第九章 不等式与不等式组（8类压轴题专练）-人教版七年级数学下册

第九章不等式与不等式组（压轴题专练）

【题型一根据一元一次不等式的定义求参数的值】

例题：（2223八年级下•河南郑州•期中）已知痴是关于x的一元一次不等式，那么

m=.

【变式训练】

1.（2023七年级下•全国・专题练习）若关于x的一元一次不等式3a>2,则。的值（）

A.-1B.1或一!C.-1或-1D.

2.（22・23七年级下•湖北武汉•阶段练习）已知白〃+3）/-2+6〉0是关于x的一元一次不等式，

则m的值为.

3.（22.23八年级下•重庆南岸•阶段练习）关于x的不等式（。-4）/7+1>0是一元一次不等式,

则不等式的解集为.

4.（2023下•黑龙江齐齐哈尔•七年级统考期末）若（〃-2））13+29>0是关于丁的一元一次不等

式，贝M的值为.

【题型二根据一元一次不等式的解集求参数】

例题：（2324八年级上•浙江温州•期中）如果关于工的不等式21+1<〃的正整数解仅为1,2,3,

那么整数。的所有取值之和是.

【变式训练】

1.（2324七年级上•江苏苏州•阶段练习）不等式的解集为x>3,则根的值

为.

2.（2024下.全国.七年级假期作业）已知关于/的不等式工>与的解集在数轴上的表示如图

所示，则。的值为.

—«——।—>—»~~»

-2-1012

3.（2023•黑龙江大庆・统考三模）若关于x的一元一次不等式工-2<〃+3有且只有5个正整数

解，则〃的取值范围是.

【题型三利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】

例题：（2023下•四川巴中•七年级统考期末）关于x的不等式组仅有4个整数解，则

J-ZXN—1

a的取值范闱为.

【变式训练】

i.（2024上.山东滨州•七年级统考期末）关于x的不等式组1的整数解仅有4个,

OX-1<JX+Z

则〃7的取值范围是.

2.（2024上.浙江绍兴•八年级统考期末）若关于的不等式组]:一；;二只有一个整数解，则实

J-LXscU

数。的取值范围是.

x-3（x-2）<2

3.（2023上•四川成都・八年级校考阶段练习）若关于x的不等式组”生恰有三个整数

解，则实数。的取值范围是

2x+5令

------->x-3

4.（2024下•全国•八年级专题练习）关于x的不等式组<々无整数解,则实数。的取

3x+2

----<x+a

4

值范围是_____________

【题型四根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】

例题：（2024上.陕西西安.八年级陕西师大附中校考期末）若不等式组;R的解集为

XZJ

则。的取值范围是.

【变式训练】

2v-4>0

1.（2024上.湖南常德•八年级校联考期末）若不等式组•]<二有解，则”的取值范围

是.

2.（2023下•山东淄博•七年级统考期末）已知关于x的不等式组的解集为-1<工<2,

则"的值为.

2x+3>x+m

3.（2023下•山东荷泽・九年级统考期中）已知关于x的不等式组2x+5、无解，则”的

------3Q<2-x

3

取值范围是.

【题型五整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题】

例题：（2324七年级上.重庆北倍・期末）己知关于H丁的方程组产；3：32解满足r+）,>7,

XI2y=22Ar

则A的取值范围是.

【变式训练】

1.（2324八年级上•黑龙江佳木斯•开学考试）已知方程组卜：尸：3雨的解满足》）,<（）,则

〃，取值范围是.

2.（2023上.江苏淮安.八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于3的二元一次方

程的解满足x+），>4,求A的取值范围.

2x+y=4^

3.（2023下•四川达州•八年级校考阶段练习）已知关于…的方程组.I二"的解适合不

等式求”的取值范围.

【题型六整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题】

例题：（2024上.浙江宁波.八年级宁波市第七中学校联考期末）若数。既使得关于心的二元

3工一5

>x+a

3二；二3有正整数解,

一次方程组又使得关于x的不等式组I?的解集为XN15,

<-3

9

那么所有满足条件的。的值之和为

【变式训练】

1.（22-23七年级下•河南周口・期末）已知关于x、y的二元一次方程组：一尸"：的解满足

2r+y=5〃

2x+l<2a

且关于x的不等式组2x7、3无解，则。的取值范围是_____.

14一7

x+1<2x+5

2.（22.23七年级下•河南周匚•阶段练习）若整数。使关于x的不等式组〒一丁至少有4

x-2>a

ax—2v=0

个整数解，且使关于X、）的方程组（।=4的解为整数，那么满足条件的整数。的值为

3.（2023下湖南长沙七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）已知关于1、

2x-y=l+2a

），的方程组，

x+4y=2+a

⑴若此方程组的解满足-l<x+）”3,求a的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若关于，"的不等式2卬〃-〃?>勿-1的解集为〃?<1,求满足条件的。的整

数值.

【题型七二元一次方程组与一元一次不等式组综合解决实际问题】

例题：（2324八年级下.湖南株洲.期末）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球

队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个6品牌的足球共需38（）元；购买4个A

品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.

⑴求A,B两种品牌的足球的单价.

⑵2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多

于8品牌足球数量的2倍，有几种购买方案.

【变式训练】

1.（2324八年级上.浙江温州.阶段练习）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招

标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和5套B型课

桌凳共需1640元.

⑴求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

⑵学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课

桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的;,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买

方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费.

2.（23,24八年级上.浙江金华•期中）某旅游景点的一个商场为了抓住旅游旺季的商机，决定

购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种

纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元.

（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？

⑵该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些

纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品乂不能超过55件，则该商场共有儿种进货方

案？

⑶若销售每件甲种纪念品可获利3（）元，每件乙种纪念品可获利12元，在笫（2）问中的各

种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

3.（2223七年级下.云南曲靖.期末）阅读下列信息：

信息一：为了喜迎党的二十大召开，某校在今年5月举行了党的知识竞赛，竞赛试卷共25道

题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错

扣2分，得分不低于80分者获奖.

信息二：为奖励获奖同学，学校准备购买A、8两种型号的书包作为奖品，已知购买3个A

型书包和2个B型书包需520元，购买4个A型书包和买6个B型书包所花的钱一样多.

信息三：学校准备用不超过1000（）元的钱来完成这次活动（用于活动材料费及购买奖品），其

中活动材料费刚好用了1800元，剩余的钱用于购买两种型号的书包共90个作为奖品，其中

A型书包的数量不低于B型书包数量的;.

解答下列问题：

⑴李楠同学是获奖者，他至少应选对几道题？

⑵求4型书包和B型书包的单价；

⑶请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用.

【题型八一元一次不等式组与平面直角坐标系的综合问题】

例题：（2223七年级下.江苏南通.阶段练习）对于平面直角坐标系宜办中两个不重合的点

N,给出如下定义：若点也到两坐标轴的距离中的最大值与点N到两坐标轴的距离中的最大

值相等,则称M,N两点为“远等点例如：点”(L3)与点西-3,-2)即为“远等点:

⑴已知点A坐标为(T,3).

①在点0(0.4),2(4,-4),仪-2,-3)中，为点A的“远等点”的是______；

②若点3坐标为(x,x+6),A,B两点为“远等点”，则点B的坐标为；

⑵己知点C坐标为(Tt〃-3),点。坐标为(4,4〃?-3),其中〃?>0,若C,3两点为“远等点”,

求"7的值.

【变式训练】

1.(22-23七年级下•福建厦门・期末)在平面直角坐标系xQv中，正方形A8CZ)的顶点A,B的

坐标分别为，(nijn-5).

⑴当〃7=1,若正方形A8CD在)，轴右侧，直接写出点。，点。的坐标；

⑵若点P(2〃?+l,〃­3)在正方形ABCO的内部(不含边界)，求相的取值范围.

2.(22-23七年级下•北京门头沟•期末)对于平面直角坐标系宜万中的任意一点外兀)，)，给出

如下定义：如果。=；公2,2，=；y+l,那么点例(。⑼就是点尸的“关联点”.

例如，点尸(6,2)的“关联点”是点"(L2).

耳

3-

2-

1-

1II1I

-3-2-1012345x

-1

2

-3

⑴点A(2,l)的“关联点”坐标是;

⑵将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点C,如果点C，与点C的“关

联点''互相重合，求点。的坐标；

⑶设点。(％-2)的“关联点”为点加，连接如果线段。。与y轴有公共点，直接写出〃的取

值范围.

第九章不等式与不等式组（压轴题专练）

【题型一根据一元一次不等式的定义求参数的值】

例题：（2223八年级下,河南郑州•期中）已知3m-2/+，”>1是关于x的一元一次不等式，那么

m=

【答案】-1

【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以2+切=1,求解即可；

【详解】解：根据题意得：2+〃,=1,

解得：〃?=T.

故答案是：

【点睛】本题主要是对一元一-次不等式定义的“未知数的最高次数为1次''这一条件的考查

【变式训练】

1.（2023七年级下•全国•专题练习）若关于x的一元一次不等式2a->2,贝心的值（）

A.-1B.1或-§C.-1或-§D.——

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可.

【详解】解：/.刈>2是关于x的一元一次不等式，

.'.|2+3«|=1,

17

故选：C.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知

数的次数是1,未知数的系数不为0,左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式.

2.（22.23七年级下•湖北武汉•阶段练习）已知发机+3）/-2+6>0是关于x的一元一次不等式，

则"2的值为.

【答案】3

【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可.

【详解】•・・3（〃?+3）产-2+6>0是关于上的一元一次不等北

="?+3/0,

解得：〃?=3,

故答案为：3.

【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的美

键.

3.（2223八年级下•重庆南岸•阶段练习）关于x的不等式（〃-4）/7+1>。是一元一次不等式,

则不等式的解集为.

【答案】x<l

【分析】先根据一元一次不等式的概念得出。的值，代入不等式，解之可得.

【详解】解：*•不等式（。-4）卅号1>0是一元一次不等式，

fl-3=1._

“4”解得…=2,

则不等式为:—2x+1>0

解得：x<；，

故答案为：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一

元一次不等式的步骤.

4.（2023下•黑龙江齐齐哈尔七年级统考期末）若（，-2）），33+29>（）是关于的一元一次不等

式，贝IJ〃的值为.

【答案】-2

【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最

高次数为1次列式求解即可得到答案.

【详解】解：•••（〃-2）/、29>0是关于的一元一次不等式，

F2二,»解得〃=-2,

[n-3=1

故答案为：-2.

【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求

解是解决问题的关键.

【题型二根据一元一次不等式的解集求参数】

例题：（2324八年级上.浙江温州•期中）如果关于x的不等式2x+l<a的正整数解仅为123,

那么整数。的所有取值之和是.

【答案】17

【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，

求出不等式的解集，根据题意得出3Vm",即7<a«9,求出。为8,9,即可求得整数。的

所有取值之和为17.

【详解】解：2x+\<at

2x<a-\,

•.•关于x的不等式2x+l〈。的正整数解仅为123,

_（i—\..

：.3<44,

2

/.7<«<9,

•.整数a为8,9,其和为8+9=17,

故答案为17.

【变式训练】

1.（2324七年级上•江苏苏州•阶段练习）不等式;的解集为x>3,则冽的值

为•

【答案】3

【分析】考查了解一元一次不等式，和解一元一次方程组，根据不等式的解集为x>3列出关

于机的方程是解题的关键.先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合

并同类项求出工的取值范围，再与己知解集相比较即可求出加的取值范围.

【详解】解：去括号得：

移项得：

合并同类项得；9>3-

系数化为1得；x>9-2,〃，

・•・不等式的解集为x>3.

/.9—2w=3.

解得：〃?=3

故答案为：3.

2.（2024下•全国•七年级假期作业）已知关于x的不等式”>“丁的解集在数轴上的表示如图

所示，则a的值为.

工-J.11L»

-2-1012

【答案】1

【解析】略

3.（2023•黑龙江大庆•统考三模）若关于x的一元一次不等式x-2<〃+3有且只有5个正整数

解，则〃的取值范围是.

【答案】0<，臼

【分析】先解不等式3,从而可得x<5+〃，然后根据题意可得5<〃+546,从而进行

计算即可解答.

【详解】解：•；x-2<〃+3,

x<2+/7+3,

x<5+n,

•・,关于x的一元一次不等式x-2<〃+3有且只有5个正整数解，

5</?+5<6,

0</?<I,

故答窠为：o<〃wi.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的

关键.

【题型三利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】

例题：（2023下•四川巴中•七年级统考期末）关于X的不等式组仅有4个整数解，则

。的取值范围为.

【答案】-2<a<-\

【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，

同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了.首先解不等式组，即可确定不等式组的整数

解，即可确定”的范围.

【详解】解：仔祟*,

由①得：x>“，

由②得：x<2.

•.•不等式组有四个整数解，

・•.不等式组的整数解是：T,0,1,2.

则实数。的取值范围是：-2<a<-\,

故答案为：-2<a<-\.

【变式训练】

1.（2024上.山东滨州.七年级统考期末）关于x的不等式组0的整数解仅有4个,

6.r—1<5.v4-2

则"?的取值范围是.

【答案］\<m<2/2>m>\

【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的

关键.先解不等式组，再根据仅有4个整数解，得出关于〃?的不等式，求解即可.

【详解】解：6x-l<5x+2

解得：x<3,

•.・关于X的不等式组「的整数解仅有4个，

6.V-1<5.v+2

解得：\<m<2t

故答案为：1W，〃V2.

2.（2024上.浙江绍兴.八年级统考期末）若关于的不等式组一；"：只有一个整数解，则实

3-2x>0

数。的取值范围是.

【答案】0<«<1

【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的

方法.先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于工的不等式组只有一个整

3-2x20

数解，即可得到，的取值范围.

x-a>0①

【详解】解:

3-2x20②

解不等式①，得：”之明

解不等式②，得：xW，

・••关于X的不等式组3-2「。只有一个整数解,

?.0<A<1,

故答案为：Ova«l.

x-3(x-2)<2

3.(2023上•四川成都・八年级校考阶段练习)若关于x的不等式组〃+2x恰有三个整数

------>x

4

解，则实数。的取值范围是.

【答案】8<a<10/10>tz>8

【分析】此题考查了不等式组的解法，同时能够根据它的整数解正确分析其字母的取值范

围.首先熟练解得每个不等式，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得数

。的取值范围是.

x-3(x-2)W2①

【详解】解：(a+2x分

-----八②

4

由①，得"2；

由②，得

根据题意，得它的三个整数解只能是2,3,4,所以4〈怖45,

解得：8<«<1().

故答案为；8<«<IO.

2x+5

>x-3

(2024下.全国.八年级专题练习)关于x的不等式组［3

4.无整数解，则实数。的取

3x+2

<x+a

值范围是.

【答案】a<-^

4

【分析】本题主要考查了不等式组的解集问题，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方

法.先分别求出两个不等式的解集为，然后分两种情况进行讨论：当不等式有解时，当不等

式无解时，分别求出结果即可.

2戈+5

>x-3①

—

【详解】解:

31+2

<x+a©

~7~

由不等式①.得：x<14.

由不等式②，得；x>2-4af

当不等式有解时，13<2-4«<14,

解得：

4

当不等式无解时，2-4«>14,

解得：a<—3；

综合可得，实数。的取值范围是〃工-日.

【题型四根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】

r>//

例题：（2024上.陕西西安.八年级陕西师大附中校考期末）若不等式组、的解集为

x>-3

则。的取值范围是.

【答案】/-3

【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小

大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键.根据确定解集的方法即可得到答案.

【详解】解：.不等式组卜:*的解集是"明

x>-3

•0•a2—3.

故答案为：a>-3.

【变式训练】

?-4>（）

1.（2024上.湖南常德.八年级校联考期末）若不等式组•v一有解，则”的取值范围

x<m

是.

【答案】心2

【分析】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关

键.求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得加的取值范围.

【详解】解：解不等式2x-42,得让2

因不等式组有解，

・•・当，心2时，满足不等式组有解

故答案为：〃?>2

2.（2023下•山东淄博•七年级统考期末）已知关于x的不等式组厂R的解集为-K2,

xI3>2

则a的值为.

【答案】1

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，

再结合已知不等式组的解集得出关于〃的值.

【详解】解：解不等式得：

解不等式x+3>2,得：x>~],

・・・不等式组的解集为T<三1”，

•・•不等式组的解集为-1<XW2,

；・a+1=2,

解得a=\,

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大

取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不至广的原则是解答此题的关键.

2x+3>x+m

3.（2023下•山东荷泽•九年级统考期中）已知关于”的不等式组2x+5°°无解，则"，的

------3<2-x

3

取值范围是.

【答案】m>5/5<m

【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，得出关于〃।的不等式，进

行计算即可得到答案.

2x+3>x+w®

【详解】解：|亨-3<2.田

解不等式①得，

解不等式②得，2x+5-9<6-3x,

2A+3X<6+9-5,

5x<10,

x<2,

2x+3>x+m

・•・关于x的不等式组2x+52。无解，

------3<2-x

3

：.m-3>2,

m>5,

故答案为：〃后5.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大

取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

【题型五整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题】

2x+3y=3k

例题：（2324七年级上.重庆北硝.期末）己知关于大，的方程组x+2)，=2-2k的解辆足”

则左的取值范围是.

【答案】y

【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解.先解方程组得到X=毋+123

"4-7k,相加可得到戈+），=-2+53所以—2+5Q7,然后解不等式得到我的取值范围.

2x+3y=3k①

【详解】解:

x+2y=2-2k@

②x2-①得y=4-7A,

将），=4一7攵代入②，得x+2（4—7攵）=2—23

解得户-6+123

x+y=-2+52

j+y>7,

••.-2+5Q7,

o

解得

即攵的取值范围为

9

故答案为：k>..

【变式训练】

3一；+3雨的解满足x+）,<0,则

1.（23-24八年级上•黑龙江佳木斯•开学考试）已知方程组

r+3y=1-w

〃?取值范围是.

【答案】m<-\

【分析】两方程相加，得x+y=g（〃?+l）<0,求解即可.

3x+y=1+3〃/①

【详解】解:

x+3y=1-〃?②

©+②得，4(x+y)=2+2m,

・，・x+y=—（///+1）<0

解得m<-\.

故答案为：〃?<T.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，不等式的求解；熟练掌握相关知识是解题

的关键.

2.（2023上•江苏淮安•八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于x,丁的二元一次方

程的解满足…—求攵的取值范围.

2x+y=44

【答案】我>2

【分析】①+②得，3X+3），=6A,进而可得x+y=2Z,根据已知条件，列出不等式，解不等式,

即可求解.

x+2y=2k®

【详解】解:

2x+y=4k®

①+②得，3*+3），=6A,

x+y=2k,

・.・x+y>4,

,2k>4,

解得：k>2.

【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求一次不等式的解集，得出"y=24是

解题的关键.

x-2y=a+\,,、一人一

3.（2023下•四川达州•八年级校考阶段练习）已知关于X、y的方程组[x+y=2a-1的解适合不

等式求。的取值范围.

【答案】〃〉；

【分析】由已知方程组可得级-丁=3〃，再代入不等式2x-y>l中即可求出a的取值范围.

【详解】解:

由①+②得：2x-y=3cif

3a>1,

所以。.

J

【点睛】本题考查的是二元一次方程组及一元一次不等式的解法，根据题意求出版-丁=3〃是

解答此题的关键.

【题型六整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题】

例题：（2024上.浙江宁波.八年级宁波市第七中学校联考期末）若数。既使得关于x、V的二元

3.r-5

_£------->x+a

一次方程组2Q有正整数解，又使得关于X的不等式组R2的解集为X215,

3x-2y=a+3>3-2x,

----S-3

9

那么所有满足条件的a的值之和为.

【答案】-15

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，先解

x=3+-

二元一次方程组可得：§,再解一元一次不等式组，从而可得2Q+5V15,进而可得：a<5,

V=32--0

r5

然后根据己知二元一次方程组有正整数解，从而可得x=3+1是正整数且），=3-1也是正整数,

J0

进而可得1=0,-5或-1（）,最后进行计算即可解答.

A+y=6

【详解】解:

3x-2y=。+3

x=3+—

解得：:，

）'=3——

U5

>x++①

2

』.3②’

9

解不等式①得：x>2a+5,

解不等式②得：x>15,

・・•不等式组的解集为xN15,

2a+5<15,

解得：a<5,

•・•二元一次方程组有正整数解，

・・・x・3q是正整数且y-31也是正整数,

/.«=0,-5或-10,

・••所有满足条件的。的值之和=。+（-5）+（-10）=75,

故答案为：-15.

【变式训练】

1.（2223七年级下•河南周口・期末）已知关于x、N的二元一次方程组。）一<的解满足x>）'

2x+y=5a

2x+\<2a

且关于x的不等式组2x7、3无解，则。的取值范围是.

nr-?

【答案】-3<a<4

【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出。的范围，即可求

解.

x=2a+\

【详解】解方程组中得:

2iy=a-2

・・•方程组的解满足“〉y

2a+\>a-2,解得〃>-3

2x+1<2。x<a——

解不等式组2x-1、3得：72

147卜，

2x+l<2a

•・•关于x的不等式组2x7、3无解

nr-?

I7

解得a«4

—3<a«4

故答案为：-3<«<4.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，

能求出。的取值范围是解此题的关键.

x+1<2x+5

2.（2223七年级下•河南周匚•阶段练习）若整数。使关于x的不等式组尸一丁至少有4

x-2>a

av—2V=0

个整数解，且使关于小），的方程组仁+）:4的解为整数，那么满足条件的整数。的值为

【答案】70或Y或T

。的解为整数得到

【分析】根据不等式组求出。的范围，然后根据关于X，y的方程组

〃+2=-8或。+2=-4或。+2=-2,据此求解即可.

x+1<2x+5

©

【详解】解：26

x-2>a®

解不等式①得，x<2

解不等式②得，x>"2,

x+\<2x+5

・••不等式组26至少有4个整数解,

••。+2〈—19

••av-3,

ax-2y=0@

解方程组J

y-4@'

8

③+④x2得：（〃+2）x=8,解得X=

a+2'

将户为代入②得:8+尸4,解得，二工

。+2

8

x=-------

•••方程组的解为：a+2

4a

y=-------

'a+2

V«<-3,

••a+2V—19

办一2）；°的解为整数,

••・关于X，的方程组

x+y=4

.，.a+2=-8或a+2=-4或a+2=-2,

（i=-10或a=-6或。=-4,

4a

当。=—10时，4a=-40,a+2=-8,此时y=

~a+25是整数，符合题意;

4a

当a=-6时，4<7=-24,6/+2=-4,此时y=6是整数，符合题意;

a+2

4。

当〃二-4时,46/=-16,a+2=-2,此时）”=8是整数，符合题意;

a+2

「•所有满足条件的整数，的值为-10或-6或T,

故答案为：-10或-6或-4.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组

以及二元一次方程组求出〃的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的

解法.

3.（2023下•湖南长沙•七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）己知关于X、

生、ek（2x-j=l+2zz

y的方程组4,4..

x+4y=2+a

⑴若此方程组的解满足-1<八十，二3,求〃的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若关于〃，的不等式2,〃〃-〃。%-1的解集为〃?<1,求满足条件的。的整

数值.

【答案】⑴-2<a«2

（2）-1.0

【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；

（1）根据一夕ij出关于〃的不等式，叫解得〃的范围；

（2）结合（1）,由。为整数，可得。的值.

2x-y=\+2a®

【详解】（1）,

x+4y=2+a②

①+②得：3x+3y=3+3〃,

<+y=1+a,

,.•-I<x+y43,

—I<1+47<3»

解得-2<a<2；

（2）v关于m的不等式加一1的解集为加<1»

/.2A-1<0,

1

2

V-2<«<2,

rI

-2<ci<一,

2

,满足条件的〃的整数值是-1、0.

【题型七二元一次方程组与一元一次不等式组综合解决实际问题】

例题：（23・24八年级下.湖南株洲.期末）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球

队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个6品牌的足球共需3X0元；购买4个A

品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.

⑴求4,B两种品牌的足球的单价.

⑵2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买A品牌足球的数量不多

于8品牌足球数量的2倍，有几种购买方案.

【答案】⑴A品牌的足球的胆价为4（）元/个，H品牌的足球的单价为1（）0元/个.

⑵有7种购买方案.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于八

丁的二元一次方程组；（2）根据总价=单价x数最，列式计算.

（1）设A品牌的足球的单价为x元/个，8品牌的足球的单价为元/个，根据“购买2个A品

牌的足球和3个8品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个8品牌的足球共需

360元”，即可得出关于八）的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总价=单价x数量，列式计算，即可求出结论.

【详解】（1）设A品牌的足球的单价为x兀/个，。品牌的足球的单价为）'兀/个，

2x+3y=380

根据题意得:

4x+2y=360

x=40

解得：,

y=100

答：A品牌的足球的单价为40元/个，8品牌的足球的单价为100元/个.

（2）设购买A品牌足球〃个，则购买8品牌足球（100-。）个.

」40«+100(100-6/)<6400

・X可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.

答：有7种购买方案.

【变式训练】

1.（23・24八年级上.浙江温州•阶段练习）某中学计划购买4型和8型课桌凳共200套，经招

标，购买一套A型课桌凳比购买一套8型课桌凳少用40元，且购买3套A型和5套B型课

桌凳共需1640元.

⑴求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？

⑵学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课

桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的；，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买

方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费.

【答案】(1)购买A型需180元/套，8型需220元/套

⑵共有3套购买方案；当购买A型80套，8型120套时，费用最低，为40800元.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是能

找准等量关系，

(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组求解即可；

(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组并求解即可.

【详解】(1)设A型课桌凳〃元/套，B型课桌凳。元/套

。=b-4。

则

3。+58=1640'

67=180

解得＜

/?=220

答：购买A型需180兀/套，B型需22()兀/套.

(2)设购买A型x套，B型(200-x)套.

180x+220(200-x)<40880

则2z、

x<-(200-x)

x>78

解得

xW80

78<JT<80

乂,・”是整数,

・・.x=78,79,8().

当x=78时，费用为40880元;

当x=79时，费用为40840元;

当x=80时，费用为40800元;

答：共有3套购买方案：当购买A型80套，8型120套时，费用最低，为40800元.

2.(2324八年级上.浙江金华・期中)某旅游景点的一个商场为了抓住旅游旺季的商机，决定

购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种

纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元.

⑴购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元?

⑵该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件,并日考虑市场需求和资金周转,用干购买这些

纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过55件，则该商场共有几种进货方

案？

⑶若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第(2)问中的各

种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)购进甲乙两种纪念品每件各需8()元和40元

⑵共有6种进货方案

⑶购进甲种纪念品55件，购进乙种纪念品45件利润最大，最大利润为219()元

【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用.

(1)设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和)，元，根据购进甲种纪念品1件、乙种纪念品

2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元，列出二元一次方

程组进行求解即可；

(2)设购进甲种纪念品机件，则乙种纪念品件，根据题意，列出不等式组进行求解

即可；

(3)根据甲的利润