河北省邯郸市冀南新区凌云中学2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题，共58分)一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.3.某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第百分位数为（）A. B. C. D.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，是的直观图，若，则（）A.8 B.4 C. D.6.已知事件，互斥，，且，则（）A. B. C. D.7.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.的实部是 B.C. D.在复平面内对应的点位于第四象限10.设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（）A.若是互斥事件，则B.若则C.若是相互独立事件，则D.若，则是相互独立事件11.如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值为B.异面直线和所成的角为C.四棱锥的体积为D.二面角的平面角的余弦值为第II卷（非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______．13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______．14.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.复平面内表示复数的点为.（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部；（2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围；16.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17.某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计考核得分的第百分位数；（2）已知落在内的平均成绩是分，方差是，内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差.18.在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围．19.如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.（1）证明：平面（2）求证：平面平面（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.

数学满分150分，考试时间120分钟）第I卷（选择题，共58分)一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，其虚部为2．2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为向量，，且，则，解得.3.某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第百分位数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先将数据从小到大排序，再按照百分位数的计算规则求解即可.解答过程：首先将个数据从小到大排序为：。则位置索引，为整数，排序后第个数据为，第个数据为，因此第百分位数为.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：A解析：思路：由线面，面面的位置关系逐项判断可得.解答过程：对于A，若，由线面垂直的性质可得，故A正确；对于B，若，则或相交或异面，故B错误；对于C，若，则或，故C错误；对于D，若，则或，故D错误.故选：A.5.如图，是的直观图，若，则（）A.8 B.4 C. D.答案：A解析：思路：根据给定的直观图，利用余弦定理求出，再利用斜二测画法求出.解答过程：在中，，由余弦定理，得，解得，所以.故选：A6.已知事件，互斥，，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解.解答过程：由事件，互斥，，得，而，联立解得，故.故选：B7.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m答案：A解析：思路：根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果.解答过程：在中，，.在中，.在中，.故选：A8.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值.解答过程：因为，所以，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，解得.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.的实部是 B.C. D.在复平面内对应的点位于第四象限答案：AD解析：思路：由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可.解答过程：，则，所以的实部是，，，在复平面内对应的点坐标为，第四象限，所以AD正确，BC错误，故选：AD10.设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（）A.若是互斥事件，则B.若则C.若是相互独立事件，则D.若，则是相互独立事件答案：ACD解析：思路：根据互斥事件的加法公式，事件的运算，独立事件的乘法公式逐一分析每个选项.解答过程：A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确；B选项，时，，B选项错误；C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确；D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确.故选：ACD11.如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（）A.直线与平面所成角的正弦值为B.异面直线和所成的角为C.四棱锥的体积为D.二面角的平面角的余弦值为答案：ABD解析：思路：在正方体中，易得就是直线与平面所成角为可确定A；就是异面直线和所成角或其补角，易得即可确定B；由平面，可得即可判断C；连接，可证就是二面角的平面角，接着求余弦值即可.解答过程：对于A，连接交于，在正方体中，，即，又平面，所以，又平面，所以平面，则就是直线与平面所成角，，故A正确；，就是异面直线和所成角或其补角，又，所以，故B正确；平面，，故C错误；对于D，连接，又，所以，又，所以就是二面角的平面角，，，故选：ABD.第II卷（非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是_______．答案：解析：思路：根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果.解答过程：设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得：，，该圆锥的体积是．故答案为：.13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______．答案：##0.95解析：思路：方法一：设出事件，根据进行求解；方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可.解答过程：方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，所以目标至少被击中1次的概率；方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，则，，，，所以目标没有被击中的概率为，目标至少被击中1次的概率为故答案为：.14.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．答案：解析：思路：由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围.解答过程：因为，所以，整理得，所以或，若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立，所以，则，，由得，，设，，因为，所以，，所以，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.复平面内表示复数的点为.（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部；（2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围；答案：（1）时，复数是纯虚数，虚部为（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的定义，得且，求出的值，即可求出虚部；（2）根据点位于二、四象限，得到或，解不等式组，得到的取值范围.（1）因为复数为纯虚数，所以且，解得，所以复数，所以复数虚部为；（2）因为复数对应的点位于二、四象限，所以或，解得;所以当时，点位于二、四象限.16.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量共线解出，则，则得到的模；（2）根据题意推出，则得到关于的方程，解出即可；（3）由题意得，且与不反向共线，解出的范围即可.（1），，，，，，.（2），两边同平方得，则化简得，，，.（3）与的夹角是钝角，，且与不反向共线，即，由（1）可知，则，且，故实数的取值范围为.17.某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计考核得分的第百分位数；（2）已知落在内的平均成绩是分，方差是，内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差.答案：（1），第百分位数为（2）平均数，方差解析：思路：（1）利用频率和为求，利用定义计算第百分位数；（2）利用分组数据公式，计算合并后的平均数和方差.（1）由频率分布直方图，得，因此；成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此考核得分的第70百分位数，由，解得，所以考核得分的第百分位数为.（2）依题意，成绩落在的频率为，成绩落在的频率为，所以，.18.在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.（1）因为，且，则，可得，整理得，所以.（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面积.（3）由正弦定理，可得，则，因为为锐角三角形，且，则，解得，则，可得，则，所以的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.（1）证明：平面（2）求证：平面平面（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得，，由线面垂