15.1.1　轴对称及其性质

数学八年级上册(RJ)第十五章轴对称15．1图形的轴对称15．1.1轴对称及其性质教师备课素材示例●情景导入我们生活在充满图形的世界中，利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物，其中利用对称是非常重要的一种方法．而轴对称是对称中重要的一种，今天让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！探究（一）如图，我们先来看这几幅图片，观察它们有什么共同特征．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形．探究（二）如图，把每组图形沿虚线对折，观察它们有什么共同特征．两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称．【教学与建议】教学：创设情境，欣赏图片，感受生活中的成轴对称现象和轴对称图形，归纳成轴对称和轴对称图形的概念．建议：教学中要提供丰富的图案，让学生感受到数学就在我们身边．●悬念激趣课件投影：请同学们认真观看图片，听故事，思考最后的问题.（配合动画讲故事）故事：在小河边的花丛中，有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜，忽然，来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“是谁在捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了？我是来找你玩的．”这时蝴蝶更生气了，说道：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上，说：“这你就不知道了吧，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些树叶，还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢！”思考问题：为什么蜻蜓、蝴蝶是一家？【教学与建议】教学：观察图片后听故事，使学生通过丰富的生活实例，欣赏并体会轴对称图形．建议：制作动画时，要突出蜻蜓和蝴蝶的轴对称性．·命题角度1辨别轴对称图形判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，另外还可以观察它是否有对称轴，能找到对称轴也能说明它是轴对称图形．【例1】在如图所示的图案中，是轴对称图形的有①②③④.eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(④))【例2】下列图形中，不是轴对称图形的是(D)A．角B．等边三角形C．线段D．直角梯形·命题角度2利用轴对称的定义识别轴对称图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化前后图形的大小、形状都相同，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同．【例3】如图，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【例4】下列各组图形成轴对称的有①②③.eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(④))·命题角度3数轴对称图形的对称轴轴对称图形的对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线，不一定只有一条．【例5】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(B)A．2条B．4条C．6条D．8条【例6】写出下列图形的对称轴条数．·命题角度4利用图形轴对称的性质解题图形轴对称的性质：(1)成轴对称的两个图形全等；(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴l的对称点；(3)成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．【例7】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为(A)A．10°B．20°C．30°D．40°【例8】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称．(1)若AC＝5，BC＝2，A′B′＝4，则△A′B′C′的周长是11；(2)若∠B＝110°，∠C′＝40°，则∠A的度数为30°.对称的起源自古以来，人们就已经讨论“对称原理”之一——左和右之间的对称（比如还有上、下、前、后等之间的对称）了．对称的概念源于数学（更确切地讲是欧氏几何），对于“对称”在生物现象中的研究，始于1848年的巴斯德(Pasteur)的工作，“对称”在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人，20世纪的物理学家从研究中发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性．高效课堂教学设计1．初步认识轴对称图形，归纳出轴对称图形、成轴对称的概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形．2．通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线与对称轴的关系．▲重点判断轴对称图形和成轴对称，并能够画出其对称轴．▲难点比较观察轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别和联系．◆活动1新课导入在现实世界中，对称现象是普遍存在的，初步掌握对称的知识，不仅能使我们感受到自然界的美与和谐，还可以帮助我们发现一些图形（如等腰三角形）的性质，并能根据自己的设计创造出对称作品，丰富生活．你能举出一些对称的图形吗？答：等腰三角形、物与水中倒影、蝴蝶、奥迪车标志、地标建筑物（天安门）等．◆活动2探究新知1．教材P62图15.1－1、图15.1－2.提出问题：(1)这些图形有什么共同特点？(2)你还能举出生活中类似的建筑物和图形吗？(3)你知道什么样的图形叫作轴对称图形吗？你能给它下定义吗？学生完成并交流展示．2．教材P63观察．提出问题：(1)图15.1－3中的每对图形有什么共同特点？(2)沿图中的虚线对折，虚线两边的图形能重合吗？(3)成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形对称吗？这两个图形全等吗？(4)请谈谈轴对称图形与成轴对称的区别和联系．学生完成并交流展示．3．教材P64探究．提出问题：(1)△ABC和△A′B′C′全等吗？(2)线段AB，AC，BC的对应线段是什么？它们在数量上有什么关系？(3)线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？(4)轴对称有哪些性质？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.成轴对称的两个图形全等.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.4．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线．◆活动4例题与练习例1在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字可以看作轴对称图形的是(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))例2如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．解：∵两个四边形关于直线l对称，∴a＝5cm，b＝4cm.∴∠H＝∠C＝90°，∠A＝∠F＝80°，∠E＝∠B＝135°，∴∠G＝360°－∠H－∠F－∠E＝360°－90°－80°－135°＝55°.例3如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．(1)指出两个三角形中的对称点；(2)指出图中相等的线段；(3)图中还有对称的三角形吗？解：(1)点B和点D，点C和点E，点A和点A；(2)AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF；(3)有，△AFB和△AFD，△AEF和△ACF.练习1．教材P64～65练习第1，2，3题．2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论错误的是(A)A．AB∥DFB．∠B＝∠EC．AB＝DED．AD的连线被MN垂直平分3．若△ABC与△DEF关于直线m对称，AB＝4，BC＝6，△DEF的周长是15，则AC＝5.4．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H为各边中点，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴？解：阴影三角形与三角形1，3，5，7成轴对称，对称轴分别为直线BD，GH，AC，EF.◆活动5课堂小结1．轴对称图形及成轴对称的概念．2．轴对称的性质及运用．1．作业布置(1)教材P69～70习题15.1第1，2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴EA=