济南市2027届高三9月摸底考试数学试题（含答案）

绝密★启用并使用完毕前高三数学试题第1页（共4页）济南市2026—2027学年高中三年级摸底考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=i（3-i），则z的虚部为A.1 B.3 C.-i D.3i2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=2A.3 B.4 C.5 D.63.已知向量a=（1，2），b=（2，m），若a⊥b，则|a+b|=A.10 B.13 C.17 4.已知min{m，n}表示m，n中的最小者，则函数.fxA.0 B.1 C.3 D.45.以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为6.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为圆x2-2A.x2=2y 7.已知正项等比数列{an}满足a2⋅a2n-2=4nA8.在直角△ABC中，AB=BC，P是△ABC内一点，PA=2PB=2A.6 B.8 C.10 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则A.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B.若m⊥α，α∥β，n∥β，则m⊥nC.若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β D.若m⊥α，α⊥β，m⊄β，则m∥β10.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表：年份20212022202320242025年份代码x12345太极拳爱好者人数y（万人）1.21.41.51.61.8根据表中数据建立y关于x的线性回归方程y=A.b=0.16B.当x=5时，残差为0.02万人C.预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人D.表中数据y的第80百分位数为1.711.已知函数fx=exx+ax-lnA.当a=-e时，f′（x）有且只有1个零点B.若f（x）≥0，则a≥eC.若f（x）恰有2个零点x₁，x₂，则.xD.若f（x）恰有3个极值点x₁，x₂，x₃，则.x高三数学试题第2页（共4页）高三数学试题第3页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f（x）={2x-1，x≥213.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA1，则平面ABC₁与平面ABC14.已知数列{an}满足an+2⋅an-1n=3n，记Tn为{an}的前四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知函数f（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）若x∈0π2，求f（16.（本小题满分15分）2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为45，投送抢险设备的成功率为34.各架无人机投送成功与否相互独立.（1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率；（2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）.高三数学试题第4页（共4页）17.（本小题满分15分）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），其导函数为f′（x）.（1）当a=1时，（i）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程;（ii）若函数g（x）=f（C）（x），求g（x）的极值;（2）讨论f′（x）零点的个数.18.（本小题满分17分）形的周长为44（1）求E的方程;（2）设直线l:y=kx+m与E交于A，B两点，O为坐标原点.（i）若中心在原点且右焦点为（1，0）的等轴双曲线过点（m，k），求△OAB的面积；（ii）若l过E的上顶点和F₁，T为线段AB上一点，直线OT与E交于点M，且MT=1+19.（本小题满分17分）已知对于给定q∈N且q>1，正整数n可唯一表示为且0≤ai≤q-1，其中i=0，1，2，…，k，ak≠0），此表达式称为n的q进制表示.例如2026=2（1）若k=q，求n的最大值（结果用q表示）;（2）若aii=012⋯k互不相同，且2ai（3）若q=8且2ai<ai-1+ai+1i=12⋯k-1，n是否存在最大值，若存在，求出k的值及对应数组2026—2027学年高中三年级摸底考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BAACBDBC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABDBCDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.7;13.四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解析】1所以T=令-当16.【解析】（1）设事件A=“至少1架投送成功”，则事件A=“（2）由题意，X~B（3，3即得用表格表示X的分布列，如下表所示.E第1页，共4页17.【解析】（1）（i）f（1）=0，所以切点为（1，0），又f'x=lnx+x+1x-1=lnx+1x，所以f′（1）=1，（ii）g（x）=f（x）-xf′（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），所以g'x=1x-1=1-xx，令g′（x）=0，解得x=1，当xx（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0-g（x）单调递增-1单调递减当x=1时，g（x）有极大值，极大值为g（1）=-1，无极小值.2f'x令f"（x）=0，解得x=1.当0<x<1时，f"（x）<0，f"（x）单调递减;当x>1时，f"（x）>0，f′（x）单调递增.所以当x=1时，f′（x）取得最小值，最小值为f′（1）=2-a;①当2-a>0，即a<2时，f′（x）>0恒成立，所以f′（x）无零点;②当2-a=0，即a=2时，f′（1）=0，所以f′（x）有1个零点;③当2-a<0，即a>2时，f′（1）<0;当x→+∞时，f′（x）→+∞;当x→0时，f′（x）→+∞，所以f′（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，即f′（x）有2个零点.综上:当a<2时，f′（x）无零点;当a=2时，f′（x）有1个零点;当a>2时，f′（x）有2个零点.第2页，共4页第3页，共4页因为m2-iil:y=x+2，设T因为点M在E上，所以-整理得3x02+42所以T-2019.【解析】（1）若k=q，因为（0所以n=a₀+a₁q+…+akqq≤q-1+q-1q+⋯+（2）由al=ai-1+ai+12i=1又a1i=012⋯k为互不相同的整数且（0≤a，又因为q要求最大值，所以ak>ak-1>⋯>a故n≤令S=qS=③式-②式知所以S=qq+2-2qq-1+qq-12，即（3）存在最大值.因为ai<a令bi=ai11