第2课时　等腰三角形的判定

数学八年级上册(RJ)第2课时等腰三角形的判定教师备课素材示例●类比导入定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．1．阅读下面的证明过程，完成问题：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.解二：作△ABC的角平分线AD.数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正．(1)请你简要说明解一辅助线作法错在哪里；(2)根据解二的辅助线作法，完成证明过程．2．有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．【教学与建议】教学：类比两种方法证明等腰三角形导入课题，激发学生的好奇心和求知欲．建议：先口答后再集体讨论解一和解二．●悬念激趣如图，某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树A为目标，然后在这棵树的正南方南岸点B插一小旗作标志，沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB＝30°，这时，地质专家测得BC的长度是60m，就可知道河流的宽度是60m.同学们，你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗？他是怎么知道BC的长度就等于河流的宽度的呢？用今天学习的知识可以解决．【教学与建议】教学：设置悬念，能够让学生积极主动地探索新知识．建议：让学生初步思考，可以先让学生求一下各个角的度数．·命题角度1等腰三角形的判定方法的应用判定三角形是等腰三角形的方法：(1)定义；(2)“等角对等边”．【例1】如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①在△ABC中，AB＝AC；②在△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④在△ABC中，AD⊥BC，AD平分BC.其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件有(D)A．1组B．2组C．2组D．4组【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB.求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△CBD≌△BCE(SAS).∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．·命题角度2等腰三角形的性质与判定的综合运用综合运用等腰三角形的性质和判定，直接由线段相等得到角相等，或由角相等得到线段相等．【例3】如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD的长为(C)A.eq\f(a＋b,2)B．eq\f(a－b,2)C．a－bD．b－a【例4】如图，在△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F且交BC于点E.求证：△DBE是等腰三角形．证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠FEC＝90°.∴∠D＝∠FEC.∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．·命题角度3等腰三角形的分割问题把一个三角形分割出新的等腰三角形，一般从两个角度分析解题思路：一是根据定义，即两边相等；二是根据判定，即两角相等．【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是①③④.eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(④))【例6】如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画4条．高效课堂教学设计1．理解和掌握等腰三角形的判定方法．2．利用等腰三角形的判定方法证明相关问题，借助尺规作图作等腰三角形．▲重点等腰三角形判定的应用，利用尺规作图作等腰三角形．▲难点等腰三角形判定的应用．◆活动1新课导入如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？◆活动2探究新知1．教材P80思考．提出问题：(1)等腰三角形的性质是什么？它是怎样被证明的？(2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等吗？(3)怎样判定一个三角形是等腰三角形？学生完成并交流展示．2．教材P81例3.提出问题：(1)如何画线段AB的垂直平分线？(2)例3中是先作底边a，还是先作高h，为什么？(3)作图的依据是什么？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．有两边相等的三角形是等腰三角形.2．有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.◆活动4例题与练习例1教材P80例2.例2已知在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD.∴∠DBC＝∠DCB.∴BD＝CD.∴△DBC是等腰三角形．例3已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．解：如图．(1)作线段AB＝a；(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；(3)在MN上取一点C，使DC＝b；(4)连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形．练习1．教材P81练习第1，2，3题．2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝4cm，则CD等于(B)A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°.若AC＝5cm，则AB＝5cm.4．如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从点A向北航行30nmile到点B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．(1)求∠ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少？解：(1)∵∠NAC＝38°，∠NBC＝76°，∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°；(2)∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC.∵AB＝30nmile，∴BC＝30nmile，即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30nmile.◆活动5课堂小结1．等腰三角形的判定．2．等腰三角形性质与判定的综合应用．1．作业布置(1)教材P84～85习题15.3第4，6，8，9题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴EA=EF,∴点E在AF的垂直平分线上.15.证明∵△ABC和△BDE均为等边三角形,∴AB=BC