三角形的中线、角平分线、高（讲义）-人教版八年级数学上册（解析版）

三角形的中线、角平分线、高

考点三角形的中线

知识点1三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点和它对边空点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角

形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重:心在三角形内部.

【题型1利用中线求线段长度】

【例1】（24-25七年级下•河南新乡•期末）在△48C中，710是中线，△4CD与△480的周长差为7.若

AB=5,则4C=（）

A.10B.12C.14D.15

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.根据

三角形的中线的概念得到8。=DC,再根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】解：•••4。是△力BC的中线，

•••BD=DC,

•••△4CD与△力8。的周长差为7,

•••(AC+DC+AD)-(,AB+BD+AD)=7,

•••AC—AB=7,

vAB=5,

:.AC—12,

故选：B.

【变式1-1](25-26八年级上•四川泸州•期中)4。是△ABC的中线,BC=12cm,BD=cm.

【答案】6

【分析】本题考查三角形中线的定义，掌握这个知识点是解题的关键.

根据三角形中线的定义，中线连接顶点和对边中点，因此点。是BC的中点，等于BC的一半.

【详解】解：•.FD是△力BC的中线，

.••点。是边8C的中点.

:.BD=^BC=x12=6(cm).

故答案为6.

【变式1-2】已知AD是△48。的中线，若△力8。与△ACO的周长分别是17和15,△ABC的周长是22,则力。

的长为.

【答案】5

【分析】根据三角形中线的定义可得8。=CD,分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出AD的

长.

170

(AB+8。+4D=159

【详解】解：根据题意得:ACCD+AD=220

<ABAC+BC=

由①+②，得力8+/。+80+。。+2人0=32,

•MD是△NBC的中线，

••,BD+CD=BC.

・・・/43+AC+BC+24。=32.

又•••4B+4C+BC=22,

二22+24。=32,解得力0=5.

【变式1-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm,一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则

这个等腰三角形的底长为.

【答案】9cm或21cm

【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联

立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长.注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果

是否满足三角形的三边关系.

【详解】解：设该三角形的腰长是xcm,底边长是ycm.

根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27cm和18cm两部分，

(x+=27(x+^x=18

+y=18或gx+y=27f

(x=18(x=12

解得ty=9或ty=21，

经检验，都符合三角形的三边关系.

因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm.

故答案为：9cm或21cm.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边,

所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要,

也是解题的关键.

【题型2利用中线求三角形周长】

【例2】(25-26八年级上•贵州遵义・期中)如图，力。是△力的中线，已知△4BD的周长为28cm,AB

比长6cm,则△力CD的周长为()

A.34cmB.31cmC.22cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为己知两边的差是解题的关键.

根据三角形中线的定义可得80=CD,再表示出△回0和△水方周长的差就是AB、"的差，然后计算即可.

【详解】解：•••4。是边上的中线，

：.BD=CD,

:.△480和△4co周长的差=（AB+80+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC,

•••△AB力的周长为28cm,4B比AC长6cm,

.••△ACD周长为:28-6=22cm.

故选：C.

【变式2-1]（25-26八年级上•陕西榆林•期中）如图，在△4BC中，C0是中线，BC-AC=5cm,ADC

的周长是20cm,则△的周长是cm.

【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据△/）孔的周长一△4CC的周长=8C-AC求解，即可解

题.

【详解】解：•••在中，CO是中线即40=8Q,BC-AC=5cm,

△DBC的周长一△4。。的周长=（8。+8。+0））-04（7+力。+0））=8。-4。=5（：01,

v△40C的周长为20cm,

△08C的周长为20+5=25（cm）,

故答案为：25.

【变式2-2]如图，80为△4BC的中线，延长80至。，使0。=08,连接CD,已知BC=6,OC-OD=2,

则△/BC与△QOC的周长差是

【答案】8

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键.先证明

△,4。8三△C。。，根据全等三角形的性质可得力8=C0,再根据三角形的周长公式求解即可.

【详解】解：；8。为的中线，

:.0A=0C,

在AROB和△COD中,

OA=OC

Z.AOB=乙COD

iOB=OD

•••△408三△COD(SAS),

•••AB=CD,

vBC=6,OC-OD=2,

△/BC与△DOC的周长差是AB+BC+OA+OA-(OC+0D+CD)

=.48+6+OC+OC-OC-OD-AB

=6+OC-OD

=6+2

=8,

故答案为：8.

【变式2-3］如图，已知AD、AE分别是AABC的中线、高，且AB=5cm,AC=3cm，则AABD与AADC的

周长之差为.

【答案】2

【分析】AABD与aACD的周长的差=AB-AC,据此答题即可.

【详解】解：Z\ABD的周长=AB+AD+BD,4ACD的周长=AC+AD+CD,

；AD是BC的中线，

.*.BD=CD,

vAB=5cm,AC=3cm,

•••△ABD的周长-4ACD的周长=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=2(cm),

故答案为：2.

【点睛】考查了三角形的中线概念和性质，掌握三角形的中线的概念是解题的关键.

【题型3中线与三角形面积关系】

【例3】（25-26七年级下•辽宁大连・期中）如图，力。是△ABC的中线,DE是△4BD的中线,若△48C的

面积是12,则△力0E的面枳是.

【分析】根据中线与面积的关系可得SaABD=S^ACD=共&说、S4ADE=S&BED=即可求解.

【详解】解：必。是△4BC的中线,

••.BD=CD,

的高相等，△/8c的面积是12,

:，S2ABD~S&4CD=5s△4BC=6，

•••0E是△4B0的中线，

ME=BE,

V△ADE,△BOE的高相等，

:.S^ADE=SMED=2s△48。=3.

【变式3-1]（25-26七年级下•福建泉州•期中）如图,AD是△ABC的中线,若S△.c=6,则S&CD=

【分析】根据三角形的中线的性质即可求解.

【详解】解：•••AD是△ABC的中线,SAABC=6,

'S八ACD=2^^ABC=3.

【变式3-2]（25-26七年级下•上海浦东新•期中）如图，若△ABC的面积为2,且点儿B,。分别是EC、

AF、8。的中点，那么阴影部分的面积为（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转

化为几个已知面积三角形的和即可求解.

【详解】解：如图，连接A。、BF、CF,

•.•点力是EC的中点

EA=AC

SeABE=S&ABC=2

•.•点B是融的中点

FB=BA

AS^CBF~S&ABC=2

•••点C是的中点

:.BC=CD

'S~ACD~SdABC~2

•••点8是4F的中点，^AF=2AB

SQFAE=2s△A.=2X2=4

•・•点C是50的中点,即8O=2BC

S^DBF=2s△cBf=2x2=4

•••点4是EC的中点，即EC=2AC

SQECD~2s△A。。=2x2=4

由图可知，阴影部分的面积为+SMBF+S&ECD

••・阴影部分的面积为4+4+4=12

【变式3-3]（25-26七年级下•四!1|成都•期中）如图1,在AABC中，8E是△A8C的角平分线，。是48边

上一点，连接CD交BE于点凡Z-ADE=2/.EBC=70°,EF=gBF,连接ED.

图1图2

⑴求iBED的度数：

⑵若8M为△8FC的中线，的面积为a,请用字母a表示△8CE的面枳；

⑶如图2,过点C作8E的垂线交直线BE于点G,若CG=5,EF=2,求△DEF的面积.

【答案】（1）35°

⑵券

【分析】⑴因为BE是角平分线，且乙4DE=70。，所以可先求出“BC和心48E的度数；所以可

利用三角形外角定理，结合己求的〃8E的度数，求出N8E0的度数.

（2）因为8M是的中线，所以△"M和△CFM的面积柱等；因为“=前?，所以可利用三角形面

积与底的比例关系，结合ABFM的面积为a,逐步推导△BCE的面积.

（3）先根据CG=5,EF=2,求出SMEF=：•EF•CG=gx2x5=5,可得SABDF=S^EF=5,根据

EF=副凡得SZWEF=*WDF=1-

【详解】（1）解：•••BE是△48C的角平分线，

；zABE=Z.EBC.

-Z.ADE=2Z.EBC=70°,

“EBC=乙ABE=35°.

,-Z.ADE=乙ABE+乙BED,

.*.70°=35°+乙BED,

解得/BED=35°.

(2)解：•••BM是△B/C的中线,

:，SABFC~2s尸M=2a.

•••/在BE上，EF=jBF,△。r8和4。/引司高（以C至ijBE的距离为高）,

SACFE_竺_2.

•豆嬴=而=3,

12a

:*S公CFE=EX2Q=丁.

2a8Q

:，SABCE=S^BFC+SMFE=2a+丁=可

(3)解：-CG1BE,CG=5,EF=2,

••,S^CEF=2•EF-CG=gx2x5=5.

Ftl(1)知阳IBC,

:，S公BDE=SMDE，

:SABDE-SADEF=S^CDE—SADEF，

即S48£)F—S>CEF~5,

,:EF=^BF,

:，SADEF=3^ABDF=3

考点2三角形的角平分线

知识点2三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任

意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.

【题型4直接利用角平分线求度数】

【例4】在△ABC中，乙B=67。,ZC=33°,4。是△48C的角平分线，则4。40的度数为

BDC

【答案】40°

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理.先求出

的度数，再根据角平分线定义求解即可.

【详解】解：•••在△力8c中，乙8=67。，4c=33。

:.乙BAC=18O°-（ZF4-ZC）=180°-（67°+33°）=80°,

•••4D是△ABC的角平分线，

/-CAD=\z-BAC=1X80°=40°,

故答案为：40°

【变式4-1］如图，在中，AD1BC,4E平分48/1C,若，1=40。，Z2=20°,则匕8=.

【答案】30。/3。度

【分析】由力E平分N84C,可得角相等，由=40。，42=20。，可求得4E4D的度数，在直角三角形力8。

中利用两锐角互余即可求解.

【详解】解：平分乙笈4C,乙1=40。，Z2=20°,

=Z.EAD+Z.2,

•••乙£710=Z1-Z2=40°-20°=20°,

.^BAD=zl+/LEAD=40°+20°=60°,

,'AD1BC,

•••△力80为直角三角形，

•&=90。一340=90°-60°=30°.

故答案为：30。.

【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点.理解和掌握三角形的角平分

线和高的定义是解题的关键.

【变式4-2］（25-26八年级上•北京海淀•期中）如图，在△ABC中，AD上BC于点D,AE平分,B4C,交8c

于点E,若48=30°,Z-ACD=70°,求NEME的大小.

【答案】^DAE=40°

【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质是

解题的关键.先根据401BC,4B=30。，算出=60。，再根据三角形外角性质得

乙B4c=70。-30。=40。，又因为4E平分48AC,得乙SHE=：4区4。=20。，再把数值代入

乙=—乙b4E进行计算，即可作答.

【详解】解：•.SD18C,

•ZD=90°,

・2=30°,

・"AD=180°-90°-30°=60°,

•:乙ACD=70°,乙B=30°,

：.^BAC=70°-30°=40°,

•••4E平分N84C,

；ZBAE=\LBAC=1x40°=20°,

^ALDAE=匕BAD—匕BAE=60°-20°=40°

【变式4-3](24-25七年级下•吉林长春•期末)在乙MAN中，点8,C分别是力M,AN匕一点,LABC^LACB

的角平分线交于点P.

(1)如图1,若iMAN=9。°,求NP的度数;

⑵如图2,若NP=241,求N4的度数；

⑶如图3,乙CBM和N8GV的角平分线交于点Q,直接写出4P和/Q之间的数最关系.

【答案】(1)135°

(2)60°

(3)ZP+Z.Q=180°

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

(1)根据三角形内角和求出N/WC+^ACB=90°,再根据角平分线的定义得到4C8P=9ABC,iBCP=\

乙ACB,继而利用三角形内角和代入计算即可；

(2)根据角平分线的定义得到乙。8户=9乙48G乙BCP=T乙ACB,再利用三角形内角和得出4P=90°乙4,

结合乙4代入求解即可；

(3)根据角平分线的定义得至=乙BCP=^ACB,乙CBQ=：乙CBM,乙BCQ=%BCN,继而

推出乙PBQ=乙PCQ=9。°,再利用四边形内角和计算即可得出关系.

【详解】=90°,

LABC+Z.ACB=90°,

•••-8C和44cB的角平分线交于点P,

々CBP=3乙ABC,乙BCP=q^ACB,

:・LP=180°—(4C8P+乙BCP)=180°-^ABC+^ACB)=180°—45°=135°；

(2)•••"18C和4AC8的角平分线交于点P,

Z.CBP=^z.ABC,Z.BCP=\LACB,

Z.P=180°-(zCBP+乙BCP)

。1

=180°-2(乙ABC+44CB)

。1。

=180°--(180a-z?l)

乙

=90°+T4乙

vZP=2/-A,

•••LA.=、P,

zP=90°4-1x/P=90°+%P,

解得：乙p=120°,

ALA==60"；

(3)•••乙48c和41CB的角平分线交于点P,

11

LCBP—2^-ABC,乙BCP=Q乙ACB,

・・•/CBM和MCN的角平分线交于点Q,

:.乙CBQ=；UBM,Z.BCQ=乙BCN,

vLABC+“BM=LACB+乙BCN=180°,

乙PBQ=LPBC+乙CBQ=90°,

同理：/PCQ=90°,

ZP+ZQ=360°-90°x2=180°.

故答案为：ZP+ZQ=180°.

【题型5角平分线结合寸亍线求度数】

【例5】(25-26七年级下•四川成都・期中)如图，点。，E分别在的边AB,4C上，DEIIBC,点尸

在线段CD上，且21=乙B

（2）若平分，4DC,^ACB=2zfi,求证：4DFE=^DEC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）首先根据平行线的性质可判定N/1DE=N8,再结合已知条件可得出N4OE=N1,据此再根据

平行线的判定可得出结论；

（2）首先由（1）得到NAOE=Z1=4B,结合角平分线的定义可得到乙4DE=乙CDE=Z1=48,再由DE||BC

即可得出乙结合4AC8=2,8即可得此上AC。=28=乙1,最后再由三角形的外角定理即

可得出结论.

【详解】（1）证明：VDE||BC,

•••/.ADE=Z.B,

•••/I=

:.Z.ADE=Z.1,

（2）证明：由（1）知：NAZ）E=N1=NB,

•••DE平分〃DC,

:.乙ADE=Z.CDE,

Z.ADE=Z.CDE=Z1=乙B,

vDE||BC,

:.乙CDE=乙BCD,

乙BCD—Z.1—乙B,

-LACB=2Z.B,Z-ACB=/.BCD4-Z.ACD,

LBCD+Z.ACD=2LB,

二Z-ACD=乙B

/.LACD=Z1,

LDFE=^ACD+乙CEF=Z1+乙CEF=乙DEC.

【变式5-1］填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，己知：平分乙1C8,AC\DE,CD||EF,那么“平分乙DEB吗？

解：•••C。平分乙4cB（已知），

.-.zl=42（）,

-AC||DE（已知），

•"•Z.1=Z.,

.-.z2=z3（等量代换），

-CD||EF（已知），

.••z+=z3（）,

Z2=45（）,

•••（等量代换）.

•••£7平分mEB.

【答案】角平分线的定义：3：两直线平行，内错角相等；两直践平行，同位角相等：乙4=乙5

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质进行证明即可.

【详解】解：・.・CD平分乙4cB（已知），

••.Z1=Z2（角平分线的定义）,

"ACIIDE（已知），

•••Z.1=z.3，

:q-乙3（等量代换），

-CD||EF（已知），

=Z.3（两宣线平行，内错角用等）,

Z2=45（两直线平行，同位角二等）,

.•.Z4=Z.5（等量代换）.

.••EF平分N0E8.

故答案为：角平分线的定义；3：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；乙4=45.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解

答本题的关键.

【变式5-2]（24-25七年级下•全国•期中）如图，已知ABIICD,P为直线CD外一点，BF平分乙ABP,DE

平分4CDP,的反向延长线交。E于点£,若//£。=160。，则NP的度数为.

D

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线的定义得出

zl=Z2,43=乙4,平行线的性质得出乙1=乙5,Z6=ZPDC=2Z3,进而根据三角形内角和得出45、

乙FED,再得至ij乙户和乙尸七。的关系却可得到答案.

【详解】解：延长48交P0于点G,延长交C。于点〃，如图所示：

•••BF平分乙/BP,DE平分乙CDP,

•"•Z.1—乙2,Z.3—乙4,

-ABWCD,

=Z.5,乙6=乙PDC=2Z.3,

•ZPBG=180°-2乙1,

•zPBG=180°-2z5,

二45=90。一.4P8G,

•:乙FED=18O°-ZHED,45=180。一乙EHO,Z.EHD+Z.HED4-Z3=180°,

・•.180。一45+180。一乙FED+43=180°,

FED=180。一45+43,

••/FED=180。一（90。一；4PBG）+；土6

1

=90。+5（4P8G+46）

=90°+1（180°-zP）

=180°-1zP,

"FED=160°,

•••180°-匕P=160°

•ZP=40°.

故答案为：40°.

【变式5-3】如图所示，宜线力BIICO,NE平分乙FND,平分/FME,且24E+4F=171。，则4FME的度

数是.

【答案】114。/114度

【分析】设RFMBua,乙END=p,根据角平分线的定义得4FMB=NBME=a,乙END=^FNE=R,

4EWE=2a,Z.FND=2/?,||AB||CD^AFHB=Z.FND=2/?,乙MEP=cBME=a,

乙PEN=幺END=B，由此可得匕MEN=a+0,zF=a-2p,然后根据2乙MEN+乙尸=171。可求出

a-58%据此即可求出乙FME的度数.此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确

识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键.

【详解】解：设NF交AB于点“，过后作EP||48,如图：

•••WE平分N/NO,MB平分乙FME,

•••乙FMB=乙BME=a,乙END=乙FNE=/?,

•••乙FME=2a,乙FND=2/7,

"ABIICD,EP\\ABt

:.EPIIAB||CD,

：2FHB=Z.FND=20,4MEP=乙BME=a,乙PEN=乙END=/?,

AMEN=4MEP+乙PEN=a+0,

又•：乙FMB=乙F+乙FHB,

•••ZF=乙FMB—乙FHB=a-2p,

v2Z.MEN+ZF=171°,

2(a+/?)+a-2p=171°,

:.a=57°,

LFME=2a=114°.

故答案为：114°.

【题型6利用角平分线证明】

【例6】如图，仕A48c'中，AD平分乙BAC,点七位A8上,EtUD,连接。从

(2)若。臼/C,求证：EF平分乙BED.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等，可得乙BEF=tBHD,再根据角平分线得4。。=4切。，等量

代换即可证明；

(2)由(1)知乙BEF=^CAD=%BAC,通过两直线平行，同位角相等，可得乙BED=cBAC,等量代换即

可证明.

【详解】(1)因为"1/。,

所以乙BEF=LBAD,

因为力。平分乙8/1C,

所以4

所以4B石尸=4C4D.

(2)由(1)知乙BEF=^CAD=、BAC

因为。研力C,

所以乙BED=乙84C,

所以乙BEF=g乙BED,

所以平分乙8ED.

【点睛】本题考杳平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【变式6-1](25-26七年级上•江西上饶•期末)已知：如图，在三角形。8/^中，DEJ.BF,0E平分/BOG

点4是线段8。延长线上一点，点C在线段EF上，连接力。交OF于点M,LA=\LBDF.求证：AC1BF.

请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据.

证明：•••/)£平分乙8。凡

:•乙BDE=1乙BDF(①_),

,.Z/1=\z-BDF,

山=乙BDE(②_),

"CII®_(®_)，

"ACB=乙DEB(@_),

,-DE1BF,

"DEB=90°(⑥_),

:4CB=90°,

・••AC1BF.

【答案】

①角平分线的定义；②等量代换；③DE；④同位角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；@

垂直的定义

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义.

根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解.

【详解】证明：ME平分乙8",

MBDE=3乙BDF(角平分线的定义)，

vz/1=/BDF,

.•.乙4=LBDE（等量代换），

--AC||DE（同位角相等，两直线平行），

:•乙ACB=LDEB（两直线平行，同位角相等），

••,DF1BF,

•⑷EB=W（垂直的定义），

・"CB=90°,

;.AC±BF.

【变式6-2］如图，点O,P,。分别在713,ACt8C上，0Q与EP交于〃点，连接。P,已知

Z.0MB+Z.BPC=180°,（C=LPOQ.

⑵若PO是的平分线，乙BPC=24,请判断8P与。Q的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）见详解

（2）BPLOQ,理由见详解

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌

握相关性质内容是解题的关键.

（1）先根据邻补角的性质，得H"8PC=40MP,证明Q。IIAC,结合乙C=40Q,即可作答.

（2）由角平分线的定义得出44Po=NBPO=9/1PB,再进行角的等量代换，得出NBPC=2“，且

^APB+^BPC=180°,得出乙C=45。，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答.

【详解】（1）解：-Z-OMB+ABPC=180°,NOME+4OMP=180。，

：.Z.BPC=^OMP,

:.QO||AC,

:•乙C=乙OQB,

vzC=Z.POQ,

:zOQB=Z.POQ,

.••OP||BC；

（2）解：BPLOQ,理由如下：

•.中。是乙APB的平分线，

•ZAP。=乙BPO=\z-APB,

-OPIIB3

:.（APO=ZC,

-Z.BPC=2Z.C,E.Z.APB+/LBPC=180°,

.-.4zC=180°,

.*.ZC=45°,

・"P0=乙BPO=4=45°

•••OPIIBC

.3BQ=乙BPO=45°,

•:Q0IIAC,

：.Z.0QB=NC=45°,

••・在△BMQ中,乙BMQ=180°-45°-45°=90°,

；.BP工OQ.

【变式6-3］如图，△力8c中，乙BAC的角平分线交BC于D,点厂在4力的延长线上，点E在线段CQ上,

切与力。相交于点G,且48ZM+4CEG=180°.

F

(1)求证:AD||EF,

⑵芳点，在总的延长线上，旦tEDH=^C,则乙〃与乙〃相等吗？请说明理由.

【答案】(1)见详解

(2)£F=Z/7,说明见详解

【分析】(1)根据48/M+NCEG=180。，ZDEF+ZCEG=18O°,可得々R04=N0EF,根据同位角相等，两直

线平行可判定力0IIEF；

(2)根据匕£。“=乙。，可得。H||AC,继而得至IJN"=2EGC,由对顶角N/1GF=NEGC,可得NH=ZAGF,由

(1)40IIE1尸可得4046=乙AG"，乙BAD=乙F,再因为力。是乙%C的角平分线，有4。4。二4上4。，即可证

明，F=4H.

【详解】(1)证明：,.NBD力+/CEG=180°,zDFF+zCFG=180°,

:•乙3DA=^DEF,

：.AD||EF.

(2)解:“=NH,理由如下:

•:(EDH=4C,

:・DH||AC,

；•乙il二乙EGC,

'-Z.AGF=Z.EGC,

'-Z.H=Z.AGF,

-：AD||EF,

-''Z-DAG=/-AGF,Z.BAD=Z.F,

又MD是乙B4C的角平分线，

•'•Z.DAG=Z.BAD,

:.乙F=^H.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答

本题的关键.

考点3三角形的高

知识点3三角形的高

1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

2.三角形的三条高的特性

名称锐角三角形直角三角形钝角三角形

图示二

高在三角形内部的数量31

高之间是否相交相交相交不相交

高所在的直线是否相交相交相交相交

【题型7识别与

三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部

画出三角形的高】

[«7]（25-26九年级下•河北衡水•期中）如图，老师将直角三角尺DEF的一条直角边摆放在的

边上，另一条直角边经过顶点C则。。是八人月。的（）

A.中线B.高线C.角平分线D.中位线

【答案】B

【详解】解：根据题意得：CDLAB,

•••CD是△ABC的高线.

【变式7-1]（25-26七年级下•山西临汾•期中）下列四个图中，线段BE是的高的是（）

【答案】B

【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形岛

的定义线段BE是△48C的高的是:

A

【变式7-2］（25-26七年级下•上海闵行•期中）如图，以下是一位同学将△ABC翻折至阴影处的三种不同折

纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的小。分别是的（）

图(1)图(2)图(3)

A.角平分线、高、中线B.高、中线、角平分线

C.角平分线、中线、高D.中线、角平分线、高

【答案】A

【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案.

【洋解】解：由图（1）中的折叠方式可知，/-BAD=Z,B'AD,

：,力。是△48。的角平分线；

由图（2）中的折叠方式可知，Z-ADB=/-ADB't

vZ-ADB+Z.ADB'=180°,

:.Z.ADB=Z-ADB'=90°,

・•.ADIBB'

AD是△力BC的高线；

由图（3）中的折叠方式可知，CD=BD,

：•AD是△48C的中线.

【变式7-3］如图，H若是AABC三条高AD,BE,CF的交点，贝!Z1BHA中边BH上的高是

【答案】AE

【分析】根据三角形的高的概念艮J可得答案.

【详解】「H若是△ABC三条高AD,BE,CF的交点，

.-.BE1AC,即AEJ_BH,

•••△BHA中边BH上的高是AE,

故答案为：AE

【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形

的高.

【题型8利用等积法求高或边长】

【例8】（25-26七年级下•广东深圳•期中）如图，在△4BC中，=4G4c边上的高8。=4,P为BC上一点,

PE14C于点E,PF1AB于点F,则PE+PF=.

D

【答案】4

【分析】连接力P，=S^ABP+S^ACP=\AB-PF+\AC-PE=\AC-BD,结合力B=AC,即可解

答.

【详解】解：如图，连接AP，

D

贝IJSaABC=S2ABP+S^ACp=^ABPF+^AC-PE,

-AB=AC,

A\AB•PF+\AC-PE=^AC(PE+PF),

又,.BD=4,^ABC=^AC-BD,即%C•BD=、C(PE+P"),

PE+PF=BD=4.

【变式8-1]（25-26七年级下•山东济南•期中）如图，△48C的两条高力0,CE相交于点F.连接并延长

交AC于点、G,若48=8,AC=10,CE=6,则8G=.

【答案】4.8

【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出BG为AC边上的高，利用等面积法建立方程求解即可.

【详解】解：-AD,CE是的两条高，且相交于点F,

.•.BG也是△力BC的高,

.'.BGLAC,

-11

•••S&^c=2AB・CE=2^CBG，

•••48=8,AC=10,CE=6,

.,.^x8x6=1x10xFG,

:.BG=4.8.

【变式8-2]（25-26七年级下•云南昭通・期中）如图，在△ABC中,Z-ACB=90°,CD1AB于点D,

AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm.则点C至必B的距离为（）cm.

12

A.3B.4C.5D.y

【答案】D

【详解】解：根据题意得：S^ABC=1AC-BC=^AB-CD,

,•'AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

x4x3=1x5xCD»

12

解得CD=-rem,

.••点C到48的距离为表m.

【变式8-3]（25-26七年级上•上海•期末）如图所示，在△48C中.沿着过点C的直线折叠这个三角形，使

S1

顶点A落在8c边上的点E处，折痕为CD,并连接DE.如果AB=且满足就宁=彳，边BD=_________.（用

△ABC

含m的代数式表示结果）

【答案】（/0.625a

【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面

积比等于底边比〃推导线段长度.

【详解】解：设S^DE=S，由鬻=£得S△诋=45.

•••△4CD沿着CD折登得到△ECD,

:SAACD~S4ECD，

则S4-2S^ACD=4S,解得SMCD=|s,

35

:，SBhDC—S&BDE+S&ECD=S+=尹•

・••△BDC与△ABC同高（从点C到力8的高），

•••面积比等于底边比，即密=翳，

c^ABC

jsBD

即存=嬴，

5

:.BD=

故答案为：|m.

【题型9高线与三角形面积计算】

【例9】如图，。为△4SC中4C边上的一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是48上的一点，且△4BC的面

积等于△OEC面积的2倍，BE的长为（)

A.1B.3C.1D.不确定

【答案】A

【分析】本题考查三角形的面积（三角形的面积等于底与高乘积的一半），设S》D£=S,根据三角形面积

公式，利用0c=24。得到S^CDE=2S,则=4S,所以=S=^^ABCt再根据三隹形面积公式

即可求出BE的长.解题的关键是掌握三角形的面积公式及同高三角形的面积的转化.

【详解】解：设SaADE=S,

-AD=1,DC=2,即0C=2AD.

•••△CDE和△ADE同高，设高为九i,

'SACDE=9。。•九i=3x2AD•h1=2x^AD-h1=2S^ADE=2S,

•・•△4BC的面积等于△0EC面积的2倍，

:，SAABC—4S,

,:SMBE+S^ADE+^ACDE=S4ABJ

二S&C8E+S+2S=4S,

:SMBE=S=：x4S=5s"BC,

•••48=4,△力BC和ABCE同高，设高为九2，

•h2=3x.h2,

:.BE=9AB=^x4=1.

故选：A.

【变式9-1］如图所示的网格是正方形网格，△月AC的面积—aOE〃的面积.（填“>〃，"=〃或“<〃）.

【答案】=

【分析[根据三角形面积公式：S=|ah,列出算式计算即可求解.

【详解】解：的面积=拉2x3=3,

4DEF的面积=1x2x3=3,

31BC的面枳=△/?£/的面积.

故答案为：=.

【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式.

【变式9-2]（25-26九年级上•河北石家庄•期末）如图，长方形ABCO的面积为60cm2,那么三角形ABE的

面积是（）cn?.

A.18B.20C.30D.36

【答案】A

【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键.连接力C,根据矩形的性质

得出SA48C="长方形A8CD=30cm2,由图可知费=利用三角形面积公式即可得答案.

【详解】解：如图，连接4C,

'、、、

、、

K、、

•••长方形A8CZ）的面积为60cm,

12

:，SXABC=5s长方形48CD=30cm,

,BE3

由图可知正二g,

S4^BE_BE3S»8E_2

==5,

,■,^7LBC.AB=即3。=5，

解得：S^ABE=18.

故选：A.

【变式9-3］（24-25八年级上•河南三门峡•期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三

角形面积公式的出入相补法.如图1,在△4BC中，分别取A8,4c的中点。，E,连接CE,过点川乍

AF1DE,垂足为尸，将△4BC沿虚线分割后拼接成长方形BCHG,如图2.若0E=6,力/=4,则△4BC

的面积是.

（图1）（图2）

【答案】48

【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出8C以及8C边上的高

即可解决问题.

【详解】解：由题意得：BG=AF=CH=4,GD=DF,EF=EH,

•••DG+EH=DE=6,

•••8c的边上的高为8G+AF=4+4=8,BC=GH=2DE=S,

•••S.ABC=5x12x8=48,

故答案为：48.

【题型10利用高线求角的度数】

【例10】（25-26七年级下•重庆・期中）如图所示，在△ABC中，40是△48。的角平分线，CE是△林。的

高，Z.ABC=42°,Z-ADC=Z.ACD,则40CE=

A

【答案】16

【分析】设NB4D=Z.CAD=a,可得44DC=Z.ACD=1(180°-a)=90。一;a,结合

Z/1DC=Z-B+^BAD=42°+a,再进一步求解即可.

【详解】解：是△/18C的角平分线，

.设/■B/IO=Z.CAD=a,

,:乙ADC=^.ACD,

"DC=^ACD=1(180°-a)=90°-1a,

,:乙ADC=Z.B+乙BAD=42°+a,

•••90。3=42。+。，

解得：a=32。，

.••乙40。=42。+32。=74。，

•••CE是△4CO的高，

；ZCED=90°,

心CE=900-74。=16°.

【变式10-1](25-26八年级上•云南昆明・期末)如图，在△48C中，4。是高，CE是角平分线，AD,CE相

交于点0,且284c=60°,zfi=70°.

⑴求乙R4D的度数:

(2)求心AOC的度数.

【答案】⑴20。

（2）115°

【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形

的高与底边垂直是解题关键.

（1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出乙84。；

（2）根据月20。，乙84?=60。求;I"&4。，再结合直角三角形两锐角互余求;然后利用角平

分线定义和三角形内角和定理，R】可求HkAOC.

【详解】（1）解：•••在△ABC中，AD是高，

^ADB=90°,

v乙B=70°,

:.匕BAD=90°-70°=20°.

答：/.BAD=20°.

（2）解：由（1）知4—20。，aADC-90%

vZ.BAC=60%

・••LCAO=60°-20°=40°,

^ACD=90°-40°=50°,

vCE平分乙力。8,

Z.ACO=\z-ACB=25°,

二^AOC=1800-/.CAO-^ACO=180°-40°-25°=115°.

答：Z-AOC=115°.

【变式10-2】己知，如图所示，力。是△48C的角平分线，0E是△/WC的高，且乙4OE=68。，zB=105。.

⑴求NZME的度数;

⑵求”的度数.

【答案】（1）22°

(2)31°

【分析】本题考查三