第1课时　三角形的内角和定理

数学八年级上册(RJ)13.3三角形的内角与外角13．3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和定理教师备课素材示例●情景导入用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B，C为定点，A为动点(如图所示)，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们观察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC，……，其内角会产生怎样的变化呢？从中你对△ABC三个内角的和有何猜想呢？在小学我们通过测量的方法得到三角形的内角和是180°，有没有能证明三角形的内角和是180°的方法呢？【教学与建议】教学：创设情景，激发学生的学习兴趣，引出本节课要研究的内容．建议：教师进行演示试验，在观察的基础上猜想三角形的内角和是180°.●归纳导入如图①，将△ABC的三个内角剪下，随意将它们拼合在一起，你有几种拼合方法，经过拼合你能发现什么？如图②，把三个角的顶点重合、观察，发现三角形的三个内角的和为180°.如图③，过点A作一条与BC平行的直线，你能通过推理发现三角形的三个内角的和为180°吗？eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图③))【归纳】三角形的内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．【教学与建议】教学：推理验证，主体探究，探索三角形的内角和等于180°.建议：教师要留给学生足够的时间和空间，让学生自主探索解决方案．●置疑导入多媒体展示：(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说：“凭什么你的度数最大，我也要和你一样大！”老大说：“这是不可能的，否则我们这个家庭就要被拆散，围不起来了！”“为什么呢？”老二、老三纳闷起来……同学们，你们知道其中的道理吗？【教学与建议】教学：通过创设问题情景导入课题，为本节课顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备．建议：学生自主回答，小组讨论怎么证明三角形内角和定理．·命题角度1根据三角形各角之间的关系求角的度数此类问题主要是利用三角形的内角和定理构建方程进行计算．【例1】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则这个三角形是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判定【例2】如图，△ABC的三个内角的大小分别为x°，x°，3x°，则x的值为__36__．·命题角度2三角形的内角与角平分线和高的综合运用三角形的内角和定理往往与三角形的高和角平分线相结合，综合平行线的性质，运用等量代换解决问题．【例3】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为(C)A．44°B．40°C．39°D．38°【例4】如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，则∠B的度数是__50°__．·命题角度3三角形内角和定理的证明证明三角形的内角和定理，可以用拼合法、平行线的方法设法把三个角集中在一起转化成平角．【例5】如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点A作EF∥BC.∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°.高效课堂教学设计1．探索并掌握三角形的内角和定理．2．学会运用三角形的内角和定理．▲重点三角形的内角和定理．▲难点三角形的内角和定理的推导过程．◆活动1新课导入1．问题：三角形的内角和是多少度？2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__．3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__．本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．◆活动2探究新知1．现在有一副三角尺．提出问题：(1)每个三角尺的每个角各是多少度？(2)每个三角尺三个内角的和各是多少度？(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？学生完成并交流展示．2．教材P11探究．提出问题：(1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？(2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？(3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？(4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳三角形的内角和定理：__三角形的内角和等于180°__．◆活动4例题与练习例1教材P12例1.例2教材P12例2.例3若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的eq\f(2,3)，也是第三个内角∠C的eq\f(4,5)，求△ABC三个内角的度数．解：由题意，得∠A＝eq\f(2,3)∠B，∠A＝eq\f(4,5)∠C，∴∠B＝eq\f(3,2)∠A，∠C＝eq\f(5,4)∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋eq\f(3,2)∠A＋eq\f(5,4)∠A＝180°，∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.例4如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C，即∠1＋∠2＝2∠C.练习1．教材P13练习第1，2题．2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°eq\o(\s\up7(),\s\do5((第2题图)))eq\o(\s\up7(),\s\do5((第3题图)))3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(A)A．40°B．35°C．50°D．45°4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP，∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.◆活动5课堂小结三角形的内角和定理．1．作业布置(1)教材P16～17习题13.3第1，3，7，9题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是()A.3cm,4cm,8cm B.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cm D.13cm,12cm,20cm2.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上的一点,延长CA到点E,连接EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是()A.∠1>∠2>∠3 B.∠2>∠3>∠1C.∠3>∠1>∠2 D.∠3>∠2>∠13.一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是()A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对4.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的长度之差为()A.2cm B.3cm C.6cm D.12cm5.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD的度数是()A.145° B.150° C.155° D.160°6.若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7 B.10 C.35 D.707.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,则∠1的度数为()A.75° B.65°C.45° D.30°8.如图,直线l1∥l2,且l1,l2被直线l3所截,∠1=∠2=35°,∠P=90°,则∠3等于()A.45° B.50°C.55° D.60°二、填空题9.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.10.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°,且∠AEF=∠AFE,则∠A的度数是.11.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则α的度数是.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=45°.直线l与边AB,AD分别相交于点M,N,则∠1+∠2的度数是.

三、解答题13.如图,在△ABC中,BD是角平分线,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,连接DE,GF,且满足GF∥BD,∠1=∠2,若∠AED=70°,求∠2的度数.14.如图,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.15.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.16.问题引入:(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示),并说明理由.

(2)如图②,∠CBO=13∠ABC,∠BCO=13∠ACB,若∠A=α,则∠BOC=(直接写出,用α表示)(3)如图③,∠CBO=13∠DBC,∠BCO=13∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由类比研究:(4)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=1n∠DBC,∠BCO=1n∠ECB,若∠A=α,请猜想∠BOC=(直接写出,用α表示)综合训练一、选择题1.D2.A3.C当4cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为13cm;当5cm为等腰三角形的腰长时,三边分别是5cm,5cm,4cm,符合三角形的三边关系,所以其周长为14cm.故这个等腰三角形的周长为13cm或14cm.4.C5.B由题意知x°+2x°+3x°=180°,解得x=30,所以∠BAD=180°-30°=150°.6.C因为一个正n边形的每个内角为144°,所以144n=180×(n-2),解得n=10.正十边形的所有对角线的条数是10×(107.A∠1的对顶角所在的三角形中,另两个角的度数分别为60°,45°,所以∠1=180°-(60°+45°)=75°.8.C二、填空题9.360°10.40°因为AB∥CD,所以∠EFB=∠DCF=110°.所以∠EFA=∠AEF=180°-110°=70°.所以∠A=180°-∠EFA-∠AEF=180°-2×70°=40°.11.72°正五边形的一个内角是108°,正方形的一个内角是90°,所以∠α+90°+90°+108°=360°,解得∠α=72°.12.225°∵∠A=45°,∴∠A的外角是180°-45°=135°.∵三角形的外角和是360°,∴∠1+∠2=360°-135°=225°.三、解答题13.解∵FG∥BD,∴∠2=∠DBC.∵∠1=∠2,∴∠1=∠DBC,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=70°.∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠DBC=12∠ABC=35°14.解因为DF⊥AB,所以∠AFG=90°.在△AFG中,∠AGF=180°-∠A-∠AFG=180°-40°-90°=50°,所以∠CGD=∠AGF=50°.所以∠ACB=∠CGD+∠D=50°+50°=100°.15.解(1)甲对,乙不对.当θ能取360°时,(n-2)×180=360,解得n=4.当θ能取630°时,(n-2)×180=630,解得n=112因为n为整数,所以θ不能取