自动控制理论及应用 习题解答 第4章

习题4答案解析

4-1

解：由系统开环传递函数可知，系统无零点，有三个极点分别为0=7.5,〃2=-2,p3=

-3。根据相角条件，若点si在根轨迹上应满足NG(s)〃(s)=±(2&+l)兀，则对于点

3天

=--+J—，有

ZG(51)//(51)=0-Z(-1+j^+1)-Z(-14-j^4-2)-Z(-1+j^+3)

„717171

满足相角条件，因此+在根轨迹上，将si代入幅值条件有

|G(5,)/7(5,)|=

■-|+j曰+2]3.6,

++3-+1——+3

22222

解得＜=1.5。

4-2

解：(1)按照如下步骤绘制系统闭环根轨迹。

①系统有三个开环极点：pi=0,〃2=-3,〃3=-6,没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为三阶，因此有3条根轨迹分支，分别起始于三个

开环极点四=0,〃2=-3,p3=-6,终止于开环无限零点。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区间为(-8,-6],

④渐近线的位置与方向。潮近线与实轴的交点为

nm

t>,x□

/=1一/£=11

5,=-----------——=—=-3o

n-m3

渐近线与正实轴的夹角为

(2k+1)兀(2k+1)兀

=±60°,180°

3

⑤分离点。根据公式有

d"3d+6

解得分=—1.27,4=-4.73(舍去)。

⑥与虚轴交点。

系统闭环特征方程为

?+9?+18.v+A：x=0

列写劳斯表

53I18

?9K"

।162—K'

s----------

9

/K+

令竺纪£=0,解得＜=162。以一行列写辅助方程

9

F(s)=9/+K*=9『+162=0

s=±j①“=±j\/18=±j4.24

根据以上计算的根筑迹参数绘制根轨迹如图4-1所示。

图4-1题4-2(I)根轨迹U

(2)按照如下步骤绘制系统闭环根轨迹。

①系统有三个开环极点：02=±j，P3=-5,一个开环零点ZI=-4。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为三阶，因此有3条根轨迹分支

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区间为

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

Zpj—Zzj.•〈/八

|=!;=iJ-J-5-K)

/T=------------------=--------------------

n-m3一1

渐近线与正实轴的夹角为

a=3+1)兀=3+1)叽±90。

一〃73-1

⑤起始角。根轨迹两个起始角为

%=(2^+l)7i+Z(p1-z1)-Z(p,-/>2)-Z(p1-p3)

=-180°+14o-90o-11.3°

=92.7°

%=一92.7。

⑥与虚轴交点。将s=j〈M弋入系统闭环特征方程匕知，根轨迹除两个开环极点外五其

他交点。

根据上述计算绘制系统根轨迹如图4-2所示。

图4-2题4-2(2)根轨迹■

(3)按照如卜步骤绘制系统闭环根轨迹。

①系统有三个开环极点：0=(),〃2.3=-1土j，没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为三阶，因此有3条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹为整个负实轴。

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

n-tn3

渐近线与正实轴的夹角为

(2^1)H=(2^I)H=+60O

n-m3

⑤分离点和分离角。根据公式有

111

—I--------1--------=0

d4+1+j"+l-j

解得人2二-0.67±j0.47,均不在根轨迹上，因此没有分离点。

⑥起始角。

ooo

以、=(2^+l)7r-Z(p2-/7,)-Z(p2-p3)=180-135-90=-45°

00内=45°

⑦与虚轴交点。将S=弋入系统闭环特征方程，有

j研(j0)2+2(jM+2]+K*=0

(K，-26/)+j(2/-叫=0

令实部、虚部为零，得

2(o-co'-0

K'-2疗=0

解得(0=0,<=0；co=、5，K*=4«

根据上述计算绘制系统根轨迹如图4-3所示。

图4-3题4-2(3)根轨迹殂

(4)按照如下步骤绘制系统闭环根轨迹。

①系统有两个开环极点：pi=0,pi=-2,一个开环零点zi=-3。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为二阶，因此有2条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹为(-8,-3],[0,-2]。

④分离点。根据公式有

1I1_I

d+7+2~7+3

解得&=-1.26,d2=-4.72o

令s=。+jo为根轨迹上任意一点，带入特征方程

。⑸=s(s+2)+K”(s+3)

则有

/+2cr+K"(cr+3)-苏=0

2(ja)+269+Keo=0

整理得

(。+3)2+苏=(\/3)2

做根轨迹如图4-4所示

图4-4题4-2(4)根轨迹51

由图可见复平面根轨迹为圆，圆心坐标为(-3,jO),半径为百。

4-3

解：按照如下步骤绘制系统闭环根轨迹。

①系统有四个开环极点：〃L2=-1，〃3,4=-4,没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为四阶，因此有4条根轨迹分支,分别起始于四个

开环极点九2=-1，"3.4=-4,终止于开环无限零点。

③实轴上的根轨迹。实轴上除两个重极点外无根轨迹。

④渐近线的位置与方向。潮近线与实轴的交点为

nm

CT(1=-——归一二—2.5

n-in

渐近线与正实轴的夹角为

(p“=QB兀=(2D"=±45°,±135°

n-m3

⑤分离点。分离点就是两个重极点”=-1，〃2=-4。

⑥与虚轴交点。

系统闭环特征方程为

s4+10『+33s2+405+16+^=0

列写劳斯表

s4I3316十六

/1040

522916+M

,1000-1（*

s------------

29

5°16+K*

令"）（­（）"=0,解得父=100。以$2行列写辅助方程

29

F（5）=29『+16+K'=29s2+16+100=0

s=±M=±j2

根据以上计算的根轨迹参数绘制根轨迹如图4-5所示。

图4-5题4-3根轨迹图

4-4

解：（1）由题意可得

5K%-1)

G(s)H(s)=

($+5)仔+4S+4)

5K'(s-l)

(s+5)(s+2y

①系统有三个开环极点：〃|=-5,〃2,3=-2;一个开环零点：Z1=10

②实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹为［-5,1］。

③渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

=-5-2x27=_5

n-m3-1

渐近线与正实轴的夹角为

2把=吐业3。

2

④分离点。应用重根公式可得

/+3/一9〃-22=0

又知小=一2,故得/+〃-11=0,解得力=-3.854,4=2.85(舍去)。

做出根轨迹如图4・6所示。

图4-6题4Y根轨迹图

若使闭环系统稳定则闭环根必须位于5左半平面，故将s=0代入特征方程得

D(s)=(5+5)(524-45+4)+5K+(5-l)

解得昭=4,因此闭环系统稳定的K*范围是（0,4）o

（2）系统闭环传递函数为

G(s)K(5—1)(5+5)K(s—1)(5+5)

G,G)=

1+G(s)H(s)(5+5)(5+2)2+5K'(s-1)。($)

当si=-1时，由特征方程。⑶）=0可得KJ=0.4,弋入闭环传递函数有

0.4(5-1)(5+5)0.4(5-1)(5+5)

G($)=

(s+5)($+2)2+2(5-1)/+9$2+26s+18

分母用长除法分解，可得

0.4(一)(5+5)

(5+1)(?+85+18)

解:该系统为最小相位系统，绘制系统根轨迹法则不变。

①系统有四个开环极点：Pl=o，P2=1，〃3.4=-2±j2百；一个开环零点：Z1

②实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹为[0,I],[-1,-8）。

③渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

1—4+]2

"-~~n^ni--4-1一-3

渐近线与正实轴的夹角为

侬+1)7r=(2%+1)7r=±60°,180°

it-m3

@分离点。根据公式有

11111

—H------+-------------7=­•---------------7==-----

dd-\(1+2+j2V36/+2-/2V3-1

分离点方程为高次，求解困难，可用估算法进行分析。方程中第3、4项较小，可以忽略,

则分离点方程经整理可得

J2+2J-l=0

解得％=0.414,心=-2.411。而准确值为4=0.46,力=-2.22,误差为10%在工程上是允

许的。

⑤起始角。

4=180°+106°-120°-130.5°-90°=-54.5°

由对称性得％=54.5。。

⑥与虚轴交点。系统闭环特征方程为

?+3s3+12s?+(K'-16)5+K*=0

列写劳斯表

54112K*

s33r-16

236-(K*-16)/

s-----------------K

3

,一K"+59K”—832八

s------------；-----0

52-K

$。K，

令第一列中1项系数为零，可以得到系统临界稳定时的肥值，即

-K++59K'-832=0

解得Ki*=23.3,七*=35.7。

由劳斯阵列中/行的系数组成辅助方程，可求得根轨迹与虚轴的交点。辅助方程为:

F(5)=52-K-52+^=0

解得皿,2=#L56(对应Kj=23.3),0u=±j2.56(对应於*=35.7)。

则绘制系统根筑迹如图4-7所示。

图4〃题4-5根轨迹图

又由K=2,因此使系统稳定的开环增益范围是

16

23.3叱35.7

1616

即

1.46vKv2.23

4-6

解：系统开环传递函数为

G(s)H(s)=-------------------------------

5(5+2)(5+l+j)(y+l-J)

①系统有四个开环极点：〃I=0，“2=-2,〃3,4=-1土j，没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为四阶，因此有4条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为［-2,0］。

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

〃切

一____Zr1_________1

n-in

渐近线与正实轴的央角为

(pP+I"P+1"=±45。,±135。

an-m4

⑤分离点和分离角。根据公式有

I111

—I-----1---------1-------=0

dd+2d+l+jd+l-j

解得d=-l。

利用模值方程可求的分离点所对应的M为

K；=jd|.|d+2Hd+l+/lld+lTI=l

分离角

⑥起始角。

o

0P3=（2^+l）7t-Z（p3-/?1）-Z（/?3-/?2）-Z（p3-p4）=-90

%=90。

⑦与虚轴交点。系统特征方程为

54+4.V3+6?+45+/CX=0

列写劳斯表

54I6K.

?44

525K”

120-4K/

§-5-

5°K'

令第一列中b项系数为零，可以得到系统临界稳定时的(=5。由劳斯阵列中一行的系数组

成辅助方程，可求得根轨迹与虚轴的交点劭.2=±j1。

根据以上计算参数绘制根轨迹如图4-8所示。

图4-8题4-6根疑迹图

当闭环极点为实数时，系统输出无衰减震荡分量。由上图可知，只有在分离点处满足这

一条件，所以闭环传递函数为

0(5)=--

(s+1)4

4-7

解：按照如下步骤绘制系统根轨迹：

①系统有两个开环极点：？=p2=-2；两个开环零点：Z|=Z2=-1。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为二阶，因此有2条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上除开环极点和开环零点外无根矶迹。

④渐近线的位置与方向。因为〃=加=2,无渐近线。

⑤分离点：根据分离点公式可知，根轨迹无分离点.

©与虚轴交点。将，=jM弋入系统闭环特征方程可知，根轨迹与虚轴无交点。

根据以上分析绘制系统根轨迹如图4-9所示。

图4-9题4-7根轨迹图

4-8

解：按照如下步骤绘制根轨迹：

(1)由系统结构图求出系统的闭环传递函数:

1

s(s+2)

0(.v)=---------=--------------

।+as+Is(5+2)+as+1

s(s+2)

得到闭环系统特征方程为:

ZXs)=$(S+2)+cis+1

(2)用不含参数〃的项去除闭环特征方程的两边，有:

,as八

]+-------=0

S2+2S+\

得到一个新的等效的开环传递函数

aG(s)=

S2+2s+\($+1)2

(3)绘制以4为参数,。从0f+oo时等效对象。。⑶的常规根轨迹图，如图4-10所示,

易知它是整根半实轴。

RootLocus

1

o5

-s

vx

0

5

-O

-101

RealAxis

图4-10题4-8根轨迹图

由图可知，时，闭环系统总是稳定的。

4-9

解：系统的开环传递函数为

G(s)=-~~--------

k5($+10(&+1)

因为箕=1,故阶跃输入时稳态误差…侬=0。_闭环_传递生函数_为_

$2+(1+10%/)5+2Kl

由题意已知o%<5%,故选择<=0.707。

又由题意知，s<ls,即用>生_=4.95.厂，因此选择例=5ST。由二阶系统标准形式

"0.707

可得

4=2用

I+IO/K2=2啊

解得

7

=12.5

=0.05

10/C,

4-10

解：系统的开环传递函数为

〜、KK

G(S)=------------------r=-----------------------------

(s+5)(5+45+13)(S+5)(5+2+J3)(s+2-y3)

①系统有三个开环极点：pi=-5,〃2.3=-2土j3,没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为三阶，因此有3条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为(-co,-5]o

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

”用

%-力4

/=1/=!A

5,=-------------=7

n-m

渐近线与正实轴的夹角为

(2A41)7r(2A+i)7r

(pa='==±63°,±180°

n-m3

⑤分离点。

〃m

根据公式之丁!1一二Z丁1」，有

1-Id-Pi/.|d-zj

111

------1------------1-----------=0

d+5d+2+j3d+2-j3

解.得42=—3士j四（舍去）。

⑥起始角。

%=（22+l）%+Z/（化一存）一工/（〃，一2）=180。—90。-45。=45。

0„=45°

PI

⑧与虚轴交点。系统特征方程为

?+952+335+65+A：=0

列写劳斯表

/133

52965+K

,232-K

s---------

9

5°65+K

令232-K=0,得K=232。

以.产行列辅助方程

尸⑸=9./+（65+K）=9/+297=0

解得

s=±j5.74

根据以上计算所得参数，绘制根轨迹如图4-11所示。

图4-11题4-10根轨迹图

解：系统的开环传递函数为

G⑸

s(s+5)y+4s+l3)

令a=\H\,则系统的特征方程为

?+953+33?+905+256=0

.25a..

1+-----------；------=0

/+9/+33/+90s

具有相同特征根的等效开环传递函数为

25a

G'(s)=-r

s+9?+3352+905s(s+6)(5+1.5+J3.57)(5+1.5-J3.57)

当积分时间不从+8T0时，/由Of+00变化。下面按照常规根轨迹法则绘制。

①系统有四个开环极点：p\=0»〃2=-6,〃3,4=-1.5土j3.57,没有开环零点。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为四阶，因此有4条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为[-6,0]o

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

.nt

d——^-=-2.25

n-m

渐近线与正实轴的夹角为

念=空也=竺抡=±45。,±]35。

n-m4

⑤分离点。

“1mI

根据公式白二1三，有

—+----+-------------+-------------=0

dd+61+1.5+/3.57J+1.5-；3.57

解得&=T.054.3=-35±儿93。

⑥起始角。

%=Qk+1)乃+—z)—£/(〃,.一巴)

/-I7-1

=180°-112.8°-38.4°-90°

=-61.2。

=61.2"

⑦与虚轴交点。系统特征方程为

『+9./+33/+905+，=0

列写劳斯表

133

J990

『23a

,2070-9。"

s---------

23

5°a

令2070-9a*=0,得

25

o=230,7；=—=0.11

'230

代入辅助方程

F(J)=23s2+a=23s2+230=0

得s=±jM

根据以上计算结果绘制根轨迹如图4-12所示。

图4-12题4-11根轨迹图

4-12

解：（1）由题4-12中图4-41易知，系统有三个极点外2=0,P3=-6，没有零点。可得

系统开环传递函数为

G(5)=7^

由于系统为单位负反馈系统，则闭环传递函数为

―鼻——

+6.v2+K

（2）①增加一个开环零点ZI=-4后可得〃?=1,〃=3。

②实轴上的根轨迹为[-6,-4]o

③渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

♦m

~—=-i

n-in

渐近线与正实轴的夹角为

0=吐更=竺四=±90。

n-ni2

④起始角。

%=（2女+1）乃+2/（〃，一4）一之/（〃,一巳）=90。

%=-90。

根据以上计算结果绘制根轨迹草图如图4-13所示。

图4-13题4-12增加零点后的根轨迹图

由图4-13可知，新系统稳定。说明增加开环零点后，根轨迹向s左半平面移动，系统

稳定性得到改善。

4-13

解：系统的开环传递函数为

竽K("2)

K(0.5s+l)

G(s)=

s2(7k+l)11

s+一

T)

T^O.05时，系统的开环传递函数为

10K(s+2)

G(s)=

$2(5+20)

①系统有三个开环极点：〃i,2=0，“3=-20；一个开环零点：Z]=-2。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为三阶，因此有3条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为[-20,-2]o

④渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点为

4=^——^=-9

n-m

渐近线与正实轴的夹角为

心=竺占空出3。

n-tn2

⑤分离点。

根据公式之丁!一=z丁」，有

Fd_PiKd_Zj

1111

--1---1------=----

ddd+20d+2

解得4=-5&=-8。此时

火」4n4+2。|

=12.5

IOxp1+2|

区「区+2。|

12.8

IOx区+2|

@与虚轴交点。系统的闭环特征方程为

J+20/+1OKs+20K=0

将5=j0代入系统闭环特征方程可知，根轨迹与虚轴除原点外无其他交点。

根据以上计算结果绘制根轨迹如图4-14所示。

图4-14题4-13根轨迹图

由根轨迹图可知某系统阶跃输入响应为无超调时12.5</C<12.8o

4-14

解：(1)系统的开环传递函数为

r、K\s+5)2K'(S+5)2

G(s)=F--------=-------------------

s~+8s+25(5+4+3j)(5+4—3/)

系统为正反馈系统，故应按照零度根轨迹法则绘制。

①系统有两个开环极点：Pl,2=-4±j3；两个开环零点：21,2=-5。

②根轨迹的分支数。系统特征方程为二阶，因此有2条根轨迹分支。

③实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为整个实轴。

④分离点。

根据公式之“丁1」=zm丁1」，有

i-id_Pi/-ia-Zj

11I1

--------+---------=-----+-----

d+4+j3d+4—y3d+5d+5

解得d=5。根据模值条件，此时

“*_M+84+25]

'\d+5f=0.9

⑤与虚轴交点。系统特征方程为

(1-^*)52+(8-10^)5+25(1-^)=°

将s=j函弋入系统闭环特征方程得

K*-0.8时,s=±/5

K'=1时，s=0

根据以上计算结果绘制根轨迹如图4-15所示。

图4-15题4-14根轨迹图

(2)由图4-15可知，系统闭环根轨迹起始于开环极点小和“2点，在正实轴相交后沿

着实轴正反两方向分离，由于在无穷远处正负无穷是相交的，因此向正实轴方向运动的根轨

迹趋于正无穷后从负无穷运动回来，最终与向负实轴方向运动的根轨迹共同终止于开环零点

ZI和Z2。因此系统稳定的范围为040.8或者1。而只有当<>1时，系统的两个

闭环特征跟均为负实根，即系统为过阻尼状态。

（3）过原点。作g=0.707的等阻尼线，与根轨迹交于s”令s产-&+j期则此时系统

的闭环特征多项式为

D(y)=($+3+Je)(s+69-jco)=/+1(t)s+2加

系统的闭环传递函数为

K*

K*

"s)=-

X-25s2+5/25

s2+

\-K\-K

，、/、28-I0K"

D(.v)=s2+---------s+25

\-K

比较以上两式得

£)($)=/+as+K=0

“r8・10K"

1-A

所以0=3.535,K=M=O317。

■,=-3.535+/3.535

0%=产口x100%=4.33%

3.53.5八

t=——=-----------=0.99s

,v30.707x5

4-15（答案不唯一，需要验证设计的校正装置是否满足指标，因为对调整时间有要求,

本例采用零极点抵消法，不能用幅值确定法）

45

解：(1)由于4=0.54=?42。

g

考虑到非主导极点和零点对调整时间的影响，取《=0.5,4=6,一对期望闭环主导极

点为

Sd=一刎±jgV1-F=-3±J3G

同时求得夕=arccos&=60"。

（2）根据求得的期望主导极点，计算超前校正装置在与处应提供的超前角为

e=-180°-NQ(%)=-180+120+111=51

选择把G,.⑸的零点位于期望闭环极点与正下方的负实轴上，因此〃=-3,则6⑸的

极点落在以“为顶点，向左作角°=51的负实轴交点上，这时儿=-9.42,即为所求G/s）的

极点,从而得到a=0.3185

（3）校正后系统的传递函数为

「((、_Kk^s+3)

‘⑸0$=5(5+1)(5+9.42)

由根轨迹的幅值条件，求得系统工作于力点处的K&值为53.1。若kc=\/a=3A4,则K=16.9,

这样，超前校正装置的传递函数为:

S-+3

G($)=3.14

,5+9.42

对应的开环传递函数为

53.1（$+3）

‘⑸°'—s（s+l）（s+9.42）

据此，求得校正后系统的稳态速度误差系数

&=吧SG<（S）4（S）==16,9>2

除满足性能指标要求。校正后闭环传递函数为:

53.1(5+3)

GG)=

(5+4.426)(.，+5.994s+35.99)

可以看出，闭环传递困数有一对靠得很近的零极点，因比主导极点为s〃=-3士J3石，由图

4-16可知（=1.38s42s,设计符合要求。画出校正后的根轨迹如图4-17所示。

System:

Time(soocrxJsX138

Ampltudo:0.98

a

p

d

K

£

v

0.5I1.5

Tmc(second!；)

图4-16题4-15校正后的闭环系