计

APABxI

算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可；

2026-2027学年

-CDh-BDh

CDBD

(2)①设"工3c中AB边上的高为〃，可得^-----=-=------即HII——=——进而可得点。

-BDh-BChBDBC

22

是8c的黄金分割点：②（方法一）解：设..ACD的面积为一则△A8O的面积为4-5,根

据青迎二今坦，可得/_=?,整理得$2_12$+16=0,计算求出满足要求的解即可;

（方法二）由（I）得曾侬■二二悖但，求SAM的值，艰据工皿,二§少磴-§3.，计算求

'△2BC2

解即可；

(3)由。后〃8C,可得DMFs,CNF,VEMF7BNF,：ADM匕ABN,4AEMs4g，

DMMFMEDMAMMENCBN

贝nill——=——=——'运算可得而=而‘即就=化’则—，

NCFNBN~BN~~AN~~NC

S&ABN~S^ACN=S&ABC'然后作答即可•

【详解】（1）解：设AP=x,则8P=1—x,

BPAP

由题意,

~AP~~AB

—=7,整理得产+1=0,

xI

解得占=土正JU（不合题意,

舍去）

..„7+逐

•・AP=----------，

2

・AP-1+6

•••

AB2

(2)①解：设J13C中人4边上的高为人,

Ss_S4*BD

S△八B”S4ABe

-CDh-BDh

-22

,*1=1

-BDh-BCh

22

.CDBD

''~BD=~BCf

，点。是BC的黄金分割点.

②（方法一）解：设ACD的面积为s,则△A8Q的面积为4一S,

••-△人C7）="mn

S&ABDS^ABC

c4—q

整理得『—12s+16=0，

4-54

解得0=6-26，s2=6+2>/5（不合题意，舍去）

2026-2027学年

・•・AC。